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在有限群论中，Lagrange 定理告诉我们：子群的阶数一定是群阶数的因子。
但是其逆命题不成立：如果 dd 是 ∣G∣|G| 的因子，群 GG 未必存在阶数为 dd 的子群。
最著名的反例是交错群 A4A_4，其阶数为 1212，但它不存在阶数为 66 的子群。

然而，如果这个因子是素数的幂，情况就不同了。Sylow 定理是有限群论中关于子群存在性与数量最强有力的定理，它是分析有限群结构的 “显微镜”。

# p - 群与 Cauchy 定理

在介绍 Sylow 定理之前，先引入两个基础概念。

定义
设 pp 为素数。如果一个群 GG 的阶为 pkp^k (k≥1k \ge 1)，则称 GG 为 p - 群 (p-group)「p - 群」。
若 GG 的子群 HH 是 p - 群，则称 HH 为 p - 子群 (p-subgroup)「p - 部分群」。

Lagrange 定理的逆命题虽然一般不成立，但对于素数因子是成立的，这就是 Cauchy 定理。

定理 Cauchy 定理 (Cauchy's Theorem)
若有限群 GG 的阶被素数 pp 整除，则 GG 中必存在一个阶为 pp 的元素（也就存在一个阶为 pp 的循环子群）。

# Sylow 定理

对于任意有限群 GG，设其阶数为 ∣G∣=pkm|G| = p^k m，其中 pp 为素数，且 gcd⁡(p,m)=1\gcd(p, m) = 1。
也就是说，pkp^k 是能整除 ∣G∣|G| 的 pp 的最高次幂。

定义
满足上述条件的阶数为 pkp^k 的子群 PP，称为 GG 的 Sylow p - 子群 (Sylow p-subgroup)「Sylow p - 部分群」。
GG 中所有 Sylow p - 子群构成的集合记为 Sylp(G)Syl_p(G)，其个数记为 npn_p。

Sylow 定理包含三个部分，分别回答了：存在性、关系、数量。

定理 Sylow 第一定理 (存在性)
若 pp 为 ∣G∣|G| 的素因子，则 Sylp(G)Syl_p(G) 非空。
即：GG 中一定存在阶为 pkp^k (最高次幂) 的 Sylow p - 子群。

更一般地，对于任意 1≤r≤k1 \le r \le k，G 中都存在阶为 prp^r 的子群。

定理 Sylow 第二定理 (共轭性)
GG 中的任意两个 Sylow p - 子群都是共轭的。
即：若 P1,P2∈Sylp(G)P_1, P_2 \in Syl_p(G)，则存在 g∈Gg \in G，使得 P2=gP1g−1P_2 = g P_1 g^{-1}。

由此导出两个重要推论：

  1. 同构：所有的 Sylow p - 子群都是同构的。
  2. 包含关系：GG 中任意一个 p - 子群（阶数为 pr,r<kp^r, r<k）都包含在某个 Sylow p - 子群中。

定理 Sylow 第三定理 (计数)
Sylow p - 子群的个数 np=∣Sylp(G)∣n_p = |Syl_p(G)| 满足以下条件：

  1. np≡1(modp)n_p \equiv 1 \pmod p
  2. np∣mn_p \mid m （注意：m=∣G∣/pkm = |G|/p^k）

根据群作用的轨道 - 稳定子定理，Sylow p - 子群的个数实际上等于正规化子在群中的指数：

np=[G:NG(P)]=∣G∣∣NG(P)∣n_p = [G : N_G(P)] = \frac{|G|}{|N_G(P)|}

其中 PP 是任意一个 Sylow p - 子群。由于 P≤NG(P)P \leq N_G(P)，所以 npn_p 必然是 mm 的因子。

# Sylow 定理的重要推论

在实际解题（尤其是证明群不是单群，或者判定群的结构）时，以下推论至关重要。

推论 唯一即正规
设 PP 是 GG 的一个 Sylow p - 子群。
P◃GP \triangleleft G (正规子群)   ⟺  np=1\iff n_p = 1。

证明

(⇒\Rightarrow) 若 P◃GP \triangleleft G，则对于任意 g∈Gg \in G，有 gPg−1=PgPg^{-1} = P。由于所有 Sylow p - 子群都共轭，说明 Sylp(G)Syl_p(G) 中只有 PP 这一个元素，即 np=1n_p=1。
(⇐\Leftarrow) 若 np=1n_p = 1，说明 PP 是唯一的 Sylow p - 子群。对于任意 gg，共轭子群 gPg−1gPg^{-1} 的阶数与 PP 相同，也是 Sylow p - 子群。由唯一性知 gPg−1=PgPg^{-1} = P，故 P◃GP \triangleleft G。

# 应用：群结构的分析

Sylow 定理最经典的应用是分析特定阶数的群的构造。
目标：分类所有阶数为 1515 的群。

分析过程

设群 GG 的阶为 ∣G∣=15=3×5|G| = 15 = 3 \times 5。

1. 分析 Sylow-3 子群
设 n3n_3 为 Sylow-3 子群的个数。根据 Sylow 第三定理：

  • n3∣5n_3 \mid 5 \Rightarrow n_3 \in \
  • n3≡1(mod3)n_3 \equiv 1 \pmod 3
    在 {1,5}\{1, 5\} 中，只有 11 满足模 33 余 11。
    因此 n3=1n_3 = 1。
    令 PP 为这唯一的 Sylow-3 子群，则 P◃GP \triangleleft G。且 ∣P∣=3|P|=3，故 P≅Z3P \cong \mathbb Z_3。

2. 分析 Sylow-5 子群
设 n5n_5 为 Sylow-5 子群的个数。

  • n5∣3n_5 \mid 3 \Rightarrow n_5 \in \
  • n5≡1(mod5)n_5 \equiv 1 \pmod 5
    在 {1,3}\{1, 3\} 中，只有 11 满足模 55 余 11。
    因此 n5=1n_5 = 1。
    令 QQ 为这唯一的 Sylow-5 子群，则 Q◃GQ \triangleleft G。且 ∣Q∣=5|Q|=5，故 Q≅Z5Q \cong \mathbb Z_5。

3. 考察直积分解
我们有两个正规子群 P,Q◃GP, Q \triangleleft G。

  • 交集：∣P∩Q∣|P \cap Q| 必须整除 ∣P∣=3|P|=3 和 ∣Q∣=5|Q|=5。由于 gcd⁡(3,5)=1\gcd(3, 5)=1，故 P∩Q={e}P \cap Q = \{e\}。
  • 乘积：∣PQ∣=∣P∣∣Q∣∣P∩Q∣=3×51=15=∣G∣|PQ| = \frac{|P||Q|}{|P \cap Q|} = \frac{3 \times 5}{1} = 15 = |G|。故 PQ=GPQ = G。

由直积分解判定定理，可得：

G≅P×Q≅Z3×Z5G \cong P \times Q \cong \mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5

4. 结论
根据中国剩余定理，由于 gcd⁡(3,5)=1\gcd(3, 5)=1，有 Z3×Z5≅Z15\mathbb Z_3 \times \mathbb Z_5 \cong \mathbb Z_{15}。
因此，阶数为 1515 的群只有一种结构，即 15 阶循环群 C15C_{15}。

示例
对于阶数为 p⋅qp \cdot q 的群（其中 p<qp < q 为素数）：

  • 若 p∤(q−1)p \nmid (q-1)，则 GG 只有唯一结构：循环群 Zpq\mathbb Z_{pq}。
  • 若 p∣(q−1)p \mid (q-1)，则 GG 有两种结构：循环群 Zpq\mathbb Z_{pq} 和唯一的非交换群（半直积）。
    例如 ∣G∣=6=2×3|G|=6=2 \times 3，因 2∣(3−1)2 \mid (3-1)，故有 Z6\mathbb Z_6 和 S3S_3 两种结构。