Home 数学 抽象代数

# 同态映射

定义
令 G,G′G,G' 为群，对于映射 f:G→G′f:G \to G' 若满足

f(ab)=f(a)f(b)f(ab) = f(a)f(b)

则称 ff 为 同态映射 (Homomorphism)「準同型」，记作 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')
若在此之上，有 ff 双射，则称 ff 为 同构映射 (Isomorphism)「同型」

要注意的是，同态并不依赖于运算的种类，也就是说哪怕左边的群 GG 是乘法群，右边的群 G′G' 是加法群，函数满足 f(ab)=f(a)+f(b)f(ab) = f(a)+f(b) 就可以是同态。另外，如果这两个群上可以定义多个运算，只要关于其中一个运算有这个性质就可以是同态了。

示例
例 1：令 e′∈G′e' \in G' 是 G′G' 上的单位元，常值映射 f:G→G′, x↦e′f : G \to G',\ x \mapsto e' 显然是一个同态映射，这个映射常称为平凡同态。
例 2：令 N◃GN \triangleleft G，将每个元映射到陪集 ϕ:G→G/N, a↦aN\phi : G \to G/N,\ a \mapsto aN 是一个同态映射（ϕ(ab)=abN=(aN)(bN)=ϕ(a)ϕ(b)\phi(ab) = abN = (aN)(bN) = \phi(a)\phi(b)），这个映射称为 自然同态 (Natural Homomorphism)「自然な準同型」。

几个关于同态映射的性质：

命题
令 f:G→G′, g:G′→G′′f:G \to G',\ g:G' \to G'' 为同态，e∈G,e′∈G′e \in G, e' \in G' 为各自的单位元，则

  1. f(e)=e′f(e) = e'
  2. \forall x \in G,\ f(x^{-1}) = f(x)^
  3. g∘f:G→G′′g \circ f : G \to G'' 也是同态
  4. f(G)≤G′f(G) \leq G' （像 Im ff 是 G′G' 的子群）
  5. Kerf◃GKer f \triangleleft G （核 Ker ff 是 GG 的正规子群）
证明

(1)
对 f(e)=f(ee)=f(e)f(e)f(e) = f(ee) = f(e)f(e) 两边同时乘 f(e)−1f(e)^{-1} 即可。

(2)
因为 e′=f(e)=f(xx−1)=f(x)f(x−1)e' = f(e) = f(xx^{-1}) = f(x)f(x^{-1})，所以 f(x)−1=f(x−1)f(x)^{-1} = f(x^{-1})。

(3)
∀x,y∈G\forall x,y \in G，有
(g∘f)(xy)=g(f(xy))=g(f(x)f(y))=g(f(x))g(f(y))=(g∘f)(x)(g∘f)(y)(g \circ f)(xy) = g(f(xy)) = g(f(x)f(y)) = g(f(x))g(f(y)) = (g \circ f)(x) (g \circ f)(y)。

(4)
显然 e′=f(e)∈f(G)e' = f(e) \in f(G)。
若 y1,y2∈f(G)y_1, y_2 \in f(G)，则存在 x1,x2∈Gx_1, x_2 \in G 使得 f(x1)=y1,f(x2)=y2f(x_1)=y_1, f(x_2)=y_2。
y1y2=f(x1)f(x2)=f(x1x2)∈f(G)y_1 y_2 = f(x_1)f(x_2) = f(x_1 x_2) \in f(G)。
y1−1=f(x1)−1=f(x1−1)∈f(G)y_1^{-1} = f(x_1)^{-1} = f(x_1^{-1}) \in f(G)。
故 f(G)≤G′f(G) \leq G'。

(5)
f(e)=e′  ⟹  e∈Kerff(e) = e' \implies e \in Ker f。
若 x,y∈Kerfx, y \in Ker f，则 f(xy)=f(x)f(y)=e′e′=e′  ⟹  xy∈Kerff(xy) = f(x)f(y) = e'e' = e' \implies xy \in Ker f。
f(x−1)=f(x)−1=(e′)−1=e′  ⟹  x−1∈Kerff(x^{-1}) = f(x)^{-1} = (e')^{-1} = e' \implies x^{-1} \in Ker f。
故 Kerf≤GKer f \leq G。
进一步，对任意 a∈G,x∈Kerfa \in G, x \in Ker f，
f(axa−1)=f(a)f(x)f(a)−1=f(a)e′f(a)−1=f(a)f(a)−1=e′f(axa^{-1}) = f(a)f(x)f(a)^{-1} = f(a)e'f(a)^{-1} = f(a)f(a)^{-1} = e'
即 axa−1∈Kerfaxa^{-1} \in Ker f，所以 Kerf◃GKer f \triangleleft G。
□\square

注意此处 KerfKer f 和线性映射处的定义基本一致，同样的也有像 ImfIm f。

  • 核 (Kernel)「核」：Ker f := \
  • 像 (Image)「像」：Imf:={f(x)∣x∈G}=f(G)Im f := \{f(x) \mid x \in G\} = f(G)

关于核有一个非常常用的性质，它说明映射过去相同的元是关于核同余的。

命题
令 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')

f(a)=f(b)  ⟺  aKerf=bKerff(a) = f(b) \quad \iff \quad a Ker f = b Ker f

证明

f(a)=f(b)  ⟺  f(a)−1f(b)=e′  ⟺  f(a−1b)=e′  ⟺  a−1b∈Kerf  ⟺  aKerf=bKerff(a) = f(b) \iff f(a)^{-1}f(b) = e' \iff f(a^{-1}b) = e' \iff a^{-1}b \in Ker f \iff a Ker f = b Ker f
□\square

这引出证明单射同态的一个方法：

命题
f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')

f 是单射  ⟺  Kerf={e}f \text{ 是单射} \quad \iff \quad Ker f = \{e\}

证明

(⇒\Rightarrow)
由于 f(e)=e′f(e)=e'，且 ff 单射，所以只有 ee 能映射到 e′e'，故 Kerf={e}Ker f = \{e\}。

(⇐\Leftarrow)
若 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，由上述命题知 aKerf=bKerfa Ker f = b Ker f。
若 Kerf={e}Ker f = \{e\}，则 a{e}=b{e}  ⟹  a=ba\{e\} = b\{e\} \implies a = b。
即 ff 为单射。
□\square

对于同构也有一个很容易证明的性质：

命题

f:G→G′ 同构  ⟺  f−1:G′→G 同构f:G \to G' \text{ 同构} \quad \iff \quad f^{-1}:G' \to G \text{ 同构}

证明

由于 ff 是双射，所以 f−1f^{-1} 存在且为双射。
∀a′,b′∈G′\forall a',b' \in G'，存在唯一的 a,b∈Ga,b \in G 使得 f(a)=a′,f(b)=b′f(a) = a', f(b) = b'。

f−1(a′b′)=f−1(f(a)f(b))=f−1(f(ab))=ab=f−1(a′)f−1(b′)f^{-1}(a'b') = f^{-1}(f(a)f(b)) = f^{-1}(f(ab)) = ab = f^{-1}(a')f^{-1}(b')

□\square

同构映射主要的作用是分析两个群之间的关系。规定如果 f:G→G′f:G \to G' 是同构，那么群 GG 与群 G′G' 同构。记作 G≅G′G \cong G'。
同构这个概念抽象上来说类似于 “等于”，也就是说这两个群作为一个群的构成，是一致的。

示例
加法群 R\mathbb R 和乘法群 R+\mathbb R^+（正实数）同构。
映射 f(x)=exf(x) = e^x 是一个同构映射，其逆映射为 ln⁡x\ln x。
验证同态性：f(x+y)=ex+y=exey=f(x)f(y)f(x+y) = e^{x+y} = e^x e^y = f(x)f(y)。

# 群同态定理

现在回到同态，我们需要引出一个非常重要的定理。
刚刚有提到，如果核只含单位元，那么同态映射是单射的。
如果给定一个映射，将 “陪集本身” 映射为 “像中的元素”，这一定会成为一个双射映射，也是同构映射。这就是同态定理。

定理 群同构第一定理 (First Isomorphism Theorem)
令 f∈Hom(G,G′)f \in Hom(G,G')。
此时定义映射 ϕ\phi 为

ϕ:G/Kerf→Imf, aKerf↦f(a)\phi : G/Kerf \to Imf,\ a Kerf \mapsto f(a)

那么 ϕ\phi 是同构映射，并且有

G/Kerf≅ImfG/Kerf \cong Imf

证明

证明此映射为同构映射主要需要证明：良定性，双射性和同态性。
记 K=KerfK = Ker f。

(1) 良定性
取定义域内两元 aK,bKaK, bK 并假设 aK=bKaK = bK。
aK=bK  ⟺  b−1a∈K  ⟺  f(b−1a)=e′  ⟺  f(b)−1f(a)=e′  ⟺  f(a)=f(b)aK = bK \iff b^{-1}a \in K \iff f(b^{-1}a) = e' \iff f(b)^{-1}f(a) = e' \iff f(a) = f(b)。
所以 ϕ(aK)=f(a)=f(b)=ϕ(bK)\phi(aK) = f(a) = f(b) = \phi(bK)，映射良定。

(2) 双射性
单射：由上述推导的逆过程，f(a)=f(b)  ⟹  aK=bKf(a)=f(b) \implies aK=bK，即 ϕ(aK)=ϕ(bK)  ⟹  aK=bK\phi(aK)=\phi(bK) \implies aK=bK。
满射：Imϕ={ϕ(xK)∣xK∈G/K}={f(x)∣x∈G}=ImfIm\phi = \{\phi(xK) \mid xK \in G/K\} = \{f(x) \mid x \in G\} = Imf。
故 ϕ\phi 是双射。

(3) 同态性
∀aK,bK∈G/K\forall aK, bK \in G/K:
ϕ((aK)(bK))=ϕ(abK)=f(ab)=f(a)f(b)=ϕ(aK)ϕ(bK)\phi( (aK)(bK) ) = \phi(abK) = f(ab) = f(a)f(b) = \phi(aK)\phi(bK)。
□\square

此外还有第二同构定理，描述子群与正规子群生成的商群关系。

定理 群同构第二定理 (Second Isomorphism Theorem)
令 H≤G,N◃GH \leq G, N \triangleleft G，则

  1. HN≤GHN \leq G
  2. H∩N◃HH \cap N \triangleleft H
  3. H/(H∩N)≅HN/NH/(H \cap N) \cong HN/N
证明

定义映射 ϕ:H→G/N\phi: H \to G/N 为 ϕ(h)=hN\phi(h) = hN（即自然同态 π:G→G/N\pi: G \to G/N 在子群 HH 上的限制）。

  1. 同态性：ϕ(h1h2)=h1h2N=(h1N)(h2N)=ϕ(h1)ϕ(h2)\phi(h_1 h_2) = h_1 h_2 N = (h_1 N)(h_2 N) = \phi(h_1)\phi(h_2)。
  2. 像 (Image)：
    Imϕ={hN∣h∈H}=HN/NIm\phi = \{hN \mid h \in H\} = HN/N。
    （注：HN/NHN/N 中的元素形式为 xNxN 其中 x∈HNx \in HN。xx 可写为 hnhn，则 xN=hnN=hN=ϕ(h)xN = hnN = hN = \phi(h)）。
  3. 核 (Kernel)：
    Kerϕ={h∈H∣ϕ(h)=N}={h∈H∣hN=N}={h∈H∣h∈N}=H∩NKer\phi = \{h \in H \mid \phi(h) = N\} = \{h \in H \mid hN = N\} = \{h \in H \mid h \in N\} = H \cap N。

由于 KerϕKer\phi 总是正规子群，故 H∩N◃HH \cap N \triangleleft H。
由群同构第一定理：H/Kerϕ≅ImϕH / Ker\phi \cong Im\phi，即

H/(H∩N)≅HN/NH/(H \cap N) \cong HN/N

□\square

以及第三同构定理，描述商群的商群。

定理 群同构第三定理 (Third Isomorphism Theorem)
令 N,M◃GN,M \triangleleft G 且 M⊆NM \subseteq N（此时必有 M◃NM \triangleleft N），则

(G/M)/(N/M)≅G/N(G/M) / (N/M) \cong G/N

证明

定义映射 ψ:G/M→G/N\psi: G/M \to G/N 为 ψ(gM)=gN\psi(gM) = gN。

(1) 良定性
若 aM=bMaM = bM，则 a−1b∈Ma^{-1}b \in M。
由于 M⊆NM \subseteq N，所以 a−1b∈Na^{-1}b \in N，故 aN=bNaN = bN。
ψ\psi 良定。

(2) 同态性
ψ((aM)(bM))=ψ(abM)=abN=(aN)(bN)=ψ(aM)ψ(bM)\psi( (aM)(bM) ) = \psi(abM) = abN = (aN)(bN) = \psi(aM)\psi(bM)。

(3) 满射性
显然对于任意 gN∈G/NgN \in G/N，都有原像 gMgM。

(4) 核 (Kernel)
Kerψ={gM∈G/M∣ψ(gM)=N}={gM∣gN=N}={gM∣g∈N}=N/MKer\psi = \{gM \in G/M \mid \psi(gM) = N\} = \{gM \mid gN = N\} = \{gM \mid g \in N\} = N/M。

由群同构第一定理：(G/M)/Kerψ≅Imψ(G/M) / Ker\psi \cong Im\psi，即

(G/M)/(N/M)≅G/N(G/M) / (N/M) \cong G/N

□\square

简要总结:

  • 同态定理：给出构造同构映射的方法（Dom/Ker≅ImDom/Ker \cong Im）。
  • 同构定理：基于构造出的同构，给出特定的商结构之间的同构关系。

对于群 GG，称其自己到自己的同构映射为 自同构 (Automorphism)「自己同型」。

自同构的映射全体实际上是构成一个群的，我们来检查一下：
首先如果 f,gf,g 是自同构，那么根据同构的性质，有 f∘gf \circ g 也是同构（封闭性），f−1f^{-1} 也是自同构（逆元），且恒等映射 idid 显然是自同构（单位元）。
所以这个群对于映射的合成这个运算构成一个群，通常记群 GG 上的自同构全体的群为 Aut(G)Aut(G)。