【数学分析】均值不等式

均值不等式在分析学中有着极为重要的地位，所以单开一节进行讲解

对于一系列数字 $x_1, x_2, \dots, x_n$，我们想要一个值，能够代表它们全体。
但是实际上出于不同的目的，代表值的计算方式也不同。

第一个是 调和平均数 (Harmonic Mean)「調和平均数」，定义为

$$H_n = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \dots + \frac{1}{x_n}}$$

其中最为熟知的例子应该是

• 等距不等速的平均速度问题
• 并联电阻的等效值

“调和”（Harmonic）这个词的根本来源是古希腊的音乐理论与声学物理，其核心字面含义是发声和谐、悦耳。它并非纯粹从代数推导中凭空捏造的词汇，而是直接映射了物理世界中琴弦振动的自然规律。

第二个是 几何平均数 (Geometric Mean)「幾何平均数」，定义为

$$G_n = \sqrt[n]{x_1 x_2 \dots x_n}$$

第三个是 算术平均数 (Arithmetic Mean)「算术平均数」，定义为

$$A_n = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$$

第四个是 二次平均数 (Quadratic Mean)「二次平均数」，定义为

$$Q_n = \sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}{n}}$$