利用二倍角公式 $\sin 2z = 2 \sin z \cos z$，可以得到

$$\cos z = \frac{\sin 2z}{2 \sin z}$$

进行代换 $z \mapsto \dfrac{z}{2^n}$，得到

$$\cos\dfrac{z}{2^n} = \frac{\sin \dfrac{z}{2^{n-1}}}{2 \sin \dfrac{z}{2^n}}$$

对等式两边取积，直到 $n = N$，

$$\prod_{n=1}^N \cos\dfrac{z}{2^n} = \frac{\sin z}{2 \sin \dfrac{z}{2}} \cdot \frac{\sin \dfrac{z}{2}}{2 \sin \dfrac{z}{4}} \cdots \frac{\sin \dfrac{z}{2^{N-1}}}{2 \sin \dfrac{z}{2^N}} = \frac{\sin z}{2^N \sin \dfrac{z}{2^N}}$$

考虑在 $N \to \infty$ 时的极限，可以知道

$$2^N \sin \dfrac{z}{2^N} = z \cdot \frac{\sin \dfrac{z}{2^N}}{\dfrac{z}{2^N}} \xrightarrow{N \to \infty} z$$

因此

$$\prod_{n=1}^\infty \cos\dfrac{z}{2^n} = \lim_{N \to \infty} \prod_{n=1}^N \cos\dfrac{z}{2^n} = \lim_{N \to \infty} \frac{\sin z}{2^N \sin \dfrac{z}{2^N}} = \frac{\sin z}{z}$$

$\square$

有限积的性质给出，在 $N$ 项以内有

$$\prod_{n=1}^N a_n b_n = \left(\prod_{n=1}^N a_n\right) \cdot \left(\prod_{n=1}^N b_n\right)$$

注意极限是具有乘法法则的，即

$$\left( \lim_{N \to \infty} \prod_{n=1}^N a_n \right) \cdot \left( \lim_{N \to \infty} \prod_{n=1}^N b_n \right) = \lim_{N \to \infty} \left( \prod_{n=1}^N a_n \right) \cdot \lim_{N \to \infty} \left( \prod_{n=1}^N b_n \right) = \lim_{N \to \infty} \prod_{n=1}^N a_n b_n$$

因此

$$\prod_{n=1}^\infty a_n b_n = \lim_{N \to \infty} \prod_{n=1}^N a_n b_n = \left(\prod_{n=1}^\infty a_n\right) \cdot \left(\prod_{n=1}^\infty b_n\right)$$

$\square$

($\Rightarrow$)
令 $\displaystyle\prod_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，根据定义

$${}^\exists n_0 \in \mathbb N:\ {}^\forall n \geq n_0:\ a_n \neq 0$$

定义数列

$$P_\ell := \prod_{n=n_0}^\ell a_n$$

则数列 $\{P_\ell\}$ 收敛于非零值 $P$，因此

$${}^\exists \ell_0 \in \mathbb N:\ {}^\forall \ell \geq \ell_0:\ |P_\ell - P| \lt \frac{|P|}{2}$$

同时由于 $|P_\ell - P| \geq |P| - |P_\ell|$，可以得到

$$|P_\ell| \geq |P| - |P_\ell - P| \gt \frac{|P|}{2}$$

接下来，任取 $\varepsilon \gt 0$，由于 $\{P_\ell\}$ 是 Cauchy 列，所以

$${}^\exists \ell_1 \in \mathbb N:\ {}^\forall \ell, \ell' \in \mathbb N:\ \ell, \ell' \geq \ell_1 \Rightarrow |P_\ell - P_{\ell'}| \lt \frac{|P|}{2} \varepsilon$$

那么，考虑在 $n \geq \max\{\ell_0, \ell_1\}$ 的情况下，任取 $m \in \mathbb N$，可以得到

$$\begin{aligned} \left|\prod_{k=n+1}^{n+m} a_k - 1\right| &= \left|\frac{1}{P_n} (P_{n+m} - P_n)\right| \\ &\leq \frac{2}{|P|} |P_{n+m} - P_n| \\ &\lt \frac{2}{|P|} \cdot \frac{|P|}{2} \varepsilon \\ &= \varepsilon \end{aligned}$$

($\Leftarrow$)
任取 $\varepsilon \gt 0$，根据条件

$${}^\exists n_0 \in \mathbb N,\ {}^\forall n \geq n_0,\ {}^\forall m \in \mathbb N:\ \left|\prod_{k=n+1}^{n+m} a_k - 1\right| \lt \frac{1}{2} \min\{1, \varepsilon\}$$

因此，在 $m = 1$ 下

$$n \geq n_0 \implies |a_n - 1| \lt \frac{1}{2} \min\{1, \varepsilon\} \leq \frac{1}{2}$$

归纳地可以得到 $\ell - (n_0 + 1)$ 与 $n_0 + 1$ 的关系

$$\ell \geq n_0 +2 \implies \frac{1}{2} \lt \left|\prod_{k=n_0+2}^\ell a_k\right| \lt \frac{3}{2}$$

令

$$P_\ell := \prod_{n=n_0+2}^\ell a_n$$

则 $n \geq n_0 + 2, m \in \mathbb N$ 时

$$\begin{aligned} \left|P_{n+m} - P_n\right| &= |P_n| \cdot \left|\frac{P_{n+m}}{P_n} - 1\right| \\ &\lt |P_n| \cdot \frac{1}{2} \min\{1, \varepsilon\} \\ &\leq \frac{3}{4} \min\{1, \varepsilon\} \\ &\lt \varepsilon \end{aligned}$$

因此，$\{P_\ell\}$ 是 Cauchy 列，收敛
并且由于 $\dfrac{1}{2} \lt |P_\ell| \lt \dfrac{3}{2}$，可以知道 $\{P_\ell\}$ 的极限值非零，所以 $\displaystyle\prod_{n=1}^\infty a_n$ 收敛

$\square$

令 $\displaystyle\prod_{n=1}^\infty a_n$ 收敛，根据定义

$${}^\exists n_0 \in \mathbb N:\ {}^\forall n \geq n_0:\ a_n \neq 0$$

定义数列

$$P_\ell := \prod_{n=n_0}^\ell a_n$$

则数列 $\{P_\ell\}$ 收敛于非零值 $P$，因此

$$a_n = \frac{P_n}{P_{n-1}} \xrightarrow{n \to \infty} \frac{P}{P} = 1$$

$\square$