L'ibrary

通过线性变换的对角化，哪怕是对于一些看似非线性代数的问题，只要能按照以下流程，都可以被解决 构造出线性空间 找到某种条件对应的线性变换 通过对角化，用新的语言描述这一条件 回推到原问题中给出结果 # 线性递推数列 # 线性微分方程 # 二次型

我们在研究一个行列时，实际上是在研究其所蕴含的信息。 很多时候，我们并不关注内部的一些大数字，而是在意成分的互相关系。 所以在面对一些复杂的矩阵时，一个思路是被期待的：是否可以让复杂的行列通过某种变换，成为一个简单漂亮的行列，并且还可以尽可能地保留原矩阵的信息？ 请注意：特征值的讨论对象仅局限于 方阵，对于非方阵无法进行特征值的讨论，但是可以进行奇异值的讨论 # 特征值 为了解答第一个问题：到底什么样的信息是被需要的，需要引入以下内容 定义 令 AAA 为系数域 F\mathbb FF 上的 nnn 阶方阵 称数 λ∈K\lambda \in Kλ∈K 为矩阵 AAA...

不难看出，对线性变换的对角化本质上是在寻找一组更加优美的基。 那么，自然产生的疑问是：什么样的情况下对角化可以得到正交归一基？ 该问题可以拆解为 什么情况下得到的特征向量组是正交的 什么情况下得到的特征向量组是正交归一的 本节将分别从正交矩阵和酉矩阵出发，讨论这两个问题 # 正交矩阵诱导出的对角化 对角化所使用的矩阵 PPP 一般来说只是正则矩阵。 分析什么时候可以由满足 tP=P−1{}^t P = P^{-1}tP=P−1 的正交矩阵来进行对角化 此时，设 P−1AP=DP^{-1} A P = D P−1AP=D 那么 A=PDP−1A = P D...

Laplace 展开是行列式计算中的一种重要方法，它通过将行列式展开为子行列式的线性组合，从而简化计算过程。 # 余子式 令 A=(aij)A = (a_{ij})A=(aij​) 为 nnn 阶矩阵，去掉其第 iii 行与第 jjj 列后所得到的 (n−1)(n-1)(n−1) 阶矩阵，称为 子矩阵，记作 AijA_{ij}Aij​。即 Aij=(a11⋯a1,j−1a1,j+1⋯a1n⋮⋮⋮⋮ai−1,1⋯ai−1,j−1ai−1,j+1⋯ai−1,nai+1,1⋯ai+1,j−1ai+1,j+1⋯ai+1,n⋮⋮⋮⋮an1⋯an,j−1an,j+1⋯ann)A_{ij} =...

# 内积空间 定义 令 VVV 为域 F\mathbb FF 上的线性空间，称映射 ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb F ⟨⋅,⋅⟩:V×V→F 为 VVV 上的 内积 (Inner Product)「内積」，当且仅当对任意 a,b,c∈V\boldsymbol a, \boldsymbol b, \boldsymbol c \in Va,b,c∈V，以及任意 k∈Fk \in...

在该线性代数的笔记中，数域符号 F\mathbb FF 指代实数域 R\mathbb RR 或 复数域 C\mathbb CC 中的其中一个。 # 矩阵 在初等数学中，基本的计算单位是单一数字，也就是实数和复数。很显然一个数字只能蕴含一个信息 在线性代数中，数字这一概念将被推广，我们的基本计算单位将转为矩阵 简单来说，称被括号 [][][] 或 ()()() 包裹的，多个数字按行与列排列形成的二维数组为 矩阵 (Matrix)「矩阵」。 例如 A=(123456),B=[789101112]A = \begin{pmatrix} 1 & 2...

# 集合 元素 aaa 属于集合 AAA ，记作 a∈Aa \in Aa∈A 元素 aaa 不属于集合 AAA ，记作 a∉Aa \not\in Aa∈A 交并定义 A∪B={x∣x∈A∨x∈B}A∩B={x∣x∈A∧x∈B}\begin{aligned} A \cup B &= \{ x \mid x \in A \lor x \in B \} \\ A \cap B &= \{ x \mid x \in A...

现在开始对复变函数进行研究 称定义域和值域均为复数域 C\mathbb CC 的函数为复变函数 注意偏角 arg⁡z\arg zargz 不是唯一的，角度绕完整一圈值一致，所以偏角本质是集合 arg⁡z={θ+2kπ∣k∈Z}\arg z = \{ \theta + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \} argz={θ+2kπ∣k∈Z} 将范围限制在 (−π,π](-\pi, \pi](−π,π]，处于这个区间内的偏角称为 主值偏角 (Principal...

# 矩阵表示 让我们从一类线性映射出发 给定 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA，定义映射 fA:Rn→Rm,fA(x)=Axf_A: \mathbb R^n \to \mathbb R^m, \quad f_A(\boldsymbol x) = A \boldsymbol x fA​:Rn→Rm,fA​(x)=Ax 则容易验证 fAf_AfA​ 为线性映射 称这一类线性映射为由矩阵诱导的线性映射 也非常容易验证的是，fAf_AfA​ 的核实际上就是齐次方程 Ax=0A \boldsymbol x =...

# 简化阶梯形 在线性代数中，一个给出的矩阵往往会被进行各种各样的预处理，从而提炼出最关心的核心信息 其中，最早，也是现在即将开始接触的其中一种，就是简化阶梯形 定义 将矩阵 AAA 进行行向量分割 A=(a1a2⋮am)A = \begin{pmatrix} \boldsymbol{a_1} \\ \boldsymbol{a_2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{a_m} \end{pmatrix} A=⎝⎜⎜⎜⎜⎛​a1​a2​⋮am​​⎠⎟⎟⎟⎟⎞​ 称矩阵 AAA 为...