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# 上极限与下极限

某些情况下，经典极限 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n 的存在条件过于苛刻。
极限要求序列最终无限逼近单一确定的值，但分析学中存在大量不收敛的振荡数列

为了对所有数列的行为进行分析，可以引入上极限和下极限的概念

任意给出一个实数列 {xn}\{x_n\}，分别定义其靠后的上确界序列 SnS_n 和下确界序列 InI_n：

Sn=sup⁡k≥nxk,In=inf⁡k≥nxkS_n = \sup_{k \ge n} x_k,\quad I_n = \inf_{k \ge n} x_k

也就是从序号 nn 的位置开始往后看尾部的数列的上确界和下确界

随着 nn 的增加，不难看出被剔除的项数会越来越多，这意味着

  • 上确界只能下降或保持不变，因此 {Sn}\{S_n\} 是一个单调递减序列。
  • 下确界只能上升或保持不变，因此 {In}\{I_n\} 是一个单调递增序列。

因此，数列 {Sn}\{S_n\} 和 {In}\{I_n\} 都是单调的，并且由于 In≤SnI_n \leq S_n 对任意 nn 都成立，所以它们都是有界的。
根据单调有界数列的性质，{Sn}\{S_n\} 和 {In}\{I_n\} 都是收敛的，因此可以定义其极限值

  • 称 lim⁡n→∞sup⁡k≥nxk\displaystyle\lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} x_k 为数列 {xn}\{x_n\} 的 上极限 (limit superior)「上極限」，记为 lim⁡n→∞‾xn\displaystyle \overline{\lim_{n \to \infty}} x_n 或 lim sup⁡n→∞xn\displaystyle \limsup_{n \to \infty} x_n
  • 称 lim⁡n→∞inf⁡k≥nxk\displaystyle\lim_{n \to \infty} \inf_{k \ge n} x_k 为数列 {xn}\{x_n\} 的 下极限 (limit inferior)「下極限」，记为 lim⁡n→∞‾xn\displaystyle \underline{\lim_{n \to \infty}} x_n 或 lim inf⁡n→∞xn\displaystyle \liminf_{n \to \infty} x_n

对于任意一个数列，即使极限不一定存在，但是上极限和下极限一定存在
这是数列在无穷远处震荡的界限

上极限永远大于或等于下极限

命题
对于任意数列 {xn}\{x_n\}，

lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾xn\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n \leq \overline{\lim_{n \to \infty}} x_n

证明

由于 inf⁡k≥nxk≤sup⁡k≥nxk\displaystyle\inf_{k \ge n} x_k \leq \sup_{k \ge n} x_k 对任意 nn 都成立，上下极限的定义是对这个单调有界数列取极限，而极限又具有保序性，因此

lim⁡n→∞‾xn=lim⁡n→∞inf⁡k≥nxk≤lim⁡n→∞sup⁡k≥nxk=lim⁡n→∞‾xn\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n = \lim_{n \to \infty} \inf_{k \ge n} x_k \leq \lim_{n \to \infty} \sup_{k \ge n} x_k = \overline{\lim_{n \to \infty}} x_n

□\square

命题 上极限与下极限的运算性质
对于任意有界数列 {xn}\{x_n\} 和 {yn}\{y_n\} 和正数 k>0k \gt 0，有

  1. 负号互换：

lim⁡n→∞‾(−xn)=−lim⁡n→∞‾xn,lim⁡n→∞‾(−xn)=−lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} (-x_n) = -\displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n, \quad \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} (-x_n) = -\displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n

  1. 劣加法性：

lim⁡n→∞‾(xn+yn)≤lim⁡n→∞‾xn+lim⁡n→∞‾yn\displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} (x_n + y_n) \leq \displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n + \displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} y_n

  1. 优加法性：

lim⁡n→∞‾(xn+yn)≥lim⁡n→∞‾xn+lim⁡n→∞‾yn\displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} (x_n + y_n) \geq \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n + \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} y_n

  1. 正齐次性：

lim⁡n→∞‾(kxn)=k⋅lim⁡n→∞‾xn,lim⁡n→∞‾(kxn)=k⋅lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} (k x_n) = k \cdot \displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n, \quad \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} (k x_n) = k \cdot \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n

  1. 单调性：如果 xn≤ynx_n \leq y_n 对任意 nn 都成立，那么

lim⁡n→∞‾xn≤lim⁡n→∞‾yn≤lim⁡n→∞‾yn≤lim⁡n→∞‾xn\displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n \leq \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} y_n \leq \displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} y_n \leq \displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n

证明

回顾实数章节给出的上下确界的运算性质，有

sup⁡(−A)=−inf⁡Ainf⁡(−A)=−sup⁡Asup⁡(A+B)=sup⁡A+sup⁡Binf⁡(A+B)=inf⁡A+inf⁡Bsup⁡(kA)=ksup⁡Ainf⁡(kA)=kinf⁡A\begin{aligned} &\sup(-A) = -\inf A\\ &\inf(-A) = -\sup A\\ &\sup(A + B) = \sup A + \sup B\\ &\inf(A + B) = \inf A + \inf B\\ &\sup(kA) = k \sup A\\ &\inf(kA) = k \inf A \end{aligned}

定义尾部数列

En:={xk∣k≥n},Fn:={yk∣k≥n}E_n := \{x_k \mid k \ge n\},\quad F_n := \{y_k \mid k \ge n\}

(1)
对于任意 n∈Nn \in \mathbb N，有

sup⁡k≥n(−xk)=sup⁡(−En)=−inf⁡En=−inf⁡k≥nxk\sup_{k \ge n} (-x_k) = \sup(-E_n) = -\inf E_n = -\inf_{k \ge n} x_k

对两侧取极限即可得到

lim⁡n→∞‾(−xn)=−lim⁡n→∞‾xn\overline{\lim_{n \to \infty}} (-x_n) = -\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n

同理，有

inf⁡k≥n(−xk)=inf⁡(−En)=−sup⁡En=−sup⁡k≥nxk\inf_{k \ge n} (-x_k) = \inf(-E_n) = -\sup E_n = -\sup_{k \ge n} x_k

因此

lim⁡n→∞‾(−xn)=−lim⁡n→∞‾xn\underline{\lim_{n \to \infty}} (-x_n) = -\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n

(2)
对于任意 n∈Nn \in \mathbb N，根据上确界的定义，有

k≥n: xk≤sup⁡k≥nxk,yk≤sup⁡k≥nykk \geq n:\ x_k \leq \sup_{k \ge n} x_k, \quad y_k \leq \sup_{k \ge n} y_k

相加得到

xk+yk≤sup⁡k≥nxk+sup⁡k≥nykx_k + y_k \leq \sup_{k \ge n} x_k + \sup_{k \ge n} y_k

这表明 sup⁡En+sup⁡Fn\sup E_n + \sup F_n 是集合 {xk+yk∣k≥n}\{x_k + y_k \mid k \ge n\} 的一个上界，上确界的最小上界定义给出

sup⁡k≥n(xk+yk)≤sup⁡k≥nxk+sup⁡k≥nyk\sup_{k \ge n} (x_k + y_k) \leq \sup_{k \ge n} x_k + \sup_{k \ge n} y_k

对两侧取极限即可得到

(3)
对于任意 n∈Nn \in \mathbb N，根据下确界的定义，有

k≥n: xk≥inf⁡k≥nxk,yk≥inf⁡k≥nykk \geq n:\ x_k \geq \inf_{k \ge n} x_k, \quad y_k \geq \inf_{k \ge n} y_k

相加得到

xk+yk≥inf⁡k≥nxk+inf⁡k≥nykx_k + y_k \geq \inf_{k \ge n} x_k + \inf_{k \ge n} y_k

这表明 inf⁡En+inf⁡Fn\inf E_n + \inf F_n 是集合 {xk+yk∣k≥n}\{x_k + y_k \mid k \ge n\} 的一个下界，下确界的最大下界定义给出

inf⁡k≥n(xk+yk)≥inf⁡k≥nxk+inf⁡k≥nyk\inf_{k \ge n} (x_k + y_k) \geq \inf_{k \ge n} x_k + \inf_{k \ge n} y_k

对两侧取极限即可得到

(4)
上下确界的正齐次性给出

sup⁡(kEn)=ksup⁡En,inf⁡(kEn)=kinf⁡En\sup(kE_n) = k \sup E_n, \quad \inf(kE_n) = k \inf E_n

对上述等式分别取极限即可得到

(5)
对于任意 n∈Nn \in \mathbb N，有

k≥n:xk≤yk≤sup⁡k≥nykk \geq n: x_k \leq y_k \leq \sup_{k \ge n} y_k

因此 sup⁡k≥nyk\sup_{k \ge n} y_k 是集合 EnE_n 的一个上界，上确界的最小上界定义给出

sup⁡k≥nxk≤sup⁡k≥nyk\sup_{k \ge n} x_k \leq \sup_{k \ge n} y_k

同理，有

k≥n:xk≥yk≥inf⁡k≥nykk \geq n: x_k \geq y_k \geq \inf_{k \ge n} y_k

因此 inf⁡k≥nyk\inf_{k \ge n} y_k 是集合 EnE_n 的一个下界，下确界的最大下界定义给出

inf⁡k≥nxk≤inf⁡k≥nyk\inf_{k \ge n} x_k \leq \inf_{k \ge n} y_k

对上述不等式分别取极限即可得到
□\square

若一个数列上下极限一致，则等价于极限存在，且等于该值
这其实是一种等价定义数列极限的方法

命题
对于数列 {xn}\{x_n\}，以下等价

  • lim⁡n→∞xn=ℓ\displaystyle\lim_{n \to \infty} x_n = \ell
  • lim⁡n→∞‾xn=lim⁡n→∞‾xn=ℓ\displaystyle\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n = \displaystyle\underline{\lim_{n \to \infty}} x_n = \ell
证明

(⇒\Rightarrow)
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，根据数列极限的定义

∃n0∈N,∀n≥n0: ∣xn−ℓ∣<ε{}^\exists n_0 \in \mathbb N, {}^\forall n \geq n_0:\ |x_n - \ell| \lt \varepsilon

因此，对于任意 n≥n0n \geq n_0，有

ℓ−ε≤xn≤ℓ+ε\ell - \varepsilon \leq x_n \leq \ell + \varepsilon

上下确界的性质给出

ℓ−ε≤inf⁡k≥nxk≤sup⁡k≥nxk≤ℓ+ε\ell - \varepsilon \leq \inf_{k \ge n} x_k \leq \sup_{k \ge n} x_k \leq \ell + \varepsilon

对不等式取极限，由夹逼定理，得到

lim⁡n→∞‾xn=lim⁡n→∞‾xn=ℓ\overline{\lim_{n \to \infty}} x_n = \underline{\lim_{n \to \infty}} x_n = \ell

(⇐\Leftarrow)
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，根据上下极限的定义

∃n1∈N,∀n≥n1: sup⁡k≥nxk≤ℓ+ε∃n2∈N,∀n≥n2: inf⁡k≥nxk≥ℓ−ε\begin{aligned} &{}^\exists n_1 \in \mathbb N, {}^\forall n \geq n_1:\ \sup_{k \ge n} x_k \leq \ell + \varepsilon\\ &{}^\exists n_2 \in \mathbb N, {}^\forall n \geq n_2:\ \inf_{k \ge n} x_k \geq \ell - \varepsilon \end{aligned}

因此，对于任意 n≥max⁡{n1,n2}n \geq \max\{n_1, n_2\}，有

ℓ−ε≤inf⁡k≥nxk≤xn≤sup⁡k≥nxk≤ℓ+ε\ell - \varepsilon \leq \inf_{k \ge n} x_k \leq x_n \leq \sup_{k \ge n} x_k \leq \ell + \varepsilon

即

∣xn−ℓ∣≤ε|x_n - \ell| \leq \varepsilon

□\square

上下极限给我们学习者提供的一个思维方式是，为了研究一个变化的对象，可以考虑从变化方向的边界去评估它，这样一来即使是难以捕捉的，飞速震荡的研究对象，也可以确保一定程度的可控
这是将上下极限单独作为一节的原因