# 顺序逻辑电路

顺序逻辑电路中，离散的时间点也会影响输出结果

通常记时间点

时钟 (Clock) 是一种特殊的输入信号，其在各个时间点交替变化
通过时钟信号，可以使顺序逻辑电路在各个时间点同步工作

要研究顺序逻辑电路，首先需要学习状态迁移
由于状态实际上由历史输入决定，所以可以将某个时间点 $s^{(k)}$ 的状态 $Q^{(k)}$ 定义为在时间点 $s^{(k)}$ 之前的所有输入信号 $s^{(0)}, s^{(1)}, \ldots, s^{(k-1)}$ 的函数

即，令在时间点 $s^{(k)}$ 处输入为 $X^{(k)}$ ，则状态 $Q^{(s)}$ 可以表示为

$Q^{(s)} = \Phi(X^{(s-1)}, \underbrace{X^{(s-2)}, \ldots, X^{(0)}}_{\text{determined } Q^{(s-1)}})$

利用上一状态可以简化表达

$Q^{(s)} = \delta(X^{(s-1)}, Q^{(s-1)})$

也就是说，通过状态迁移函数 $\delta$ ，可以根据上一状态 $Q^{(s-1)}$ 与输入 $X^{(s-1)}$ 计算当前状态 Q^

在状态改变的同时，顺序逻辑电路也存在自身的输出
与状态类似，某个时间点的输出 $Y^{(s)}$ 也可以表示为历史输入的结果，并使用上一状态简化，注意是用状态而不是上一输出

$Y^{(s)} = \Omega(X^{(s-1)}, \underbrace{X^{(s-2)}, \ldots, X^{(0)}}_{\text{determined } Q^{(s-1)}})$

$Y^{(s)} = \omega(X^{(s-1)}, Q^{(s-1)})$

综上，顺序逻辑电路的结构可以从形式上写为 $M = (X, Q, Y, \delta, \omega)$

# N 进制计数器

N 进制计数器是一种典型的顺序逻辑电路
其累积计算历史输入总和，在总和达到 N 的时间点输出 1，否则输出 0

N 进制计数器的状态集合 $Q = \{Q_0, Q_1, \ldots, Q_{N-1}\}$ 可以定义为

那么系统在 s 时刻的输出 $Y^{(s)}$ 可以定义为

$Y^{(s)}(X^{(s-1)}, Q^{(s-1)}) = \begin{cases}1, & Q^{(s-1)} = Q_{N-1} \wedge X^{(s-1)} = 1 \\ 0, & \text{otherwise}\end{cases}$

将不同的输入与状态组合对应的状态与输出列出，可以构造四维表格，称为状态迁移表 (State Transition Table)

当前状态 Q^	输入 X^	下一个状态 Q^	输出 Y^
$Q_0$	0	$Q_0$	0
$Q_0$	1	$Q_1$	0
$Q_1$	0	$Q_1$	0
$Q_1$	1	$Q_2$	0
$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$	$\vdots$
Q_	0	Q_	0
Q_	1	Q_	0
Q_	0	Q_	0
Q_	1	$Q_0$	1

同时，也可以用有向图表示状态迁移，称为状态迁移图 (State Transition Diagram)

顶点表示状态
有向边表示状态迁移