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# 随机变量 定义 令 (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal F, P)(Ω,F,P) 为概率空间 称实数值映射 X:Ω→RX:\Omega \to \mathbb RX:Ω→R 为 (Ω,F,P)(\Omega, \mathcal F, P)(Ω,F,P) 上的 随机变量 (Random Variable)「確率変数」，当且仅当对于任意实数 xxx，事件 {ω∈Ω∣X(ω)≤x}∈F\{\omega \in \Omega \mid X(\omega) \leq...

# 线性方程组 本节的一个重要应用是利用矩阵的行化简来解线性方程组 设有如下线性方程组 {a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2⋮am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 +...

# 零空间 # 交集与和 # 行空间与列空间 # 直和

概率并不是一个陌生的概念，但是直到目前的学习中，主要涉及到的概率还停留在离散的古典概率上。举例来说就是分析像是掷骰子这样有有限个结果的事件 但是如果考虑这样一个问题：在区间 [0,1][0,1][0,1] 上随机取一个数，取到 12\frac{1}{2}21​ 的概率是多少？ 就会意识到古典概率的局限性： 直观上来说概率不应该是 000，因为这确实是可能发生的（实际上概率为 000 的事件并非不可能发生） 但是如果使用古典概率的定义，结果又会是 000，因为在区间 [0,1][0,1][0,1] 上有无穷多个数，而 12\frac{1}{2}21​...

# 矩阵 在初等数学中，基本的计算单位是单一数字，也就是实数和复数。很显然一个数字只能蕴含一个信息 在线性代数中，数字这一概念将被推广，我们的基本计算单位将转为矩阵 简单来说，称被括号 [][][] 或 ()()() 包裹的，多个数字按行与列排列形成的二维数组为 矩阵 (Matrix)「矩阵」。 例如 A=(123456),B=[789101112]A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix},\quad B =...

# 线性空间 定义 令 VVV 为非空集合，定义在 VVV 上的两种运算 ∀a,b∈V:a+b∈V{}^\forall \boldsymbol a,\boldsymbol b \in V: \boldsymbol a + \boldsymbol b \in V∀a,b∈V:a+b∈V ∀c∈C, ∀a∈V:ca∈V{}^\forall c \in \mathbb C,\ {}^\forall \boldsymbol a \in V: c\boldsymbol a...

# 内积 向量与向量之间最为重要的运算就是内积与外积。 定义 对于 Rn\mathbb R^nRn 内的两元 a=(a1,a2,…,an), b=(b1,b2,…,bn)\boldsymbol a = (a_1, a_2, \dots, a_n),\ \boldsymbol b = (b_1, b_2, \dots, b_n)a=(a1​,a2​,…,an​), b=(b1​,b2​,…,bn​) 定义其 内积 (dot product) 为 a⋅b=∑i=1naibi=a1b1+a2b2+⋯+anbn\boldsymbol a...

# 置换 作为行列式定义的铺垫，需要先了解什么是置换 考虑一个含有 nnn 个元素的集合 S={1,2,3,…,n}S = \{1, 2, 3, \ldots, n\} S={1,2,3,…,n} 定义映射 σ:S→S\sigma : S \to S σ:S→S 称 σ\sigmaσ 为集合 SSS 上的 置换 (Permutation)「置換」，当且仅当 σ\sigmaσ 为 SSS 到 SSS 的双射 记 SnS_nSn​ 为含有 nnn...

Laplace 展开是行列式计算中的一种重要方法，它通过将行列式展开为子行列式的线性组合，从而简化计算过程。 # 余子式 令 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij​) 为 nnn 阶矩阵，去掉其第 iii 行与第 jjj 列后所得到的 (n−1)(n-1)(n−1) 阶矩阵，称为 子矩阵，记作 AijA_{ij}Aij​。即 Aij=(a11⋯a1,j−1a1,j+1⋯a1n⋮⋮⋮⋮ai−1,1⋯ai−1,j−1ai−1,j+1⋯ai−1,nai+1,1⋯ai+1,j−1ai+1,j+1⋯ai+1,n⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1an,j+1⋯ann)A_{ij} =...

# 偏序 定义 设 XXX 为集合，RRR 为 XXX 上的二元关系。 称 RRR 为 XXX 上的 偏序关系 (Partial Order)「順序関係」，当且仅当满足以下条件： (R) 自反性 (Reflexivity)「反射律」：对任意 a∈Xa \in Xa∈X，有 aRaaRaaRa (A) 反对称性 (Antisymmetry)「反対称律」：对任意 a,b∈Xa, b \in Xa,b∈X，若 aRbaRbaRb 且 bRabRabRa，则 a=ba = ba=b (T) 传递性 (Transitivity)「推移律」：对任意 a,b,c∈Xa, b, c...