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在进入微分几何的复杂计算分析之前，熟练掌握向量之间的基本运算性质是非常有必要的。 微分几何大部分的情况下就是在对你计算能力的考验 # 内积与向量积 定义 对于向量 a, b∈Rn\boldsymbol a,\ \boldsymbol b \in \mathbb R^na, b∈Rn，定义二者 内积 (dot product)「内積」 为 a⋅b:=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn\boldsymbol a \cdot \boldsymbol b := \sum_{i=1}^n a_i b_i =...

在该线性代数的笔记中，数域符号 F\mathbb FF 指代实数域 R\mathbb RR 或 复数域 C\mathbb CC 中的其中一个。 # 矩阵 在初等数学中，基本的计算单位是单一数字，也就是实数和复数。很显然一个数字只能蕴含一个信息 在线性代数中，数字这一概念将被推广，我们的基本计算单位将转为矩阵 简单来说，称被括号 [][][] 或 ()()() 包裹的，多个数字按行与列排列形成的二维数组为 矩阵 (Matrix)「矩阵」。 例如 A=(123456),B=[789101112]A = \begin{pmatrix} 1 & 2...

# 内积空间 定义 令 VVV 为域 F\mathbb FF 上的线性空间，称映射 ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb F ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F 为 VVV 上的 内积 (Inner Product)「内積」，当且仅当对任意 a,b,c∈V\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c \in Va,b,c∈V，以及任意 k∈Fk \in...

在有限群论中，Lagrange 定理告诉我们：子群的阶数一定是群阶数的因子。 但是其逆命题不成立：如果 ddd 是 ∣G∣|G|∣G∣ 的因子，群 GGG 未必存在阶数为 ddd 的子群。 最著名的反例是交错群 A4A_4A4​，其阶数为 121212，但它不存在阶数为 666 的子群。 然而，如果这个因子是素数的幂，情况就不同了。Sylow 定理是有限群论中关于子群存在性与数量最强有力的定理，它是分析有限群结构的 “显微镜”。 # p - 群与 Cauchy 定理 在介绍 Sylow 定理之前，先引入两个基础概念。 定义 设 ppp 为素数。如果一个群 GGG 的阶为 pkp^kpk...

微分几何的研究很大程度上依赖于线性代数与微积分的结合。在进入曲线与曲面的微分几何之前，我们需要先熟练掌握欧几里得空间 R3\mathbb R^3R3 中向量的基本运算，特别是内积与向量积的高级恒等式。 # 内积 向量与向量之间最为重要的运算就是内积与外积。 定义 对于 Rn\mathbb R^nRn 内的两元 a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn)\boldsymbol a = (a_1, a_2, \dots, a_n),\ \boldsymbol b = (b_1, b_2, \dots,...