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# 陪集

以下设 H≤GH \leq G（HH 是 GG 的子群）。
我们考虑一个同余关系。

定义
对于 a,b∈Ga,b \in G，若 a−1b∈Ha^{-1}b \in H
则称 aa 和 bb 以 HH 为基准 左同余 (Left Congruence)「左合同」，记作 a≡b(modH)a \equiv b \pmod H 或 $ a \equiv_H b$
同样的，若 ab−1∈Hab^{-1} \in H，那称为右同余

容易验证这是一个等价关系，也就是说：

  1. 自反性：∀a∈G\forall a \in G，有 a−1a=e∈Ha^{-1}a = e \in H，所以 a≡a(modH)a \equiv a \pmod H。
  2. 对称性：若 a≡b(modH)a \equiv b \pmod H，即 a−1b∈Ha^{-1}b \in H，则 (a−1b)−1=b−1a∈H(a^{-1}b)^{-1} = b^{-1}a \in H，所以 b≡a(modH)b \equiv a \pmod H。
  3. 传递性：若 a≡b(modH)a \equiv b \pmod H 且 b≡c(modH)b \equiv c \pmod H，即 a−1b∈H,b−1c∈Ha^{-1}b \in H, b^{-1}c \in H，则 (a−1b)(b−1c)=a−1c∈H(a^{-1}b)(b^{-1}c) = a^{-1}c \in H，所以 a≡c(modH)a \equiv c \pmod H。

那么它对应会有等价类。我们分析一下在这个等价关系下，a∈Ga \in G 的等价类 CaC_a 是什么样的集合。
若令 x∈Cax \in C_a，则有 a≡x(modH)a \equiv x \pmod H 且 a−1x∈Ha^{-1}x \in H。
令 h=a−1x∈Hh = a^{-1}x \in H，则 x=ahx = ah。
另一边，设对任意的 h∈Hh \in H，有 x=ahx = ah，由于 a−1x=h∈Ha^{-1}x = h \in H，所以 x∈Cax \in C_a。

综上，这个等价类本质上以 ahah 的形式表示的所有元的集合。注意到 aa 是从 GG 中取出来固定的，hh 是任意的，我们定义这个集合叫做 陪集 (Coset)「剰余類」。

定义
对于 g∈Gg \in G

gH := \{gh \mid h \in H\}$$ 为 $H$ 在 $G$ 中的 [**左陪集 (Left Coset)「左剰余類」**]{.red} $$Hg := \{hg \mid h \in H\}$$ 为 $H$ 在 $G$ 中的 [**右陪集 (Right Coset)「右剰余類」**]{.red}

例如对于加法群 Z\mathbb Z，我们取一个子群 3Z={0,±3,±6,… }3\mathbb Z = \{0, \pm 3, \pm 6, \dots\}。
Z\mathbb Z 中的两元 m,nm,n，以 3Z3\mathbb Z 为基准的同余关系即为 m−n∈3Zm-n \in 3\mathbb Z。
那么此处对于整数 77 的等价类，就包括 …,−2,1,4,7,10,13,…\dots, -2, 1, 4, 7, 10, 13, \dots，也就是 7+3Z7+3\mathbb Z。
这也就是陪集的例子，并且这个集合一般记作 7‾(mod3)\overline{7} \pmod 3 或 1+3Z1 + 3\mathbb Z。

以 HH 为基准可以生成的陪集数量称为 HH 在 GG 中的 指数 (Index)「指数」，记作 (G:H)(G:H) 或 [G:H][G:H]，当然这个是可能取到无穷的。

并且对于有限子群 HH 有以下定理成立：

命题
H≤GH \leq G（HH 有限），则

∀a∈G,∣aH∣=∣H∣\forall a \in G,\quad |aH| = |H|

证明

定义映射 f:H→aHf: H \to aH 为 f(h)=ahf(h) = ah。

  1. 单射：若 f(h1)=f(h2)f(h_1) = f(h_2)，即 ah1=ah2ah_1 = ah_2，由群的左消去律知 h1=h2h_1 = h_2。
  2. 满射：由陪集定义，任意 y∈aHy \in aH 均可写为 ahah 形式，即存在 h∈Hh \in H 使得 f(h)=yf(h) = y。
    综上，ff 是双射，故 ∣aH∣=∣H∣|aH| = |H|。
    □\square

关于这个阶的关系，有一个重要的定理。

定理 拉格朗日定理 (Lagrange's Theorem)
令 H≤GH \leq G（有限群），则

∣G∣=[G:H]⋅∣H∣|G| = [G:H] \cdot |H|

证明
  1. 由同余关系的性质，所有左陪集 {gH}g∈G\{gH\}_{g \in G} 构成了 GG 的一个划分（互不相交且并集为 GG）。
  2. 由上述命题，每个陪集的大小都等于 ∣H∣|H|。
  3. 因此，GG 的元素总数 = (陪集的个数) ×\times (每个陪集的大小)。
    即 ∣G∣=[G:H]⋅∣H∣|G| = [G:H] \cdot |H|。
    □\square

由此引出以下推论：

推论
有限群 GG 的任意子群的阶都是 ∣G∣|G| 的约数。
特别的，

[G:G]=1,[G:e]=∣G∣[G:G]= 1, \quad [G:e] = |G|

且对于任意 a∈Ga \in G，其阶 ∣a∣|a| 整除 ∣G∣|G|，从而 a∣G∣=ea^{|G|} = e。

# 正规子群和商群

我们现在来考虑一下陪集之间的运算，首先是集合之间的运算。

定义
令 S⊂G,S′⊂GS \subset G, S' \subset G 非空，S,S′S,S' 中所有的元 x∈S,x′∈S′x \in S, x' \in S'，他们的积全体构成的集合称为 S,S′S,S' 的 积 (Product)「積」，记作 SS′SS'。
加法记号下则记作 S+S′S+S'。
特别的，如果 SS 中只有一个元 xx，那 SS′SS' 就写作 xS′xS'。

显然这个运算是满足结合律的。
我们一直在讨论群的性质，所以我们希望这个运算能够被定义为群上的运算，也就是满足封闭，可逆，结合，单位元。考察一下对 NN 的要求。

首先是考虑运算的封闭性，对于两个陪集 aN,bNaN, bN，如果要求结果也是陪集，且运算良定义（即 (aN)(bN)=abN(aN)(bN) = abN），这就要求左右陪集一致，也就是说 (aN)(bN)=a(Nb)N=a(bN)N=abNN=abN(aN)(bN) = a(Nb)N = a(bN)N = abNN = abN。这需要 Nb=bNNb = bN。

满足上述条件的 NN 称为 正规子群 (Normal Subgroup)「正規部分群」，也就是说：

定义
如果对于任意的 a∈Ga \in G 都有 aN=NaaN = Na（即左陪集等于右陪集），那么称 NN 为正规子群，记作 N◃GN \triangleleft G。

并且此时，陪集关于集合乘法构成的群称为 商群 (Quotient Group)「商群」，记作 G/NG/N。

定义
令 N◃GN \triangleleft G，定义商群

G/N:={gN∣g∈G}G/N := \{gN \mid g \in G\}

其运算定义为 (aN)(bN)=(ab)N(aN)(bN) = (ab)N。
单位元为 eN=NeN = N，逆元为 (aN)−1=a−1N(aN)^{-1} = a^{-1}N。

且有 ∣G/N∣=[G:N]|G/N| = [G:N]。

注意到陪集本质是等价类，商群就是将原本的群按照 NN 这个约定下，划分出来的等价区域所构成的群。即 “模 NN 运算”。

示例
一个常见的商群是 Z/mZ\mathbb Z/m\mathbb Z，这代表在模 mm 下，余数各自不同的陪集所构成的商群。
Z/mZ={0‾,1‾,2‾,…,m−1‾}\mathbb Z/m\mathbb Z = \{\overline{0}, \overline{1}, \overline{2}, \dots, \overline{m-1} \}。
这个群也被称为整数模 mm 加法群，有时写作 Zm\mathbb Z_m。

如果一个群 GG 除了自明的单位群 {e}\{e\} 和它自身之外不含任何的正规子群，即没有非平凡正规子群，那么称这个群为 单群 (Simple Group)「単純群」。

正规子群的判断通常是重点。首先如果 GG 是交换群，那么他的所有的子群都将会是正规子群（因为 gh=hg  ⟹  gH=Hggh = hg \implies gH = Hg）。
一般情况下，正规子群有一个常用的等价条件：

命题

N◃G  ⟺  N≤G, ∀a∈G, aNa−1⊆NN \triangleleft G \quad \iff \quad N \leq G,\ \forall a \in G,\ aNa^{-1} \subseteq N

证明

（充分性）
若 aNa−1⊆NaNa^{-1} \subseteq N，则对于任意 n∈Nn \in N，有 ana−1∈Nana^{-1} \in N，即 an∈Naan \in Na，故 aN⊆NaaN \subseteq Na。
反过来，利用 a−1a^{-1}，有 a−1N(a−1)−1⊆N  ⟹  a−1Na⊆N  ⟹  N⊆aNa−1  ⟹  Na⊆aNa^{-1}N(a^{-1})^{-1} \subseteq N \implies a^{-1}Na \subseteq N \implies N \subseteq aNa^{-1} \implies Na \subseteq aN。
综上 aN=NaaN = Na。

（必要性）
若 aN=NaaN = Na，则对于任意 n∈Nn \in N，存在 n′∈Nn' \in N 使得 an=n′aan = n'a，即 ana−1=n′∈Nana^{-1} = n' \in N。
□\square

另外一个有关的概念是，对于 a,b∈Ga,b \in G 称 aba−1b−1aba^{-1}b^{-1} 的形式的元为 GG 的 交换子 (Commutator)「交換子」，记作 [a,b][a,b]。
由所有的交换子生成的子群称为 交换子群 (Commutator Subgroup)「交換子群」 或导群，记作 D(G)D(G) 或 G′G'。

交换子的一个应用就是判断正规子群：

命题

H≤G, D(G)⊂H⟹H◃GH \leq G,\ D(G) \subset H \Longrightarrow H \triangleleft G

证明

要证明 H◃GH \triangleleft G，即证 ∀a∈G,x∈H  ⟹  axa−1∈H\forall a \in G, x \in H \implies axa^{-1} \in H。
考虑元素 axa−1x−1axa^{-1}x^{-1}。这是一个交换子，因此 axa−1x−1∈D(G)axa^{-1}x^{-1} \in D(G)。
由条件 D(G)⊂HD(G) \subset H，故 axa−1x−1∈Haxa^{-1}x^{-1} \in H。
令 h=axa−1x−1h = axa^{-1}x^{-1}，则 axa−1=hxaxa^{-1} = hx。
由于 h∈Hh \in H 且 x∈Hx \in H，根据子群封闭性，得 hx∈Hhx \in H。
即 axa−1∈Haxa^{-1} \in H。
□\square

另外一个交换子群的应用是判断商群是否可换。
首先如果 GG 是可换群，那么其任意的商群也是可换群。
更一般地，有以下定理：

命题
令 N◃GN \triangleleft G，有 D(G)⊂N  ⟺  G/ND(G) \subset N \iff G/N 是交换群

证明

根据定义，G/NG/N 是交换群的条件是：

(aN)(bN)=(bN)(aN)(aN)(bN) = (bN)(aN)

  ⟺  abN=baN\iff abN = baN

  ⟺  (ba)−1(ab)∈N\iff (ba)^{-1}(ab) \in N

  ⟺  a−1b−1ab∈N\iff a^{-1}b^{-1}ab \in N

  ⟺  aba−1b−1∈N\iff aba^{-1}b^{-1} \in N

即所有的交换子都包含在 NN 中。
□\square