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# 函数的微分可能性

微分的概念在高中一般就有所接触，但是高中只是给出了导数表，给出了判定极值的方法。
实际上微分是应用极其广泛的概念，微分可能性也是数学分析中讨论的重点

在充分给出函数极限的定义和性质之后，才可以开始接触函数的微分

定义
令区间 I=[a,b]I = [a, b] 与一个定义在 II 上的实值函数 f:I→Rf:I \to \mathbb R
对于开集内的点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，称 ff 在点 x0x_0 处 可微分 (Differentiable)「微分可能」，当且仅当以下极限存在：

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}

记该极限为 f′(x0)f'(x_0) 或 dfdx(x0)\displaystyle\frac{df}{dx}(x_0)，称为函数 ff 在点 x0x_0 处的 微分系数 (Derivative)「微分係数」。

如果一个函数在任意 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b) 处都可微分，通过将每一个点映射到对应的极限值（微分系数），可以得到一个新的函数

f′:(a,b)→R,x0↦f′(x0)f': (a, b) \to \mathbb R, x_0 \mapsto f'(x_0)

称函数 f′f' 为函数 ff 的 一阶微分 (First Derivative)「一阶微分」，或者 导函数 (Derivative Function)「導函数」

在此基础上，因为一阶微分同样可以进行微分可能性的判定，与微分系数的映射，因此还可以得到与一阶微分的微分相对应的函数

f′′:(a,b)→R,x0↦(f′)′(x0)f'': (a, b) \to \mathbb R, x_0 \mapsto (f')'(x_0)

称函数 f′′f'' 为函数 ff 的二阶微分。
类似地，三阶微分也可以表示为 f′′′f'''。但是通常来说随着微分阶数的增加，这样的表示会越来越不方便，因此习惯上对于三阶及以上的微分更多的记法是 f(n)f^{(n)}，其中 nn 是微分的阶数。

若一个函数在其定义域上 rr 阶微分存在，并且所有的微分函数都是连续的（注意：由于可微分强于连续性，所以这实际上是考察第 rr 阶微分的连续性），则称该函数为 CrC^r 类函数。
特别地，若对于任意 r∈Nr \in \mathbb N，函数都是 CrC^r 类的，那么称该函数为 C∞C^\infty 类

一般来说，如果一个函数在语境中拥有足够的可微分性以及连续性，也就是说不需要考虑不连续不可微的情况，那么称该函数为 光滑 (Smooth)「なめらか」 函数。

# 微分的性质

命题 微分与四则运算
令 f,gf,g 在点 x0x_0 处可微分，且 k∈Rk \in \mathbb R，则以下成立

  1. f+gf + g 在点 x0x_0 处可微分，且 (f+g)′(x0)=f′(x0)+g′(x0)(f + g)'(x_0) = f'(x_0) + g'(x_0)
  2. kfk f 在点 x0x_0 处可微分，且 (kf)′(x0)=kf′(x0)(k f)'(x_0) = k f'(x_0)
  3. fgf g 在点 x0x_0 处可微分，且 (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)+f(x0)g′(x0)(f g)'(x_0) = f'(x_0) g(x_0) + f(x_0) g'(x_0)
  4. 若 g(x0)≠0g(x_0) \neq 0，则 fg\displaystyle\frac{f}{g} 在点 x0x_0 处可微分，且 (fg)′(x0)=f′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)g(x0)2\displaystyle\left(\frac{f}{g}\right)'(x_0) = \frac{f'(x_0) g(x_0) - f(x_0) g'(x_0)}{g(x_0)^2} \quad
证明

微分可能性本质是差分极限的存在，因此完完全全回退到函数极限的部分
同时，函数极限的部分因为也可以回退到数列极限或者函数的连续性，因此如果想确认这部分证明应该直接去看数列极限或者函数连续性的部分
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对于微分来说，以下结论尤为重要
接下来的中值定理，甚至包括 Taylor 定理，本质上都可以追溯到该结论

虽然极值这一概念应该并不陌生（实际上应该套用集合论章节中的极小元与极大元定义），这里还是给出定义方式

  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)≥f(x0)f(x) \geq f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取极小值
  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)≤f(x0)f(x) \leq f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取极大值
  • 若函数在点 x0x_0 处取极小值或者极大值，则称 ff 在点 x0x_0 处取极值

严格意味着等号不成立

  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)>f(x0)f(x) \gt f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取严格极小值
  • 若在点 x0x_0 的某个邻域内，有 f(x)<f(x0)f(x) \lt f(x_0)，则称 ff 在点 x0x_0 处取严格极大值

命题
令 f:[a,b]→Rf: [a, b] \to \mathbb R，取点 x0∈(a,b)x_0 \in (a, b)，以下成立

  1. 可微分必连续：若 ff 在点 x0x_0 可微分，则 ff 在点 x0x_0 处连续
  2. 极值的必要条件：若 ff 在点 x0x_0 取极值，且在点 x0x_0 可微分，则 f′(x0)=0f'(x_0) = 0
证明（暂时省略）

在面对乘积函数的高阶微分时，可以使用以下的 Leibniz 法则来进行计算，而避免一阶阶地进行微分

定理 高阶 Leibniz 法则

(fg)(n)=∑k=0n(nk)f(k)g(n−k)(f g)^{(n)} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}

证明

使用数学归纳法证明
当 n=1n = 1 时，

(fg)′=f′g+fg′=∑k=01(1k)f(k)g(1−k)(f g)' = f' g + f g' = \sum_{k=0}^1 \binom{1}{k} f^{(k)} g^{(1-k)}

假设当 n=mn = m 时结论成立，那么当 n=m+1n = m + 1 时，

(fg)(m+1)=ddx(fg)(m)=ddx(∑k=0m(mk)f(k)g(m−k))=∑k=0m(mk)(f(k+1)g(m−k)+f(k)g(m−k+1))=∑k=0m(mk)f(k+1)g(m−k)+∑k=0m(mk)f(k)g(m−k+1)=∑k=1m+1(mk−1)f(k)g(m+1−k)+∑k=0m(mk)f(k)g(m−k+1)=∑k=0m+1((mk−1)+(mk))f(k)g(m+1−k)=∑k=0m+1(m+1k)f(k)g(m+1−k)\begin{aligned} (f g)^{(m + 1)} &= \frac{d}{dx} (f g)^{(m)} \\ &= \frac{d}{dx} \left( \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} f^{(k)} g^{(m-k)} \right) \\ &= \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \left( f^{(k + 1)} g^{(m-k)} + f^{(k)} g^{(m-k + 1)} \right) \\ &= \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} f^{(k + 1)} g^{(m-k)} + \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} f^{(k)} g^{(m-k + 1)} \\ &= \sum_{k=1}^{m + 1} \binom{m}{k - 1} f^{(k)} g^{(m + 1 - k)} + \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} f^{(k)} g^{(m-k + 1)} \\ &= \sum_{k=0}^{m + 1} \left( \binom{m}{k - 1} + \binom{m}{k} \right) f^{(k)} g^{(m + 1 - k)} \\ &= \sum_{k=0}^{m + 1} \binom{m + 1}{k} f^{(k)} g^{(m + 1 - k)} \end{aligned}

因此结论对于 n=m+1n = m + 1 也成立
注意二项式系数的性质

(mk−1)+(mk)=m!(k−1)!(m−k+1)!+m!k!(m−k)!=(m+1)!k!(m+1−k)!=(m+1k)\binom{m}{k - 1} + \binom{m}{k} = \frac{m!}{(k - 1)! (m - k + 1)!} + \frac{m!}{k! (m - k)!} = \frac{(m + 1)!}{k! (m + 1 - k)!} = \binom{m + 1}{k}

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示例
求解以下函数的 nn 阶微分

  1. f(x)=x2ax, a>0f(x) = x^2 a^x,\ a \gt 0
  2. f(x)=xn−1ln⁡x, n∈Nf(x) = x^{n-1} \ln x,\ n \in \mathbb N
解

(1)
注意到当 k>2k > 2 时，(x2)(k)=0(x^2)^{(k)} = 0，因此求和可以简化为 k=0,1,2k = 0, 1, 2 的情况

f(n)(x)=∑k=0n(nk)(x2)(k)(ax)(n−k)=(n0)x2ax(ln⁡a)n+(n1)2xax(ln⁡a)n−1+(n2)2ax(ln⁡a)n−2=ax(ln⁡a)n−2(x2(ln⁡a)2+2nxln⁡a+n(n−1))\begin{aligned} f^{(n)}(x) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^2)^{(k)} (a^x)^{(n-k)} \\ &= \binom{n}{0} x^2 a^x (\ln a)^n + \binom{n}{1} 2 x a^x (\ln a)^{n-1} + \binom{n}{2} 2 a^x (\ln a)^{n-2} \\ &= a^x (\ln a)^{n-2} \left( x^2 (\ln a)^2 + 2 n x \ln a + n (n - 1) \right) \end{aligned}

(2)
我们使用高阶 Leibniz 法则来进行计算，但是要注意 (xn−1)(k)=(n−1)!(n−1−k)!xn−1−k(x^{n-1})^{(k)} = \frac{(n-1)!}{(n-1-k)!} x^{n-1-k} 仅当 k≤n−1k \leq n - 1 时成立

f(n)(x)=∑k=0n(nk)(xn−1)(k)(ln⁡x)(n−k),(k=n  ⟹  0)=∑k=0n−1n!k!(n−k)!(n−1)!(n−1−k)!xn−1−k⋅(−1)n−k−1(n−k−1)!1xn−k=∑k=0n−1n!(n−1)!k!(n−k)!(−1)n−k−11x=(n−1)!x(−1)∑k=0n−1n!k!(n−k)!⏟=nCk(−1)n−k=(n−1)!x(1−(1−1)n)=(n−1)!x\begin{aligned} f^{(n)}(x) &= \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (x^{n-1})^{(k)} (\ln x)^{(n-k)},\qquad (k = n \implies 0) \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n!}{k!(n-k)!} \frac{(n-1)!}{(n-1-k)!} x^{n-1-k} \cdot (-1)^{n-k-1} (n-k-1)! \frac{1}{x^{n-k}} \\ &= \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n! (n-1)!}{k! (n-k)!} (-1)^{n-k-1} \frac{1}{x} \\ &= \frac{(n-1)!}{x} (-1) \sum_{k=0}^{n-1} \underbrace{\frac{n!}{k! (n-k)!}}_{=_nC_k} (-1)^{n-k} \\ &= \frac{(n-1)!}{x} (1 - (1 - 1)^n) \\ &= \frac{(n-1)!}{x} \end{aligned}

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利用 Leibniz 法则可以证明以下著名结论（主要做介绍，无需深度理解）

Legendre 多项式是一类在数学物理中极为核心的正交多项式系，最直接的物理来源是求解球坐标系下的 Laplace 方程 ∇2Φ=0\nabla^2 \Phi = 0。
在利用分离变量法处理轴对称的势场问题时，极角 θ\theta 方向的方程经过变量代换 x=cos⁡θx = \cos\theta（此时 x∈[−1,1]x \in [-1, 1]）后，必然化为 Legendre 微分方程：

(1−x2)Pn′′(x)−2xPn′(x)+n(n+1)Pn(x)=0(1 - x^2)P_n''(x) - 2xP_n'(x) + n(n+1)P_n(x) = 0

Legendre 多项式在区间 [−1,1][-1, 1] 上构成了一组完备的正交基。其正交权重函数为 w(x)=1w(x) = 1，满足积分关系：

∫−11Pm(x)Pn(x)dx=22n+1δmn\int_{-1}^{1} P_m(x) P_n(x) \mathrm{d}x = \frac{2}{2n+1} \delta_{mn}

母函数定义为，对于 ∣x∣≤1|x| \le 1 且 ∣t∣<1|t| < 1：

11−2xt+t2=∑n=0∞Pn(x)tn\frac{1}{\sqrt{1 - 2xt + t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x) t^n

示例 Legendre 多项式
定义 nn 阶 Legendre 多项式

Pn(x):=12nn!dndxn(x2−1)nP_n(x) := \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 - 1)^n

满足：

  1. Pn′(x)=xPn−1′(x)+nPn−1(x)P_n'(x) = x P_{n-1}'(x) + n P_{n-1}(x)
  2. (x2−1)Pn′′(x)+2xPn′(x)−n(n+1)Pn(x)=0(x^2 - 1) P_n''(x) + 2 x P_n'(x) - n(n + 1) P_n(x) = 0
证明

(1)
令 u=x2−1u = x^2 - 1

Pn(x)=12nn!dndxn(un)P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (u^n)

求一阶导数：

Pn′(x)=12nn!dn+1dxn+1(un)=12nn!dndxn[ddx(un)]=12nn!dndxn(2nxun−1)=2n2nn!dndxn(xun−1)=12n−1(n−1)!dndxn(xun−1)\begin{aligned} P_n'(x) &= \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} (u^n) \\ &= \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} \left[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (u^n) \right] \\ &= \frac{1}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (2nx u^{n-1}) \\ &= \frac{2n}{2^n n!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (x u^{n-1}) \\ &= \frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (x u^{n-1}) \end{aligned}

利用高阶 Leibniz 法则对乘积 (x⋅un−1)(x \cdot u^{n-1}) 展开 nn 阶导数。由于 xx 的二阶及以上导数均为 00，级数严格截断为前两项：

dndxn(xun−1)=xdndxn(un−1)+n⋅1⋅dn−1dxn−1(un−1)\frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (x u^{n-1}) = x \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (u^{n-1}) + n \cdot 1 \cdot \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}x^{n-1}} (u^{n-1})

将该展开式代回 Pn′(x)P_n'(x)，并将系数分配至各项：

Pn′(x)=x[12n−1(n−1)!dndxn(un−1)]+n[12n−1(n−1)!dn−1dxn−1(un−1)]P_n'(x) = x \left[ \frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (u^{n-1}) \right] + n \left[ \frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}x^{n-1}} (u^{n-1}) \right]

注意到这里

Pn−1(x)=12n−1(n−1)!dn−1dxn−1(un−1)P_{n-1}(x) = \frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}x^{n-1}} (u^{n-1})

对其求导得到

Pn−1′(x)=12n−1(n−1)!dndxn(un−1)P_{n-1}'(x) = \frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (u^{n-1})

综上

Pn′(x)=xPn−1′(x)+nPn−1(x)P_n'(x) = xP_{n-1}'(x) + nP_{n-1}(x)

(2)
令 y=(x2−1)ny = (x^2 - 1)^n。对其求一阶导数：

y′=n(x2−1)n−1⋅2xy' = n(x^2 - 1)^{n-1} \cdot 2x

等式两端同乘 (x2−1)(x^2 - 1)，升次构造出原函数 yy：

(x2−1)y′=2nx(x2−1)n=2nxy(x^2 - 1)y' = 2nx(x^2 - 1)^n = 2nxy

移项得到

(x2−1)y′−2nxy=0(x^2 - 1)y' - 2nxy = 0

对上述等式两边同时求 n+1n+1 阶导数，并对两项分别应用高阶 Leibniz 法则。
其中第一项：

dn+1dxn+1[(x2−1)y′]=(x2−1)y(n+2)+(n+11)(2x)y(n+1)+(n+12)(2)y(n)=(x2−1)y(n+2)+2x(n+1)y(n+1)+n(n+1)y(n)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} [(x^2 - 1)y'] &= (x^2 - 1)y^{(n+2)} + \binom{n+1}{1}(2x)y^{(n+1)} + \binom{n+1}{2}(2)y^{(n)} \\ &= (x^2 - 1)y^{(n+2)} + 2x(n+1)y^{(n+1)} + n(n+1)y^{(n)} \end{aligned}

第二项：

dn+1dxn+1[2nxy]=2n[xy(n+1)+(n+11)(1)y(n)]=2nxy(n+1)+2n(n+1)y(n)\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}^{n+1}}{\mathrm{d}x^{n+1}} [2nxy] &= 2n \left[ xy^{(n+1)} + \binom{n+1}{1}(1)y^{(n)} \right] \\ &= 2nxy^{(n+1)} + 2n(n+1)y^{(n)} \end{aligned}

合并结果

(x2−1)y(n+2)+2xy(n+1)−n(n+1)y(n)=0(x^2 - 1)y^{(n+2)} + 2xy^{(n+1)} - n(n+1)y^{(n)} = 0

注意到

Pn(x)=12nn!y(n)P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} y^{(n)}

因此

y(n)=2nn!Pn(x)y(n+1)=2nn!Pn′(x)y(n+2)=2nn!Pn′′(x)\begin{aligned} y^{(n)} &= 2^n n! P_n(x) \\ y^{(n+1)} &= 2^n n! P_n'(x) \\ y^{(n+2)} &= 2^n n! P_n''(x) \end{aligned}

上述关系代入化简后的方程，并约去非零常数 2nn!2^n n!，即可得到

(x2−1)Pn′′(x)+2xPn′(x)−n(n+1)Pn(x)=0(x^2 - 1)P_n''(x) + 2xP_n'(x) - n(n+1)P_n(x) = 0

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Hermite 多项式是一类经典的常微分方程正交解，在概率论中正交权重常选取 e−x2/2e^{-x^2/2}（如下板块中所示），而物理中一般选取 e−x2e^{-x^2}，二者转换如下

Hnphys(x)=2n/2Hnprob(2x)H_n^{phys}(x) = 2^{n/2} H_n^{prob}(\sqrt{2}x)

完成后续分析学习后，可以知道 Hermite 多项式在加权平方可积空间 L2(R,e−x2/2dx)L^2(\mathbb{R}, e^{-x^2/2}\mathrm{d}x) 中构成了一组完备的正交基。其中内积定义为

⟨f,g⟩=∫−∞∞f(x)g(x)e−x2/2dx\langle f, g \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)g(x)e^{-x^2/2} \mathrm{d}x

概率论约定下的 Hermite 多项式母函数定义为：

G(x,t)=ext−t2/2=∑n=0∞Hn(x)tnn!G(x, t) = e^{xt - t^2/2} = \sum_{n=0}^{\infty} H_n(x) \frac{t^n}{n!}

示例 Hermite 多项式
定义 nn 阶 Hermite 多项式

Hn(x):=(−1)nex2/2dndxne−x2/2H_n(x) := (-1)^n e^{x^2/2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2/2}

满足：

  1. Hn′(x)=nHn−1(x)H_n'(x) = nH_{n-1}(x)
  2. Hn′′(x)−xHn′(x)+nHn(x)=0H_n''(x) - x H_n'(x) + n H_n(x) = 0
证明

令基础函数为 w(x)=e−x2/2w(x) = e^{-x^2/2}。其一阶导数为：

w′(x)=−xe−x2/2=−xw(x)w'(x) = -x e^{-x^2/2} = -x w(x)

原 Hermite 多项式的定义式可简写为：

Hn(x)=(−1)nex2/2w(n)(x)H_n(x) = (-1)^n e^{x^2/2} w^{(n)}(x)

(1)
对 Hn(x)H_n(x) 关于 xx 求一阶导数。应用乘积求导法则：

Hn′(x)=(−1)n[xex2/2w(n)(x)+ex2/2w(n+1)(x)]H_n'(x) = (-1)^n \left[ x e^{x^2/2} w^{(n)}(x) + e^{x^2/2} w^{(n+1)}(x) \right]

为处理 w(n+1)(x)w^{(n+1)}(x)，对前述的等式 w′(x)=−xw(x)w'(x) = -xw(x) 两边同求 nn 阶导数。应用高阶 Leibniz 法则：

w(n+1)(x)=dndxn(−xw(x))=−xw(n)(x)−nw(n−1)(x)w^{(n+1)}(x) = \frac{\mathrm{d}^n}{\mathrm{d}x^n} (-x w(x)) = -x w^{(n)}(x) - n w^{(n-1)}(x)

该展开式代回 Hn′(x)H_n'(x) 的表达式中

Hn′(x)=(−1)nex2/2[xw(n)(x)−xw(n)(x)−nw(n−1)(x)]=(−1)nex2/2[−nw(n−1)(x)]=n(−1)n−1ex2/2w(n−1)(x)=nHn−1(x)\begin{aligned} H_n'(x) &= (-1)^n e^{x^2/2} \left[ x w^{(n)}(x) - x w^{(n)}(x) - n w^{(n-1)}(x) \right] \\ &= (-1)^n e^{x^2/2} \left[ -n w^{(n-1)}(x) \right] \\ &= n (-1)^{n-1} e^{x^2/2} w^{(n-1)}(x) \\ &= n H_{n-1}(x) \end{aligned}

(2)
在上述证明中有

Hn′(x)=x(−1)nex2/2w(n)(x)−(−1)n+1ex2/2w(n+1)(x)H_n'(x) = x (-1)^n e^{x^2/2} w^{(n)}(x) - (-1)^{n+1} e^{x^2/2} w^{(n+1)}(x)

注意识别其中的 Hermite 多项式，得到

Hn′(x)=xHn(x)−Hn+1(x)H_n'(x) = x H_n(x) - H_{n+1}(x)

移项得到递推格式，再求一阶导数

Hn+1′(x)=Hn(x)+xHn′(x)−Hn′′(x)H_{n+1}'(x) = H_n(x) + x H_n'(x) - H_n''(x)

利用已经证明的结论 Hn+1′(x)=(n+1)Hn(x)H_{n+1}'(x) = (n + 1) H_n(x)，得到

(n+1)Hn(x)=Hn(x)+xHn′(x)−Hn′′(x)(n+1) H_n(x) = H_n(x) + x H_n'(x) - H_n''(x)

化简即可

Hn′′(x)−xHn′(x)+nHn(x)=0H_n''(x) - x H_n'(x) + n H_n(x) = 0

□\square

# 复合函数与反函数的微分

命题
令 ff 为在 x0x_0 的邻域处定义的实值函数，则以下等价

  1. ff 在点 x0x_0 处可微分，且 f′(x0)=af'(x_0) = a
  2. ∀ε>0,∃δ>0,∀x:∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)−a(x−x0)∣≤ε∣x−x0∣{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x: |x - x_0| \lt \delta \implies |f(x) - f(x_0) - a (x - x_0)| \leq \varepsilon |x - x_0|
  3. 存在一个在 x0x_0 处连续的函数 gg 满足 g(x0)=ag(x_0) = a，且 f(x)=f(x0)+g(x)(x−x0)f(x) = f(x_0) + g(x) (x - x_0)
证明

(1)   ⟹  \implies (2)
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，根据条件

∃δ>0,∀x:∣x−x0∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(x0)x−x0−a∣<ε{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x: |x - x_0| \lt \delta \implies \left| \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - a \right| \lt \varepsilon

直接将 ∣x−x0∣|x - x_0| 乘到不等式的两边即可

(2)   ⟹  \implies (3)
定义 gg 如下

g(x):={f(x)−f(x0)x−x0,x≠x0a,x=x0g(x) := \begin{cases} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, & x \neq x_0 \\ a, & x = x_0 \end{cases}

那么 gg 在 x0x_0 处连续，并且满足 f(x)=f(x0)+g(x)(x−x0)f(x) = f(x_0) + g(x) (x - x_0)

(3)   ⟹  \implies (1)
根据条件

lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡x→x0g(x)=g(x0)=a\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) = a

□\square

命题 复合函数的微分
设函数 ff 在点 x0x_0 处可微分，且函数 gg 在点 f(x0)f(x_0) 处可微分，那么复合函数 g∘fg \circ f 在点 x0x_0 处可微分，并且满足

(g∘f)′(x0)=g′(f(x0))f′(x0)(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0)

证明

由于 f,gf,g 各自在对应的点处可微分，因此存在函数 f1f_1 和 g1g_1 满足

{f1(x0)=f′(x0)f(x)=f(x0)+f1(x)(x−x0),{g1(f(x0))=g′(f(x0))g(y)=g(f(x0))+g1(y)(y−f(x0))\begin{cases} f_1(x_0) = f'(x_0) \\ f(x) = f(x_0) + f_1(x) (x - x_0) \end{cases},\quad \begin{cases} g_1(f(x_0)) = g'(f(x_0)) \\ g(y) = g(f(x_0)) + g_1(y) (y - f(x_0)) \end{cases}

结合上述两式，得到在 x0x_0 的邻域内，

g(f(x))=g(f(x0))+g1(f(x))(f(x)−f(x0))=g(f(x0))+g1(f(x))f1(x)(x−x0)\begin{aligned} g(f(x)) &= g(f(x_0)) + g_1(f(x)) (f(x) - f(x_0)) \\ &= g(f(x_0)) + g_1(f(x)) f_1(x) (x - x_0) \end{aligned}

由于 f1f_1 和 g1g_1 在对应的点处连续，因此复合函数的连续性给出 g1∘fg_1 \circ f 在 x0x_0 处连续
因此，g∘fg \circ f 在 x0x_0 处可微分，并且

(g∘f)′(x0)=(g1∘f)(x0)f1(x0)=g′(f(x0))f′(x0)(g \circ f)'(x_0) = (g_1 \circ f)(x_0) f_1(x_0) = g'(f(x_0)) f'(x_0)

□\square

复合函数的微分法则，也通常被称为 链式法则 (Chain Rule)「連鎖律」
通过利用链式法则，可以引出对数微分法，解决原本一些复杂的微分问题。
对数微分法的原理在于，当 f(x)>0f(x) \gt 0 且为 C1C^1 类函数时，ln⁡f(x)\ln f(x) 也是 C1C^1 类函数，因此

ddxln⁡f(x)=f′(x)f(x)  ⟹  f′(x)=f(x)⋅ddxln⁡f(x)\frac{d}{dx} \ln f(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} \implies f'(x) = f(x) \cdot \frac{d}{dx} \ln f(x)

示例
求解以下函数的微分

f(x)=xx,x>0f(x) = x^x,\quad x \gt 0

解

对函数表达式的两边取对数，得到

ln⁡f(x)=xln⁡x\ln f(x) = x \ln x

对两边进行微分，得到

f′(x)f(x)=ln⁡x+1\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln x + 1

因此

f′(x)=xx(ln⁡x+1)f'(x) = x^x (\ln x + 1)

□\square

命题 反函数的微分
令函数 f:[a,b]→Rf:[a,b] \to \mathbb R 连续且狭义单调，满足在 x0∈(a,b)x_0 \in (a,b) 处可微分，且 f′(x0)≠0f'(x_0) \neq 0
那么 ff 的反函数 f−1f^{-1} 在点 f(x0)f(x_0) 处可微分，并且满足

(f−1)′(f(x0))=1f′(x0)(f^{-1})'(f(x_0)) = \frac{1}{f'(x_0)}

证明

不失一般性可以设 f(a)<f(b)f(a) \lt f(b)，则 ff 是单调递增的。
根据条件，存在在 x0x_0 处连续的函数 gg 满足 g(x0)=f′(x0)g(x_0) = f'(x_0)，且

f(x)=f(x0)+g(x)(x−x0)f(x) = f(x_0) + g(x) (x - x_0)

注意 ff 是狭义单调递增，因此 g(x)>0g(x) \gt 0，
设 y=f(x), y0=f(x0)y = f(x),\ y_0 = f(x_0)，则上式改写为

f−1(y)=f−1(y0)+y−y0g(f−1(y))f^{-1}(y) = f^{-1}(y_0) + \frac{y - y_0}{g(f^{-1}(y))}

根据反函数的连续性得知 f−1, g∘f−1f^{-1},\ g \circ f^{-1} 在 y0y_0 处连续
再根据复合函数的可微分性得到 f−1f^{-1} 在 y0y_0 处可微分，并且

(f−1)′(y0)=1g(f−1(y0))=1f′(x0)(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{g(f^{-1}(y_0))} = \frac{1}{f'(x_0)}

□\square

如果 ff 是 C1C^1 类函数，则利用介值定理可以证明 f′f' 定号，那么可以得到进一步的结论：f−1f^{-1} 也是 C1C^1 类函数，且

(f−1)′(y)=1f′(f−1(y))(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y))}

这里着重介绍几个反函数的微分

正弦函数 sin⁡\sin

如果我们想要获取其反函数，必须满足狭义单调性，看图像不难得知这意味着定义域区间长度不能超过 π\pi
并且为了保证 sin⁡′x=cos⁡x≠0\sin'x = \cos x \neq 0，定义域区间不能包含 π2+kπ\dfrac{\pi}{2} + k\pi 的点
综上，可以选择的区间有 (−π2,π2)(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})，(π2,3π2)(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}) 等等
这些区间上的反函数都是 sin⁡−1x\sin^{-1}x，但是习惯上我们约定选取 (−π2,π2)(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}) 上的反函数作为主值，记作 Sin−1x\mathrm{Sin}^{-1}x 或者 Arcsinx\mathrm{Arcsin}x

对于 sin⁡−1x\sin^{-1}x 的微分计算，我们设 x=sin⁡yx = \sin y，注意在 (−π2,π2)(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}) 上，cos⁡y>0\cos y \gt 0，则

ddxsin⁡−1x=1ddysin⁡y=1cos⁡y=11−sin⁡2y=11−x2\frac{d}{dx} \sin^{-1}x = \frac{1}{\frac{d}{dy} \sin y} = \frac{1}{\cos y} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 y}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}

正切函数 tan⁡\tan
同样需要满足狭义单调性，并且注意到 tan⁡\tan 本身的定义域，定义域区间不能包含 π2+kπ\dfrac{\pi}{2} + k\pi 的点，可以选择 (nπ−π2,nπ+π2)(n\pi - \dfrac{\pi}{2}, n\pi + \dfrac{\pi}{2}) 等区间
习惯上我们约定选取 (−π2,π2)(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}) 上的反函数作为主值，记作 Tan−1x\mathrm{Tan}^{-1}x 或者 Arctanx\mathrm{Arctan}x

对于 tan⁡−1x\tan^{-1}x 的微分计算，我们设 x=tan⁡yx = \tan y，则

ddxtan⁡−1x=1ddytan⁡y=cos⁡2y=11+tan⁡2y=11+x2\frac{d}{dx} \tan^{-1}x = \frac{1}{\frac{d}{dy} \tan y} = \cos^2 y = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}

双曲函数 sinh⁡\sinh
双曲函数定义为

sinh⁡x=ex−e−x2,cosh⁡x=ex+e−x2\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2},\quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}

满足恒等式

cosh⁡2x−sinh⁡2x=1\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1

其反函数的微分计算为

ddxsinh⁡−1x=11+x2,ddxcosh⁡−1x=1x2−1\frac{d}{dx} \sinh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}},\quad \frac{d}{dx} \cosh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}

实际上

sinh⁡−1x=ln⁡(x+1+x2),cosh⁡−1x=ln⁡(x+x2−1)\sinh^{-1}x = \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right),\quad \cosh^{-1}x = \ln \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right)

一般来说，导函数满足介值定理，具有类似于连续函数的性质，但是以下例子中，函数具有不连续的导函数

示例
证明函数

f(x)={x2sin⁡(1x),x≠00,x=0f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

具有不连续的导函数

证明

当 x≠0x \neq 0 时，函数表达式为基本初等函数的复合与乘积。直接应用乘积求导法则与链式法则：

f′(x)=2xsin⁡(1x)+x2cos⁡(1x)⋅(−1x2)=2xsin⁡(1x)−cos⁡(1x)f'(x) = 2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) + x^2 \cos \left( \frac{1}{x} \right) \cdot \left( -\frac{1}{x^2} \right) = 2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right)

当 x=0x = 0 时，函数的导数为

f′(0)=lim⁡x→0f(x)−f(0)x−0=lim⁡x→0x2sin⁡(1x)x=lim⁡x→0xsin⁡(1x)=0f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} = \lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0

综上

f′(x)={2xsin⁡(1x)−cos⁡(1x),x≠00,x=0f'(x) = \begin{cases} 2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

考虑导函数在 x=0x = 0 处的连续性

lim⁡x→0f′(x)=lim⁡x→0(2xsin⁡(1x)−cos⁡(1x))\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) - \cos \left( \frac{1}{x} \right))

其中虽然 lim⁡x→02xsin⁡(1x)=0\displaystyle\lim_{x \to 0} 2x \sin \left( \frac{1}{x} \right) = 0，但是 lim⁡x→0−cos⁡(1x)\displaystyle\lim_{x \to 0} -\cos \left( \frac{1}{x} \right) 不存在，因此导函数在 x=0x = 0 处不连续

极限不存在可以使用不同的趋近方式来证明，我们构造两个趋于 00 的数列

xn=12nπ,yn=1(2n+1)πx_n = \frac{1}{2 n \pi},\qquad y_n = \frac{1}{(2 n + 1) \pi}

将其分别代入极限，得到

lim⁡n→∞−cos⁡(1xn)=lim⁡n→∞−cos⁡(2nπ)=−1lim⁡n→∞−cos⁡(1yn)=lim⁡n→∞−cos⁡((2n+1)π)=1\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} -\cos \left( \frac{1}{x_n} \right) &= \lim_{n \to \infty} -\cos (2 n \pi) = -1 \\ \lim_{n \to \infty} -\cos \left( \frac{1}{y_n} \right) &= \lim_{n \to \infty} -\cos ((2 n + 1) \pi) = 1 \end{aligned}

沿不同路径所得到的极限值不一致，这与极限值的唯一性矛盾，因此极限不可能存在
□\square