# 曲面片

进入曲面的讨论前，需要先了解曲面的基本单位定义

• 一般来说会强调 $\boldsymbol \sigma(D)$ 是以 $\boldsymbol \sigma$ 参数化的曲面片
• 线性独立保证了 $u,v$ 的移动范围确实可以张成一个二维空间

一般来说，取 $\mathbb R^3$ 中的向量表示

$$\boldsymbol x = \begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix},\quad \boldsymbol \sigma(u,v) = \boldsymbol x$$

并且常见地，记得到的曲面片为 $S$，即

$$S: \boldsymbol x = \boldsymbol \sigma(u,v),\quad (u,v) \in D$$

对线性无关性的证明往往采取如下等价判断方法：

• 与切平面平行的向量称为 $S$ 在点 $\boldsymbol p$ 处的 切向量 (Tangent Vector)「接ベクトル」
• 与切平面垂直的向量称为 $S$ 在点 $\boldsymbol p$ 处的 法向量 (Normal Vector)「法ベクトル」

根据定义显然：向量 $\boldsymbol v$ 成为 $S$ 的切向量，当且仅当 $\boldsymbol v$ 可以写作 $\boldsymbol \sigma_u(a,b),\ \boldsymbol \sigma_v(a,b)$ 的线性组合

$$\boldsymbol v = \xi \boldsymbol \sigma_u(a,b) + \eta \boldsymbol \sigma_v(a,b),\quad \xi, \eta \in \mathbb R$$

实际上，如果令曲线

$$C: \boldsymbol c(t) = \boldsymbol \sigma(a + \xi t, b + \eta t)$$

那么 $\boldsymbol v = \boldsymbol c'(0)$，确实成为速度向量

通过上述结论，法向量可以由各个点偏导的外积得到，所以整个曲面片的单位法向量场也可以写出

# 正则曲面

• 称该 $f$ 为 $S$ 在点 $\boldsymbol p$ 处的 局部方程 (Local Equation)「局所方程」

隐函数定理保证了任意一个正则曲面上的点，都可以找到一个局部参数化来描述该点附近的曲面片

# 方向

• 若 $S$ 存在单位法向量场，那么称其 可以定向
• $(S, \boldsymbol n)$ 合称为定向曲面

对于正则曲面，通常来说可以指定其的 “外侧” 或者 “内侧” 作为曲面的正向方向。指定正向方向可以避免很多方向不一致导致的错位问题，这一点在参数化分析时尤为重要。
显然一个曲面可以有多种参数化的方式。例如当 $u,v$ 增加时，箭头逐渐向平面的右上方移动。或者反过来向着左下方移动。这样就会导致在对其参数化分析时，出现一些符号上的混乱。
为了避免该类问题，在一个给定了方向的曲面上可以定义参数化的方向：考察参数化下的曲面片的单位法向量场，与正则曲面的单位法向量场是否一致

# 由光滑函数给出的正则曲面

任意定义在开集上的二元光滑函数都可以用映射的图像来得到一个曲面片。
令 $f:D \to \mathbb R$ 为定义在开集 $D \subset \mathbb R^2$ 上的光滑函数，则可以定义映射

$$\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3,\ \binom{u}{v} \mapsto \begin{pmatrix}u \\ v \\ f(u,v)\end{pmatrix}$$

光滑性显然，并且第一第二成分直接给出了单射性，我们来证明偏导线性无关。求其偏导得到

$$\boldsymbol \sigma_u(u,v) = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ f_u(u,v)\end{pmatrix},\quad \boldsymbol \sigma_v(u,v) = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \\ f_v(u,v)\end{pmatrix}$$

任取 $\xi, \eta \in \mathbb R$，设方程

$$\xi \boldsymbol \sigma_u(u,v) + \eta \boldsymbol \sigma_v(u,v) = \boldsymbol 0$$

只需要对比第一，第二分量就可以得到 $\xi = \eta = 0$，所以偏导线性无关，$\boldsymbol \sigma(D)$ 构成曲面片，即

$$\boldsymbol \sigma(D) = \Gamma_f$$

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一般地，通过三元的光滑实数值函数可以给出一个正则曲面。令开集 $U \subset \mathbb R^3$，函数 $f: U \to \mathbb R$，设

$$S = f^{-1}(\{0\})$$

如果 $\mathrm{grad} f(\boldsymbol p) \neq \boldsymbol 0$ 对任意 $\boldsymbol p \in S$ 都成立，那么 $S$ 就是一个正则曲面

# 无法用曲面片完整描述的曲面

曲面片的定义域要求开集，这是为了实现微分所必须保证的。那么通常来说闭合的曲面就无法用曲面片的参数化来完整描述了，其中最需要注意的例子就是球面

球面一般来说有两种参数化方式

• 一种是通过极坐标表示
• 一种是通过球面方程导出的参数化表示

先来看极坐标表示：设定映射

$$\boldsymbol \sigma:(0,\pi) \times (0,2\pi) \to \mathbb R^3,\quad \boldsymbol \sigma(u, v) = \begin{pmatrix}r\sin u \cos v \\ r\sin u \sin v \\ r\cos u\end{pmatrix}$$

显然各个成分是光滑的。对其进行偏微分

$$\boldsymbol \sigma_u(u,v) = \begin{pmatrix}r\cos u \cos v \\ r\cos u \sin v \\ -r\sin u\end{pmatrix},\quad \boldsymbol \sigma_v(u,v) = \begin{pmatrix}-r\sin u \sin v \\ r\sin u \cos v \\ 0\end{pmatrix}$$

计算向量积

$$\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v) = \begin{pmatrix}r^2 \sin^2 u \cos v \\ r^2 \sin^2 u \sin v \\ r^2 \sin u \cos u\end{pmatrix} = r^2 \sin u \cdot \boldsymbol \sigma(u,v)$$

显然

$$\|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\| = r^2 |\sin u| \gt 0$$

所以 $\boldsymbol \sigma_u(u,v)$ 与 $\boldsymbol \sigma_v(u,v)$ 线性无关
最后假设 $\boldsymbol \sigma(u_1, v_1) = \boldsymbol \sigma(u_2, v_2)$，则 $u_1 = u_2$，$v_1 = v_2$，所以 $\boldsymbol \sigma$ 是单射

这使得 $\boldsymbol \sigma$ 是一个曲面片的参数化，$\boldsymbol \sigma((0,\pi) \times (0,2\pi))$ 是一个曲面片的像，但是 $\boldsymbol \sigma((0,\pi) \times (0,2\pi))$ 无法完整描述球面，因为无法描述两条经线 $u=0$ 和 $u=\pi$，所以无法完整描述球面
但这并不妨碍我们对其局部性质的分析