（完全重构中）

自用的本科数学课程学习笔记
重心在于对方法原理的解构与证明流程分析

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本笔记中规定

• 所有首次出现的名词概念都将以 中文 (英文)「日语」的形式给出，如果一个看起来陌生的词汇没有以这个形式出现，说明前文已经出现过了，善用搜索
• 对于 类似人名 + 已有词汇 拼凑得到的词汇，即使首次出现也不一定会给出三语标注，而是简单划线，例如 Lebesgue 积分
• 所有出现的人名拒绝使用音译名（例如欧拉，拉格朗日），而是给出通用英文名（例如 Euler, Lagrange），即使对于非英语母语国家的数学家也一样
• 子集符号 $\subset$ 表示一般子集关系，等价于 $\subseteq$，而真子集用 $\subsetneq$ 表示
• 使用 ${}^\forall$ 和 ${}^\exists$ 来表示全称量词和存在量词，代替大部分常用的 $\forall$ 和 $\exists$
• 自然数集 $\mathbb N = \{1, 2, 3, \ldots\}$ 不包含 $0$
• 使用圆括号表示矩阵，矩阵的转置用 $A^T$ 表示
• 默认所有向量均为列向量格式，并且使用 boldsymbol 加粗下的小写字母表示，规定其成分即使没有声明，也默认用非粗体的下标表示，如 $\boldsymbol a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)^T$
• $\dfrac{d}{ds}f(s)$ 会简写为 $f'(s)$，但 $\dfrac{d}{dt}f(s(t))$ 不会简写为 $f'(s(t))$

一些经常会使用的跨学科术语

数乘：数乘指的是给出一个域上的数 $k$ 和一个数学对象 $A$，然后基于某种乘法的定义让二者作积 $kA$，这个过程一般体现为对 $A$ 的拉伸
四则运算：四则运算并不代指一般的加减乘除，而是说两个对象之间的加法，与一个数的数乘，两个对象的乘法，以及乘法的逆运算这四种
线性性质：线性性质指的是 $T(ax+by) = aT(x) + bT(y)$
单调性：单调性指的是某个数学对象的变化方向是恒定的，例如增加或者减少

• 高中数学铺垫

# 集合论 Set Theory

参考资料：

• 山川大亮，論理と集合（講義資料）, TUS, 2024
• 松坂和夫，集合・位相入門，岩波書店，2025
• 藤岡敦，手を動かして学ぶ集合と位相，裳華房，2024

目录

• 1 - 集合
• 2 - 映射
• 3 - 集合族
• 4 - 等价关系
• 5 - 势
• 6 - 偏序关系
• Zorn 引理

# 线性代数 Linear Algebra

参考资料：

• 木田雅成，線形代数学講義 増補版，培風館，2023
• 齋藤正彦，線形代数入門，東京大学出版会，2023
• 加藤文元，大学教養線形代数，数研出版，2024
• 藤岡敦，手を動かして学ぶ線形代数，裳華房，2023

目录

• 1 - 矩阵
• 2 - 简化阶梯形
• 3 - 线性方程组
• 4 - 行列式
• 5 - Laplace 展开
• 6 - 线性空间
• 7 - 各种常见的子空间
• 8 - 线性映射
• 9 - 线性映射的矩阵表示
• 10 - 内积空间
• 11 - 特征值与对角化
• 12 - 正交矩阵和酉矩阵诱导出的对角化
• 13 - 对角化的应用

# 数学分析 Mathematical Analysis

参考资料：

• 宮島静雄，微分積分学 I/II, 共立出版，2022
• 田中視英子，解析学基礎（講義資料）, TUS, 2024

一元分析

• 1 - 实数
• 2 - 数列
• 3 - 上极限与下极限
• 4 - 函数的连续性
• 5 - 函数极限
• 6 - 微分
• 7 - 微分中值定理
• 8-Taylor 定理
• 9 - 凸函数
• 积分
• 积分中值定理
• Darboux 定理
• 广义积分

多元分析

• 多维实数空间
• 偏微分
• 多元函数上的 Taylor 定理
• 极值问题
• Frechet 微分
• 隐函数定理
• 多元函数积分
• 变量代换
• 多元广义积分

级数与无限积

• 复数
• 复数空间的拓扑结构
• 级数
• 函数项级数
• 无限积

# 概率与统计 Probability and Statistics

参考资料：

• 杉山裕介，数理統計学（講義資料）, TUS, 2025
• 日本統計学会，統計学基礎，東京図書，2023
• 松本裕行，宮原孝夫共著，数理統計入門，学術図書出版社，2024

目录

• 1 - 概率
• 2 - 概率分布
• 3 - 主要的概率分布
• 4 - 多维分布
• 5 - 样本与中心极限定理
• 6 - 抽样分布
• 7 - 推断统计
• 8 - 假设检验
• 9 - 数据分析

# 点集拓扑 General Topology

参考资料：

• 大山口菜都美，位相（講義資料）, TUS, 2025
• 松坂和夫，集合・位相入門，岩波書店，2025

目录

• 1 - 拓扑空间
• 2 - 连续映射
• 3 - 开基
• 4 - 构造拓扑
• 5 - 连通性
• 6 - 分离公理
• 7 - 紧性
• 8 - 度量空间

# 抽象代数 Abstract Algebra

参考资料：

• 木田雅成，代数学（講義板書）, TUS, 2025
• 松坂和夫，代数系入門，岩波書店，2022

群论

• 1 - 有理整数
• 2 - 群
• 3 - 正规子群与商群
• 4 - 群同构
• 置换群
• 群作用
• Sylow 定理

环论

• 8 - 整环与域
• 9 - 理想与商环
• 10 - 环同构
• 11 - 分式域
• 12 - 整环上的素元分解
• 13 - 多项式环上的可约性
• 14 - 域上的乘法群

模论

• 模
• PID 上的有限生成模定理
• Jordan 分解，标准型
• 双对空间
• 商空间
• 双线性
• 张量积

# 复分析 Complex Analysis

• 正则性与解析性
• 初等复变函数
• Gamma 函数
• 复变函数积分
• 闭曲线的指数
• 同伦与同调
• Cauchy 积分定理
• 积分定理的应用
• Laurent 级数
• 留数定理
• 有理型函数
• 解析延拓
• 偏角原理
• 保角映射
• Riemann 球面

# 微分几何 Differential Geometry

参考资料

• 梶ヶ谷徹，幾何学基礎（演習資料）, TUS, 2024
• 山川大亮，幾何学（講義資料）, TUS, 2025
• 小池直之，積分公式で啓くベクトル解析と微分幾何学，共立出版，2023
• 落合卓四郎，微分幾何入門，東京大学出版会，2023
• 藤岡敦，手を動かして学ぶ曲線と曲面，裳華房，2023

预备知识

• 向量积
• 梯度散度与旋度
• 微分形式
• 外积与外微分

曲线论

• 正则曲线
• 曲率与挠率
• 线积分
• Green 定理

曲面论

• 正则曲面
• 面积分
• 曲面基本形式
• 曲面上的曲率
• 结构方程下的曲率导出
• Riemannian 度规
• 测地线
• Gauss–Bonnet 定理

流形

• 流形
• 李群

# Galois 理论 Galois Theory

域扩张
Galois 群

# 实分析 Real Analysis

• 可测集
• Lebesgue 积分
• 函数空间
• Lp 空间
• Fubini 定理

# 泛函分析 Functional Analysis

# 微分方程 Differential Equations

# Fourier 分析 Fourier Analysis

# 常微分方程 Ordinary Differential Equations（用到哪个写哪个）

参考资料：

• 馬場敬之，常微分方程式キャンパス・ゼミ，マセマ出版社，2024

目录

• 1 - 一阶常微分方程
• 2 - 二阶线性常微分方程

# 最优化 Optimization

• 线性规划

# 特别篇

• LaTeX 字体对照
• LaTeX 符号速查
• 积分计算技巧