Home 数学 数学分析

Gamma 函数作为一个经典结果，在实变分析的广义积分中已经被简短介绍过了
但是实际上 Gamma 函数真正的舞台在于复变，本章节详细讨论 Gamma 函数的一系列性质
首先要明确，构造 Gamma 函数的出发点是希望对阶乘这一概念进行推广

# 实变 Gamma 函数

# 复变 Gamma 函数

考察：我们的目标是寻找一个 C\mathbb C 上的良好函数 f(z)f(z) 使得对于任意 n∈Nn \in \mathbb N 都有 f(n)=n!f(n) = n!
一个对于整数 mm 的事实是

m!=(m+n)!(m+1)(m+2)⋯(m+n)=n!(n+1)(n+2)⋯(n+m)(m+1)(m+2)⋯(m+n)m! = \frac{(m+n)!}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} = \frac{n!(n+1)(n+2) \cdots (n+m)}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)}

固定 mm 时，考虑 n→∞n \to \infty 的极限，每个因子 n+mn+m 近似于 nn，因此

lim⁡n→∞n!(n+1)(n+2)⋯(n+m)(m+1)(m+2)⋯(m+n)=lim⁡n→∞n!nm(m+1)(m+2)⋯(m+n)\lim_{n \to \infty} \frac{n!(n+1)(n+2) \cdots (n+m)}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^m}{(m+1)(m+2) \cdots (m+n)}

将 mm 替换为 z∈Cz \in \mathbb C，则可以得到阶乘在复数域上的推广。
但是如果直接将这个极限定义为 Gamma 函数，会导致其具有多个极点，在分析上多有不便
相反，这个函数的倒数却是一个全纯函数，这给了我们构造的思路。
以下正式定义

对于 n∈Nn \in \mathbb N，定义函数列

gn(z):=z(z+1)(z+2)⋯(z+n)n!nzg_n(z) := \frac{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n)}{n! n^z}

命题
gng_n 可以改写为

gn(z)=z∏k=1n(1+zk)e−zk⋅exp⁡(z∑k=1n1k−zlog⁡n)g_n(z) = z \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{z}{k}\right) e^{-\frac{z}{k}} \cdot \exp\left(z \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - z \log n\right)

证明

gn(z)=z(z+1)(z+2)⋯(z+n)n!nz=zz+11⋅z+22⋯z+nn⋅exp⁡(−zlog⁡n)=z∏k=1n(1+zk)⋅e−z/k⋅ez/k⋅exp⁡(−zlog⁡n)⏟Inside the product\begin{aligned} g_n(z) &= \frac{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n)}{n! n^z} \\ &= z \frac{z+1}{1} \cdot \frac{z+2}{2} \cdots \frac{z+n}{n} \cdot \exp\left(-z \log n\right) \\ &= z \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{z}{k}\right) \underbrace{\cdot e^{-z/k} \cdot e^{z/k} \cdot \exp\left(-z \log n\right)}_{\text{Inside the product}} \\ \end{aligned}

这里由于

∏k=1nez/k=exp⁡(z∑k=1n1k)\prod_{k=1}^n e^{z/k} = \exp\left(z \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}\right)

代回得到

gn(z)=z∏k=1n(1+zk)e−zk⋅exp⁡(z∑k=1n1k−zlog⁡n)\begin{aligned} g_n(z) &= z \prod_{k=1}^n \left(1 + \frac{z}{k}\right) e^{-\frac{z}{k}} \cdot \exp\left(z \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - z \log n\right) \end{aligned}

□\square

命题
无穷积

∏n=1∞(1+zn)e−zn\prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}}

在 C\mathbb C 上广义一致收敛

证明

将其改写为 1+un1 + u_n 的形式，即

un:=(1+zn)e−zn−1u_n := \left(1 + \frac{z}{n}\right) e^{-\frac{z}{n}} - 1

由于 unu_n 是全纯函数的有理结合，因此 unu_n 也是全纯函数，我们只需证明

∑n=1∞∣un(z)∣\sum_{n=1}^\infty |u_n(z)|

在 C\mathbb C 上广义一致收敛即可

综上，gng_n 的极限函数

g(z):=lim⁡n→∞gn(z)g(z) := \lim_{n \to \infty} g_n(z)

成为一个全纯函数，并且在

PΓ:={n∣n∈Z,n≤0}P_\Gamma := \{n \mid n \in \mathbb Z, n \leq 0\}

具有一阶零点，我们通过有理型函数 1g(z)\dfrac{1}{g(z)} 来定义 Gamma 函数

定义
对于 z∈Cz \in \mathbb C，定义 Gamma 函数为

Γ(z):=1g(z)=lim⁡n→∞n!nzz(z+1)(z+2)⋯(z+n)\Gamma(z) := \frac{1}{g(z)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n! n^z}{z(z+1)(z+2) \cdots (z+n)}

命题
Gamma 函数在 C\mathbb C 上有理型，并且不具备零点。
此外，Γ(z)\Gamma(z) 的极点集 PΓP_\Gamma 全为一阶极点

命题 Weierstrass 无穷积

1Γ(z)=zeγz∏k=1∞(1+zk)e−z/k\frac{1}{\Gamma(z)} = z e^{\gamma z} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{k}\right) e^{-z/k}

γ:=lim⁡n→∞(∑k=1n1k−ln⁡n)\gamma := \lim_{n \to \infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln n\right)

命题
对于非极点 z∉PΓz \not\in P_\Gamma，有

  • Γ(1)=1\Gamma(1) = 1
  • Γ(z+1)=zΓ(z)\Gamma(z+1) = z \Gamma(z)

命题
对于 n∈Nn \in \mathbb N，有

Res(Γ,−n)=(−1)nn!\mathrm{Res}(\Gamma, -n) = \dfrac{(-1)^n}{n!}

命题 Euler 的反射公式
对于 z∈Cz \in \mathbb C，有

1Γ(z)Γ(1−z)=sin⁡πzπ\frac{1}{\Gamma(z) \Gamma(1-z)} = \frac{\sin \pi z}{\pi}

示例
于 Euler 的反射公式代入 z=12z = \frac{1}{2}，得到

1Γ(1/2)Γ(1/2)=sin⁡(π/2)π=1π\frac{1}{\Gamma(1/2) \Gamma(1/2)} = \frac{\sin (\pi/2)}{\pi} = \frac{1}{\pi}

因此 Γ(1/2)=π\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}，这是 Gamma 函数的一个重要值

# Di Gamma 函数

自然地，我们想对 Γ(z)\Gamma(z) 求导。但是直接对其求导会得到一个比它本身还复杂的函数
既然定义式中多处用到了乘积，我们尝试利用对数微分法，定义 Di Gamma 函数为

ψ(z):=ddzlog⁡Γ(z)=Γ′(z)Γ(z)\psi(z) := \frac{d}{dz} \log \Gamma(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}

这使得乘法结构转为线性加法，例如对 Γ(z+1)=zΓ(z)\Gamma(z+1) = z \Gamma(z) 进行对数微分，得到非常简洁的方程

ψ(z+1)=ψ(z)+1z\psi(z+1) = \psi(z) + \frac{1}{z}

命题

ψ(z)=−γ+∑n=0∞(1n+1−1z+n)ddzψ(z)=∑n=0∞1(z+n)2\begin{aligned} \psi(z) &= -\gamma + \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{1}{n+1} - \frac{1}{z+n}\right) \\ \frac{d}{dz} \psi(z) &= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(z+n)^2} \end{aligned}

记号 ψ\psi 来自 Gauss。称呼 Digamma 是因为它是 Γ\Gamma 的对数导数
继续求导会得到 ψ′\psi'（trigamma）、ψ′′\psi''（tetragamma）等等，统称 polygamma 函数：

ψ(m)(z)=(−1)m+1m!∑k=0∞1(k+z)m+1\psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1} m! \sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(k+z)^{m+1}}

上述级数结论几乎立即表明

  • ψ(1)=−γ\psi(1) = -\gamma

命题 Legendre 二倍公式
对于非极点 z∉PΓ∪(PΓ−12)z \not\in P_\Gamma \cup (P_\Gamma - \frac{1}{2})，有

πΓ(2z)=22z−1Γ(z)Γ(z+12)\sqrt{\pi} \Gamma(2z) = 2^{2z-1} \Gamma(z) \Gamma\left(z + \frac{1}{2}\right)

命题 Euler 积分表示
对于 Re(z)>0\mathrm{Re}(z) > 0，有

Γ(z)=∫0∞tz−1e−tdt\Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t} dt