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“群是一个可以回溯的世界”
不妨在具有一定群论的基础后，回过头来看看这句话的含义。

# 群的定义

群其实是要求一个集合要能附带（封闭）某一种性质良好运算，也就是说：运算封闭，结合，可逆并且有单位元。

定义
对于一个集合 GG 和一个二元运算 ∗:G×G→G*:G \times G \rightarrow G，如果满足以下公理：

  1. 结合律：∀a,b,c∈G: (a∗b)∗c=a∗(b∗c){}^\forall a,b,c \in G:\ (a*b)*c = a*(b*c)
  2. 单位元存在：∃e∈G: a∗e=e∗a=a{}^\exists e \in G:\ a*e = e*a = a
  3. 逆元存在：∀a∈G, ∃b∈G: a∗b=b∗a=e{}^\forall a \in G,\ {}^\exists b \in G:\ a*b = b*a = e

则称 (G,∗)(G,*) 为一个 群 (Group)「群」

群 (G,∗)(G,*) 在不需要特别明确运算种类时，简写为 GG。
比起群上的运算具体是什么样的性质，群论研究的是一般情况下群的性质和结构。

如果这个运算是广义上的乘法，例如实数乘法，行列积，函数的复合，则称为乘法群。
如果是广义上的加法，例如实数加法，直和，称为加法群。

乘法群中通常将运算 a∗ba*b 简写为 abab。
并且注意：由于不需要具体对群上的运算做出指定，所以一般情况下群中的运算也以 abab 的形式表示。
如果将群中的运算记作 a+ba+b，在绝大多数情况下是为了强调其为加法群，并且满足交换律 a+b=b+aa+b=b+a。

群本身是不要求运算可以交换的。若运算满足交换律（即 ab=baab=ba），则该群被特别地称为 Abelian 群 (Abelian Group)「可換群」 或阿贝尔群。

满足 ea=ae=aea = ae = a 的元 ee 称为单位元。
满足 ab=ba=eab = ba = e 的元 bb 称为 aa 的逆元，记作 a−1a^{-1}。
这两类元各自唯一。

命题

  • 群的单位元是唯一的
  • 群中任意元的逆元是唯一的
证明

单位元唯一性
令 e1,e2∈Ge_1,e_2 \in G 同时为 GG 的单位元，则有 e1=e1e2=e2⇒e1=e2e_1 = e_1e_2 = e_2 \quad \Rightarrow \quad e_1=e_2

逆元唯一性
令 b,c∈Gb,c \in G 同时为 a∈Ga \in G 的逆元，则有 b=be=b(ac)=(ba)c=ec=cb = be = b(ac) = (ba)c =ec = c

□\square

在加法群下，一般记单位元为 00，逆元为 −a-a。
乘法群下，一般记单位元为 11 或 ee，逆元为 a−1a^{-1}。
今后如果没有特别声明，群一律默认为乘法群表示法。

可以将群理解为，一个【结果】的群体，和一个【操作】。
例如一个正方形，可以考虑一个运算（操作）是将它顺时针旋转 90∘90^\circ 的倍数。
那么很明显，通过旋转可以得到不同朝向的正方形，记这些每个不同的正方形为集合内的一元，那么所有可能出现的情况全体构成一个群。

自明地，这个集合对于旋转操作封闭，也就是说无论怎么旋转都不可能得到集合外的元。
其次，定义最开始的状态的正方形为单位元，这个正方形可以通过旋转 00 度得到。
并且，对于任意一个旋转得到的正方形，都可以通过反方向的旋转回到初始状态（单位元）。

这样一来，满足了对运算封闭，结合律自明。单位元与任一元的逆元均存在，其成为群。

示例
例 1：C,R,Z,Q\mathbb C,\mathbb R,\mathbb Z,\mathbb Q 关于普通加法构成加法群。
例 2：Q∗:=Q∖{0},C∗,R∗\mathbb Q^*:=\mathbb Q \setminus \{0\},\mathbb C^*,\mathbb R^* 关于普通乘法构成乘法群。
例 3：绝对值为 11 的复数全体 S1={z∈C:∣z∣=1}S^1 = \{z \in \mathbb C : |z|=1\} 对复数乘法构成群。
例 4：{−1,1}\{-1,1\} 关于乘法构成群。
例 5：只含单位元的 {e}\{e\} 也构成群，并且这种群称为 单位群（平凡群） (Trivial Group)「自明群」。

  • 无限个元的群称为 无穷群 (Infinite Group)「無限群」
  • 有限个元的群称为 有限群 (Finite Group)「有限群」

对于有限群，群里元的个数称为群的 阶 (Order)「位数」，记作 o(G)o(G) 或 ord(G)\mathrm{ord}(G) 或 ∣G∣|G|。

阶数这个概念不止用于群，也用于群里面的元。
对于群 GG 中的元 aa，使得 an=ea^n = e 的最小正整数 nn 称为 aa 的 阶 (Order of an element)「元の位数」，记作 ord(a)\mathrm{ord}(a) 或 ∣a∣|a|。
如果不存在这样的 nn，则称 aa 的阶为无穷大。

记 GG 为群，GG 具有如下基本性质。

命题 逆元的逆元与积的逆元
若 a,b,a1,…,an∈Ga, b, a_1, \dots, a_n \in G，则

  1. (a−1)−1=a(a^{-1})^{-1} = a
  2. (ab)^{-1} = b^{-1}a^
  3. (a_1a_2\dots a_n)^{-1} = a_n^{-1}a_{n-1}^{-1}\dots a_1^
证明

(2)
由于

(ab)⋅(b−1a−1)=a⋅(bb−1)⋅a−1=aa−1=e(b−1a−1)⋅(ab)=b−1⋅(a−1a)⋅b=b−1b=e\begin{aligned} (ab) \cdot (b^{-1}a^{-1}) &= a \cdot (bb^{-1}) \cdot a^{-1} = aa^{-1} = e \\ (b^{-1}a^{-1}) \cdot (ab) &= b^{-1} \cdot (a^{-1}a) \cdot b = b^{-1}b = e \end{aligned}

由逆元的唯一性，知 (ab)−1=b−1a−1(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}。

(3)
使用数学归纳法证明，n=1n=1 时显然成立。
假设 n=kn=k 时成立，即 (a1…ak)−1=ak−1…a1−1(a_1\dots a_k)^{-1} = a_k^{-1}\dots a_1^{-1}。
则 n=k+1n=k+1 时，将前 kk 项看作整体：

((a1…ak)ak+1)−1=ak+1−1(a1…ak)−1=ak+1−1ak−1…a1−1( (a_1\dots a_k) a_{k+1} )^{-1} = a_{k+1}^{-1} (a_1\dots a_k)^{-1} = a_{k+1}^{-1}a_k^{-1}\dots a_1^{-1}

□\square

命题 指数律
令 GG 为群，对于任意 a,b∈Ga, b \in G 以及任意整数 m,n∈Zm, n \in \mathbb Z，有：

  1. a^m a^n = a^
  2. (a^m)^n = a^
  3. 若 GG 是 Abelian 群，则 (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n
证明

对于自然数幂，定义 an=aa…a⏟na^n = \underbrace{aa\dots a}_{n}。
对于负整数幂，定义 a−n=(a−1)na^{-n} = (a^{-1})^n。a0=ea^0 = e。

(1)
显然 a…a⏟m⋅a…a⏟n=am+n\underbrace{a\dots a}_{m} \cdot \underbrace{a\dots a}_{n} = a^{m+n}。涉及负数时利用 aa−1=eaa^{-1}=e 抵消即可。

(3)
注意：该性质仅在交换群中成立。
(ab)n=abab…ab⏟n(ab)^n = \underbrace{abab\dots ab}_{n}。
因为 a,ba,b 可交换，我们可以将所有的 aa 移到左边，所有的 bb 移到右边，从而得到 anbna^n b^n。
若群不可交换，通常 (ab)2=abab≠a2b2(ab)^2 = abab \neq a^2b^2。
□\square

此处的指数法则表示针对乘法群。
对于加法群，幂运算对应倍数运算 nana，指数律对应分配律：m(na)=(mn)am(na) = (mn)a 以及 n(a+b)=na+nbn(a+b) = na + nb（后者仅在 Ab 群中自然成立，而加法群通常默认是 Ab 群）。

定理 消去律
令 GG 为群，非零元 a∈Ga \in G，则对于任意的 x,x′∈Gx,x' \in G

  • ax=ax′  ⟹  x=x′ax = ax' \implies x = x' （左消去律）
  • xa=x′a  ⟹  x=x′xa = x'a \implies x = x' （右消去律）
证明

在等式 ax=ax′ax = ax' 左边同乘 a−1a^{-1}：
a−1(ax)=a−1(ax′)  ⟹  (a−1a)x=(a−1a)x′  ⟹  ex=ex′  ⟹  x=x′a^{-1}(ax) = a^{-1}(ax') \implies (a^{-1}a)x = (a^{-1}a)x' \implies ex = ex' \implies x = x'
右边同样。
□\square

  • 此性质保证群方程 ax=bax=b 和 ya=bya=b 均有唯一解（x=a−1b,y=ba−1x=a^{-1}b, y=ba^{-1}）。

# 子群

若 H⊆GH \subseteq G 关于 GG 上的运算构成群，则称 HH 为 GG 的 子群 (Subgroup)「部分群」，记作 H≤GH \leq G。

命题 子群判定定理
H⊆GH \subseteq G 是子群的充分必要条件为：

  1. HH 非空（通常验证 e∈He \in H）
  2. 若 a,b∈Ha,b \in H，则 ab∈Hab \in H （运算封闭）
  3. 若 a∈Ha \in H，则 a−1∈Ha^{-1} \in H （逆元封闭）
证明

（充分性）
结合律在 GG 中成立，故在 HH 中自然成立。
由条件 1, 2, 3 可知 HH 满足群的所有公理。

（必要性）显然成立。
□\square

更简洁的判定条件（一步判定法）：
H≤G  ⟺  H≠∅∧(∀a,b∈H  ⟹  ab−1∈H)H \leq G \iff H \neq \emptyset \land (\forall a,b \in H \implies ab^{-1} \in H)。

如果要求 HH 是有限集，那么还可以去掉条件 3（逆元封闭性）：

命题 有限子群判定
令 H⊆GH \subseteq G 为非空有限子集。如果 HH 关于 GG 的乘法封闭，则 HH 为 GG 的子群。

证明

只需要证明条件 3（逆元存在）即可。
取 a∈Ha \in H。若 a=ea=e，则 a−1=e∈Ha^{-1}=e \in H。
若 a≠ea \neq e，考察序列 a,a2,a3,…a, a^2, a^3, \dots。
由于 HH 是有限的且封闭，这些幂不可能互不相同。
必存在 r>s≥1r > s \ge 1 使得 ar=asa^r = a^s。
由消去律，两边同乘 a−sa^{-s}（注意 a−s∈Ga^{-s} \in G），得 ar−s=ea^{r-s} = e。
令 k=r−s≥1k = r-s \ge 1。
若 k=1k=1，则 a=ea=e，矛盾。故 k≥2k \ge 2。
此时 a⋅ak−1=ak=ea \cdot a^{k-1} = a^k = e，且 ak−1⋅a=ea^{k-1} \cdot a = e。
这说明 a−1=ak−1a^{-1} = a^{k-1}。
因为 k−1≥1k-1 \ge 1 且 HH 对乘法封闭，所以 ak−1∈Ha^{k-1} \in H，即 a−1∈Ha^{-1} \in H。
□\square

对于任意的群 GG，显然 GG 自己以及单位群 {e}\{e\} 都会是它的子群，这两个子群称为平凡子群。
除此之外的子群叫做真子群，记作 H<GH < G。

命题 子群的交

H1,H2≤G⇒H1∩H2≤GH_1,H_2 \leq G \quad \Rightarrow \quad H_1 \cap H_2 \leq G

  • 注意：子群的并 H1∪H2H_1 \cup H_2 通常不是子群（除非其中一个包含另一个）。

示例
例 1：加法群 Z\mathbb Z 是加法群 Q\mathbb Q 的一个子群。
例 2：乘法群 Q∗\mathbb Q^* 是乘法群 R∗\mathbb R^* 的一个子群。
例 3（生成）：从群 GG 中取一部分元素构成一个集合 SS。考虑包含 SS 的最小子群，这引出了生成群的概念。

# 生成群

例 3 中提到的群称为由 SS 生成的 GG 的子群，SS 称为 HH 的 生成系 (Generating Set)「生成系」，记作 H=⟨S⟩H = \langle S \rangle。
数学上，⟨S⟩\langle S \rangle 定义为包含 SS 的所有子群的交集，也就是包含 SS 的最小子群。

如果 HH 是由 GG 中的一个元 aa 生成的，那么称 HH 为 循环群 (Cyclic Group)「巡回群」，称 aa 为 HH 的 生成元 (Generator)「生成元」，记作 H=⟨a⟩H = \langle a \rangle。

对于循环群 ⟨a⟩\langle a \rangle，其元素形式非常简单：

⟨a⟩={an∣n∈Z}={…,a−2,a−1,e,a,a2,… }\langle a \rangle = \{ a^n \mid n \in \mathbb Z \} = \{\dots, a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^2, \dots\}

示例
例 1：{−1,1}\{-1,1\} 是由 −1∈R∗-1 \in \mathbb R^* 生成的 R∗\mathbb R^* 的循环子群。
例 2：{1,−1,i,−i}\{1, -1, i, -i\} 是由 i∈C∗i \in \mathbb C^* 生成的 C∗\mathbb C^* 的循环子群（4 阶循环群）。
例 3：整数 mm 的整数倍全体 {0,±m,±2m,… }\{0, \pm m, \pm 2m, \dots\} 是由 mm 生成的加法群 Z\mathbb Z 的循环子群，记作 mZm\mathbb Z 或 ⟨m⟩\langle m \rangle。