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对于实数 aa，定义其 δ\delta - 邻域 (δ\delta-Neighborhood)「δ\delta - 近傍」 为

B(a,δ):={x∈R:∣x−a∣<δ}B(a, \delta) := \{x \in \mathbb R: |x - a| \lt \delta\}

如果不强调范围，可以一般称为邻域

同时，定义去掉点 aa 本身的范围

B∗(a,δ):=B(a,δ)∖{a}B^*(a, \delta) := B(a, \delta) \setminus \{a\}

为其 δ\delta - 去心邻域 (δ\delta-Punctured Neighborhood)「δ\delta - 除外近傍」

邻域的表记符号其实更常用 Neighborhood 的首字母 N(a,δ)N(a, \delta)，也经常将半径或者坐标作为下标写出，例如 Nδ(a)N_\delta(a) 或者 Na(δ)N_a(\delta)
在这里的数学分析（特指本笔记中对应的 RN\mathbb R^N 上的分析）中，为了强调实数空间上的空间结构特殊性，选择使用 B(a,δ)B(a, \delta) 的表记方式
而到了后续的点集拓扑或者复分析时，会回归使用 N(a,δ)N(a, \delta) 的表记方式

# 连续性

定义
令 a∈Ra \in \mathbb R，函数 f:I(⊂R)→Rf: I (\subset \mathbb R) \to \mathbb R
称函数 ff 在点 aa 处 连续 (Continuous)「連続」，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon

  • 称函数 ff 在区间 II 上连续，当且仅当 ff 在 II 上的每个点处连续。

可以用邻域重新表述连续性的定义

∀ε>0,∃δ>0,∀x∈I: x∈B(a,δ)  ⟹  f(x)∈B(f(a),ε){}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ x \in B(a, \delta) \implies f(x) \in B(f(a), \varepsilon)

示例
证明函数

f(x):=1xf(x) := \frac{1}{\sqrt{x}}

在 x=1x = 1 处连续

证明

任取 ε>0\varepsilon \gt 0，定义

δ:=min⁡{12,ε2}>0\delta := \min\{\frac{1}{2}, \frac{\varepsilon}{\sqrt{2}}\} \gt 0

则对于任意满足 ∣x−1∣<δ|x - 1| \lt \delta 的 xx，有 x>1−δ≥12\sqrt{x} \gt \sqrt{1 - \delta} \geq \sqrt{\dfrac{1}{2}}，因此

∣f(x)−f(1)∣=∣1x−1∣=∣1−x∣x(1+x)<δx≤2⋅δ=ε\begin{aligned} |f(x) - f(1)| &= \left|\frac{1}{\sqrt{x}} - 1\right| \\ &= \frac{|1 - x|}{\sqrt{x}(1 + \sqrt{x})} \\ &\lt \frac{\delta}{\sqrt{x}} \\ &\leq \sqrt{2} \cdot \delta = \varepsilon \end{aligned}

□\square

命题
若函数 ff 在点 aa 处连续，则 ff 在 aa 的某个邻域内有界

证明

根据条件

∃δ>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<1{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt 1

因此，对于 x∈B(a,δ)x \in B(a, \delta)，有

∣f(x)∣≤∣f(x)−f(a)∣+∣f(a)∣<1+∣f(a)∣|f(x)| \leq |f(x) - f(a)| + |f(a)| \lt 1 + |f(a)|

□\square

函数连续性的定义基于 ε\varepsilon-δ\delta 语言，而数列的极限也是同源的 ε\varepsilon-n0n_0 语言。因此通过数列的极限，可以获得等价的定义方式

命题
令 I⊂RI \subset \mathbb R，函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R，以及 a∈Ia \in I。以下等价

  • ff 在 aa 处连续
  • 对于任意 II 中的数列 {xn}\{x_n\}，有

lim⁡n→∞xn=a  ⟹  lim⁡n→∞f(xn)=f(a)\lim_{n \to \infty} x_n = a \implies \lim_{n \to \infty} f(x_n) = f(a)

证明

(1)   ⟹  \implies (2)
任取 II 中的数列 {xn}\{x_n\}，满足 xn→n→∞ax_n \xrightarrow{n \to \infty} a。
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，因为 ff 在 aa 处连续，所以

∃δ>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<ε{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon

同时，数列的收敛给出

∃n0∈N,∀n∈N: n>n0  ⟹  ∣xn−a∣<δ{}^\exists n_0 \in \mathbb N, {}^\forall n \in \mathbb N:\ n \gt n_0 \implies |x_n - a| \lt \delta

因此，对于任意 n>n0n \gt n_0，有

∣f(xn)−f(a)∣<ε|f(x_n) - f(a)| \lt \varepsilon

(2)   ⟹  \implies (1)
使用反证法证明，假设 ff 在 aa 处不连续，则

∃ε0>0,∀δ>0,∃x∈I: ∣x−a∣<δ ∧ ∣f(x)−f(a)∣≥ε0{}^\exists \varepsilon_0 \gt 0, {}^\forall \delta \gt 0, {}^\exists x \in I:\ |x - a| \lt \delta \ \land \ |f(x) - f(a)| \geq \varepsilon_0

因此，可以构造数列 {xn}\{x_n\} 满足

∣xn−a∣<1/n∧∣f(xn)−f(a)∣≥ε0|x_n - a| \lt 1/n \quad \land \quad |f(x_n) - f(a)| \geq \varepsilon_0

可以知道该数列收敛于 aa，但 f(xn)f(x_n) 不收敛于 f(a)f(a)，与条件矛盾。
□\square

# 连续性的性质

命题 连续性的四则运算
设 f,gf,g 为定义在 I⊂RI \subset \mathbb R 上的函数，且在 a∈Ia \in I 处连续，则

  • f+gf + g 在 aa 处连续
  • kfkf 在 aa 处连续，其中 k∈Rk \in \mathbb R
  • fgfg 在 aa 处连续
  • 若 1f(a)≠0\dfrac{1}{f(a)} \neq 0，则 1f\dfrac{1}{f} 在 aa 处连续
证明

各个小问的记号不共享

(1) 任取 ε>0\varepsilon \gt 0
根据条件

{∃δ1>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ1  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<ε/2∃δ2>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ2  ⟹  ∣g(x)−g(a)∣<ε/2\begin{cases} {}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon/2 \\ {}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |g(x) - g(a)| \lt \varepsilon/2 \end{cases}

因此，定义

δ:=min⁡{δ1,δ2}>0\delta := \min\{\delta_1, \delta_2\} \gt 0

则对于任意 x∈Ix \in I 满足 ∣x−a∣<δ|x - a| \lt \delta，有

∣(f+g)(x)−(f+g)(a)∣=∣(f(x)−f(a))+(g(x)−g(a))∣≤∣f(x)−f(a)∣+∣g(x)−g(a)∣<ε/2+ε/2=ε\begin{aligned} |(f + g)(x) - (f + g)(a)| &= |(f(x) - f(a)) + (g(x) - g(a))| \\ &\leq |f(x) - f(a)| + |g(x) - g(a)| \\ &\lt \varepsilon/2 + \varepsilon/2 = \varepsilon \end{aligned}

(2) 任取 ε>0\varepsilon \gt 0
根据条件

{∃δ1>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ1  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<ε/∣k∣∃δ2>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ2  ⟹  ∣g(x)−g(a)∣<ε/∣k∣\begin{cases} {}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon/|k| \\ {}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |g(x) - g(a)| \lt \varepsilon/|k| \end{cases}

因此，定义

δ:=min⁡{δ1,δ2}>0\delta := \min\{\delta_1, \delta_2\} \gt 0

则对于任意 x∈Ix \in I 满足 ∣x−a∣<δ|x - a| \lt \delta，有

∣kf(x)−kf(a)∣=∣k∣∣f(x)−f(a)∣<∣k∣⋅ε/∣k∣=ε\begin{aligned} |kf(x) - kf(a)| &= |k||f(x) - f(a)| \\ &\lt |k| \cdot \varepsilon/|k| = \varepsilon \end{aligned}

(3) 任取 ε>0\varepsilon \gt 0
因为 f,gf,g 在 aa 处连续，所以各自存在一个邻域，使得函数有界。取其中较小的一个领域 δ0\delta_0，则对任意 x∈B(a,δ0)x \in B(a, \delta_0)，有

∣f(x)∣, ∣g(x)∣≤M|f(x)|,\ |g(x)| \leq M

又根据函数的连续性，有

{∃δ1>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ1  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<ε/(2M)∃δ2>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ2  ⟹  ∣g(x)−g(a)∣<ε/(2M)\begin{cases} {}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt \varepsilon/(2M) \\ {}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |g(x) - g(a)| \lt \varepsilon/(2M) \end{cases}

因此，定义

δ:=min⁡{δ0,δ1,δ2}>0\delta := \min\{\delta_0, \delta_1, \delta_2\} \gt 0

则对于任意满足 ∣x−a∣<δ|x - a| \lt \delta 的 x∈Ix \in I，有

∣fg(x)−fg(a)∣=∣f(x)g(x)−f(a)g(a)∣=∣f(x)g(x)−f(a)g(x)+f(a)g(x)−f(a)g(a)∣≤∣f(x)−f(a)∣∣g(x)∣+∣f(a)∣∣g(x)−g(a)∣<M⋅ε/(2M)+M⋅ε/(2M)=ε\begin{aligned} |fg(x) - fg(a)| &= |f(x)g(x) - f(a)g(a)| \\ &= |f(x)g(x) - f(a)g(x) + f(a)g(x) - f(a)g(a)| \\ &\leq |f(x) - f(a)||g(x)| + |f(a)||g(x) - g(a)| \\ &\lt M \cdot \varepsilon/(2M) + M \cdot \varepsilon/(2M) \\ &= \varepsilon \end{aligned}

(4) 任取 ε>0\varepsilon \gt 0
因为 ff 在 aa 处连续，且 1f(a)≠0\dfrac{1}{f(a)} \neq 0，所以

∃δ0>0,m>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ0  ⟹  ∣f(x)∣≥m{}^\exists \delta_0 \gt 0, m \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_0 \implies |f(x)| \geq m

同时，根据函数的连续性，有

∃δ1>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ1  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<m2ε{}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_1 \implies |f(x) - f(a)| \lt m^2 \varepsilon

因此，定义

δ:=min⁡{δ0,δ1}>0\delta := \min\{\delta_0, \delta_1\} \gt 0

则对于任意满足 ∣x−a∣<δ|x - a| \lt \delta 的 x∈Ix \in I，有

∣1f(x)−1f(a)∣=∣f(a)−f(x)f(x)f(a)∣=∣f(x)−f(a)∣∣f(x)∣∣f(a)∣<m2εm⋅m=ε\begin{aligned} \left|\frac{1}{f(x)} - \frac{1}{f(a)}\right| &= \left|\frac{f(a) - f(x)}{f(x)f(a)}\right| \\ &= \frac{|f(x) - f(a)|}{|f(x)||f(a)|} \\ &\lt \frac{m^2 \varepsilon}{m \cdot m} \\ &= \varepsilon \end{aligned}

□\square

以下重要结论与函数的连续性相关：

定理 Weierstrass 的最值定理
令函数 f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb R 连续，则 ff 在 [a,b][a,b] 上有界，且存在最大最小值。

证明

首先用反证法证明函数有界：假设函数没有界，则对于任意 n∈Nn \in \mathbb N，都存在一个与之对应的 xn∈[a,b]x_n \in [a,b]，使得 ∣f(xn)∣≥n|f(x_n)| \geq n。
不妨基于这个对应构造数列 {xn}n∈N\{x_n\}_{n \in \mathbb N}，因为各个 xnx_n 都在 [a,b][a,b] 上，即为有界。
Bolzano-Weierstrass 定理给出：存在一个收敛的子列 {xnk}k∈N\{x_{n_k}\}_{k \in \mathbb N}，那么显而易见的是

∀k∈N: ∣f(xnk)∣≥nk{}^\forall k \in \mathbb N:\ |f(x_{n_k})| \geq n_k

然而，若设子列收敛值为 x0x_0，则根据函数的连续性，有

f(xnk)→k→∞f(x0)f(x_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(x_0)

这意味着数列 {f(xnk)}k∈N\{f(x_{n_k})\}_{k \in \mathbb N} 收敛，因而有界，这与原假设矛盾，故函数 ff 在 [a,b][a,b] 上有界。

接下来证明函数可取最值：因为有界性，可知

A:={f(x)∣x∈[a,b]}A := \{f(x) \mid x \in [a,b]\}

非空且有界，因此存在 sup⁡A\sup A 和 inf⁡A\inf A
同时，上下确界的点列版本定义给出

∃{xn}n∈N⊂[a,b]: lim⁡n→∞f(xn)=sup⁡A{}^\exists \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \subset [a,b]:\ \lim_{n \to \infty} f(x_n) = \sup A

根据 AA 的定义，显然对于各个 nn 都有

∃yn∈[a,b]: f(yn)=xn{}^\exists y_n \in [a,b]:\ f(y_n) = x_n

再度应用 Bolzano-Weierstrass 定理，存在一个收敛的子列 {ynk}k∈N\{y_{n_k}\}_{k \in \mathbb N}，设其收敛值为 y0y_0，则根据函数的连续性，有

f(ynk)→k→∞f(y0)f(y_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(y_0)

因此，f(y0)=sup⁡Af(y_0) = \sup A，同样的道理可以证明 ff 在 [a,b][a,b] 上取到最小值。
□\square

定理 介值定理
令函数 f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb R 连续，则 ff 可以取 f(a)f(a) 与 f(b)f(b) 之间的任意值。

证明

不失一般性，可令 f(a)<f(b)f(a) \lt f(b)，取 m∈[f(a),f(b)]m \in [f(a), f(b)]，目标是证明存在 c∈[a,b]c \in [a,b] 使得 f(c)=mf(c) = m。

定义

x0:=sup⁡{x∈[a,b]∣f(x)≤m}x_0 := \sup\{x \in [a,b] \mid f(x) \leq m\}

则根据上确界的性质

∃{xn}n∈N⊂{x∈[a,b]∣f(x)≤m}: lim⁡n→∞xn=x0{}^\exists \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \subset \{x \in [a,b] \mid f(x) \leq m\}:\ \lim_{n \to \infty} x_n = x_0

因此，根据函数的连续性，有

f(xn)→n→∞f(x0)f(x_n) \xrightarrow{n \to \infty} f(x_0)

又因为对于任意 nn 都有 f(xn)≤mf(x_n) \leq m，所以 f(x0)≤mf(x_0) \leq m。

另一边，构造数列

yn:=x0+b−x0ny_n := x_0 + \frac{b - x_0}{n}

则 yn→n→∞x0y_n \xrightarrow{n \to \infty} x_0，根据函数的连续性，有

f(yn)→n→∞f(x0)f(y_n) \xrightarrow{n \to \infty} f(x_0)

因为 yn>x0y_n \gt x_0，所以 f(yn)>mf(y_n) \gt m，因此 f(x0)≥mf(x_0) \geq m。
综上，f(x0)=mf(x_0) = m
□\square

中值定理的一个重要结论是不动点定理：如果函数 f:[a,b]→[a,b]f: [a,b] \to [a,b] 连续，则存在 c∈[a,b]c \in [a,b] 使得 f(c)=cf(c) = c。

# 复合函数与反函数的连续性

命题 复合函数的连续性
令 f:I→Rf: I \to \mathbb R 和 g:J→Rg: J \to \mathbb R，其中 I,J⊂RI, J \subset \mathbb R，且 f(I)⊂Jf(I) \subset J。
如果 ff 在 a∈Ia \in I 处连续，且 gg 在 f(a)f(a) 处连续，则复合函数 g∘fg \circ f 在 aa 处连续。

证明

任取 ε>0\varepsilon \gt 0
因为 gg 在 f(a)f(a) 处连续，所以

∃δ1>0,∀y∈J: ∣y−f(a)∣<δ1  ⟹  ∣g(y)−g(f(a))∣<ε{}^\exists \delta_1 \gt 0, {}^\forall y \in J:\ |y - f(a)| \lt \delta_1 \implies |g(y) - g(f(a))| \lt \varepsilon

又因为 ff 在 aa 处连续，所以

∃δ2>0,∀x∈I: ∣x−a∣<δ2  ⟹  ∣f(x)−f(a)∣<δ1{}^\exists \delta_2 \gt 0, {}^\forall x \in I:\ |x - a| \lt \delta_2 \implies |f(x) - f(a)| \lt \delta_1

那么，对于任意满足 ∣x−a∣<δ2|x - a| \lt \delta_2 的 x∈Ix \in I，有

∣g(f(x))−g(f(a))∣=∣g(y)−g(f(a))∣<ε|g(f(x)) - g(f(a))| = |g(y) - g(f(a))| \lt \varepsilon

□\square

讨论一个函数的反函数的前提是反函数是否存在，在实数数学分析中可以通过狭义单调性来确保

命题 反函数的连续性
令函数 f:[a,b]→Rf: [a,b] \to \mathbb R 连续且狭义单调
那么 ff 的反函数 f−1f^{-1} 也是连续且狭义单调的

证明

不失一般性可以设 f(a)<f(b)f(a) \lt f(b)，则 ff 是单调递增的。
根据介值定理，函数 ff 在 [a,b][a,b] 上的值域为 [f(a),f(b)][f(a), f(b)]
那么显然，反函数的定义域就是 [f(a),f(b)][f(a), f(b)]，且反函数的值域为 [a,b][a,b]。狭义单调性的证明非常简单，任取 x1,x2∈[f(a),f(b)]x_1, x_2 \in [f(a), f(b)] 满足 x1<x2x_1 \lt x_2，则根据反函数的定义，有

f−1(x1)<f−1(x2)f^{-1}(x_1) \lt f^{-1}(x_2)

接下来证明反函数的连续性，我们使用反证法：假设 f−1f^{-1} 在 y0y_0 处不连续，则

∃ε0>0,∀n∈N,∃yn∈[f(a),f(b)]: lim⁡n→∞yn=y0 ∧ ∣f−1(yn)−f−1(y0)∣≥ε0{}^\exists \varepsilon_0 \gt 0, {}^\forall n \in \mathbb N, {}^\exists y_n \in [f(a), f(b)]:\ \lim_{n \to \infty} y_n = y_0 \ \land \ |f^{-1}(y_n) - f^{-1}(y_0)| \geq \varepsilon_0

对每个 nn 定义

xn:=f−1(yn)x_n := f^{-1}(y_n)

因为 f−1f^{-1} 是单调递增的，所以数列 {xn}\{x_n\} 是单调的。同时，因为 f−1f^{-1} 的值域为 [a,b][a,b]，所以数列 {xn}\{x_n\} 是有界的。即 {xn}\{x_n\} 是收敛的
根据 Bolzano-Weierstrass 定理，存在一个收敛的子列 {xnk}\{x_{n_k}\}，设其收敛值为 x0x_0，则根据数列的收敛性，有

ynk=f(xnk)→k→∞f(x0)y_{n_k} = f(x_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(x_0)

又因为数列 {yn}\{y_n\} 收敛于 y0y_0，所以 f(x0)=y0f(x_0) = y_0，因此 x0=f−1(y0)x_0 = f^{-1}(y_0)。
因此，数列 {xnk}\{x_{n_k}\} 收敛于 f−1(y0)f^{-1}(y_0)，这与 ∣f−1(yn)−f−1(y0)∣≥ε0|f^{-1}(y_n) - f^{-1}(y_0)| \geq \varepsilon_0 矛盾。

□\square

# 一致连续性

一个函数即使在整个区间上连续，但是本质上也是遍历每一个定义域的点，并确保每一个点都有一个变化可控的邻域。
然而，这样的性质在纵观函数全局的时候略有不足

定义
令 I⊂RI \subset \mathbb R，函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R。
称函数 ff 在区间 II 上 一致连续 (Uniformly Continuous)「一様連続」，当且仅当

∀ε>0,∃δ>0,∀x,y∈I: ∣x−y∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣<ε{}^\forall \varepsilon \gt 0, {}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x,y \in I:\ |x - y| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon

  • 请注意这里的 δ\delta 出现在 x,yx,y 的前面，说明这是一个对全局可控的 δ\delta，约束力将非常强

虽然直观上已经非常明确，但还是严格给出强弱关系的证明：

命题
如果函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R 在区间 II 上一致连续，则 ff 在 II 上连续。

证明

任取 a∈Ia \in I
任取 ε>0\varepsilon \gt 0，因为 ff 在 II 上一致连续，所以

∃δ>0,∀x,y∈I: ∣x−y∣<δ  ⟹  ∣f(x)−f(y)∣<ε{}^\exists \delta \gt 0, {}^\forall x,y \in I:\ |x - y| \lt \delta \implies |f(x) - f(y)| \lt \varepsilon

因此，对于任意满足 ∣x−a∣<δ|x - a| \lt \delta 的 x∈Ix \in I，有

∣f(x)−f(a)∣<ε|f(x) - f(a)| \lt \varepsilon

□\square

在判断一致连续性时，以下结论非常重要：有界闭区间上连续函数必定一致连续

命题
令 I=[a,b]I = [a,b]，函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R 连续，则 ff 在 II 上一致连续。

证明

使用反证法证明，假设 ff 在 II 上不一致连续，则存在一个无法控制的误差 ε0>0\varepsilon_0 \gt 0，使得对于任意 δ>0\delta \gt 0，都存在 x,y∈Ix,y \in I 满足

∣x−y∣<δ∧∣f(x)−f(y)∣≥ε0|x - y| \lt \delta \quad \land \quad |f(x) - f(y)| \geq \varepsilon_0

然而，我们可以取

δ:=1n\delta := \frac{1}{n}

因此，对于任意 n∈Nn \in \mathbb N，都存在 xn,yn∈Ix_n,y_n \in I 满足

∣xn−yn∣<1n∧∣f(xn)−f(yn)∣≥ε0|x_n - y_n| \lt \frac{1}{n} \quad \land \quad |f(x_n) - f(y_n)| \geq \varepsilon_0

因为 II 是有界闭区间，所以数列 {xn}\{x_n\} 和 {yn}\{y_n\} 都是有界的。根据 Bolzano-Weierstrass 定理，存在一个收敛的子列 {xnk}\{x_{n_k}\}，设其收敛值为 x0x_0，则根据数列的收敛性，有

ynk→k→∞x0y_{n_k} \xrightarrow{k \to \infty} x_0

又因为函数 ff 在 II 上连续，所以

{f(xnk)→k→∞f(x0)f(ynk)→k→∞f(x0)\begin{cases} f(x_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(x_0) \\ f(y_{n_k}) \xrightarrow{k \to \infty} f(x_0) \end{cases}

因此，数列 {f(xnk)}\{f(x_{n_k})\} 和 {f(ynk)}\{f(y_{n_k})\} 都收敛于 f(x0)f(x_0)，这与 ∣f(xnk)−f(ynk)∣≥ε0|f(x_{n_k}) - f(y_{n_k})| \geq \varepsilon_0 矛盾。
□\square

# Holder 连续性

定义
取区间 I⊂RI \subset \mathbb R，令函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R，若

∀x,y∈I, ∃α,C>0: ∣f(x)−f(y)∣≤C∣x−y∣α{}^\forall x,y \in I,\ {}^\exists \alpha, C \gt 0:\ |f(x) - f(y)| \leq C|x - y|^\alpha

则称函数 ff 在区间 II 上 Holder 连续 (Holder Continuous)「ホルダー連続」，其中 α\alpha 被称为 Holder 指数。
特别地，当 α=1\alpha = 1 时，称函数 ff 在区间 II 上 Lipschitz 连续 (Lipschitz Continuous)「リプシッツ連続」

命题
若函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R 在区间 II 上 Holder 连续，则 ff 在 II 上一致连续。

证明

任取 ε>0\varepsilon \gt 0，因为 ff 在 II 上 Holder 连续，所以

∀x,y∈I, ∃α,C>0: ∣f(x)−f(y)∣≤C∣x−y∣α{}^\forall x,y \in I,\ {}^\exists \alpha, C \gt 0:\ |f(x) - f(y)| \leq C|x - y|^\alpha

定义

δ:=(εC)1/α>0\delta := \left(\frac{\varepsilon}{C}\right)^{1/\alpha} \gt 0

则对于任意满足 ∣x−y∣<δ|x - y| \lt \delta 的 x,y∈Ix,y \in I，有

∣f(x)−f(y)∣≤C∣x−y∣α<C⋅(εC)=ε|f(x) - f(y)| \leq C|x - y|^\alpha \lt C \cdot \left(\frac{\varepsilon}{C}\right) = \varepsilon

□\square

Holder 连续性基本上只会遇到 0<α≤10 \lt \alpha \leq 1 的情况，α=1\alpha = 1 的 Lipschitz 连续性是最强的连续性条件，再往上要求 Holder 指数的话会使得函数失去意义

命题
设 I⊂RI \subset \mathbb R，函数 f:I→Rf: I \to \mathbb R 在区间 II 上 Holder 连续，且 Holder 指数 α>1\alpha \gt 1，则 ff 是常值函数。

证明

任取 x,y∈Ix,y \in I，不失一般性可设 x<yx \lt y
将闭区间 [x,y][x, y] 等分为 nn 个子区间，构造分划点：

xk=x+ky−xn,k=0,1,…,nx_k = x + k \frac{y - x}{n}, \quad k = 0, 1, \dots, n

相邻两点间的距离恒为：

xk−xk−1=y−xnx_k - x_{k-1} = \frac{y - x}{n}

利用有限项求和展开目标差值，并应用三角不等式进行放缩：

∣f(y)−f(x)∣=∣∑k=1n(f(xk)−f(xk−1))∣≤∑k=1n∣f(xk)−f(xk−1)∣|f(y) - f(x)| = \left| \sum_{k=1}^n (f(x_k) - f(x_{k-1})) \right| \le \sum_{k=1}^n |f(x_k) - f(x_{k-1})|

对累加式中的每一项严格应用 Hölder 连续性条件 ∣f(u)−f(v)∣≤C∣u−v∣α|f(u) - f(v)| \le C|u - v|^\alpha：

∑k=1n∣f(xk)−f(xk−1)∣≤∑k=1nC∣xk−xk−1∣α\sum_{k=1}^n |f(x_k) - f(x_{k-1})| \le \sum_{k=1}^n C |x_k - x_{k-1}|^\alpha

代入子区间的长度：

∣f(y)−f(x)∣≤∑k=1nC(y−xn)α=C(y−x)α1nα−1|f(y) - f(x)| \le \sum_{k=1}^n C \left( \frac{y - x}{n} \right)^\alpha = C (y - x)^\alpha \frac{1}{n^{\alpha - 1}}

注意我们选取的 x,yx,y 都是固定点，因此右侧的 C(y−x)αC (y - x)^\alpha 是常数，将其视为数列，由于 α−1>0\alpha - 1 \gt 0，所以

lim⁡n→∞C(y−x)α1nα−1=0\lim_{n \to \infty} C (y - x)^\alpha \frac{1}{n^{\alpha - 1}} = 0

对整个不等式应用极限可以得到

0≤∣f(y)−f(x)∣≤00 \leq |f(y) - f(x)| \leq 0

因此 f(y)=f(x)f(y) = f(x)，因为 x,yx,y 是任意选取的，所以 ff 是常值函数。
□\square

在有意义的指数 0<α≤10 \lt \alpha \leq 1 下，连续性具有以下强弱关系

Lipschitz Continuity  ⟹  Holder Continuity  ⟹  Uniform Continuity  ⟹  Continuity\text{Lipschitz Continuity} \implies \text{Holder Continuity} \implies \text{Uniform Continuity} \implies \text{Continuity}

虽然还没有进入函数的微分，但是可以汇总介绍结论:

Differentiability  ⟹  Lipschitz Continuity\text{Differentiability} \implies \text{Lipschitz Continuity}