# 变量代换

在引入积分问题之前，先思考如何改变曲面片的参数化的变量

称 $C^\infty$ 映射 $f: U(\subset \mathbb R^m) \to V(\subset \mathbb R^n)$ 为 微分同胚 (Diffeomorphism)「微分同相」，当且仅当 $f$ 是双射，并且 $f$ 与 $f^{-1}$ 都是光滑映射

命题
令 $E$ 为 $s-t$ 平面 $\mathbb R^2$ 中的非空开集， $D$ 为 $u-v$ 平面 $\mathbb R^2$ 中的非空开集， $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 为曲面片的参数化。
若 $\Phi: E \to D$ 是一个微分同胚，那么 $\boldsymbol \sigma \circ \Phi: E \to \mathbb R^3$ 也是一个曲面片的参数化，并且 $\boldsymbol \sigma(E) = (\boldsymbol \sigma \circ \Phi)(E)$

证明

设 $\boldsymbol \tau := \boldsymbol \sigma \circ \Phi$ ，作为复合映射，显然 $\boldsymbol \tau$ 是光滑且单射的
利用复合映射的偏微分，有

$\boldsymbol \tau_s(s,t) = \frac{\partial u}{\partial s} \boldsymbol \sigma_u + \frac{\partial v}{\partial s} \boldsymbol \sigma_v,\quad \boldsymbol \tau_t(s,t) = \frac{\partial u}{\partial t} \boldsymbol \sigma_u + \frac{\partial v}{\partial t} \boldsymbol \sigma_v$

计算向量积

$\begin{aligned} \boldsymbol \tau_s(s,t) \times \boldsymbol \tau_t(s,t) &= \left(\frac{\partial u}{\partial s} \boldsymbol \sigma_u + \frac{\partial v}{\partial s} \boldsymbol \sigma_v\right) \times \left(\frac{\partial u}{\partial t} \boldsymbol \sigma_u + \frac{\partial v}{\partial t} \boldsymbol \sigma_v\right) \\ &= \left( \frac{\partial u}{\partial s} \frac{\partial v}{\partial t} - \frac{\partial u}{\partial t} \frac{\partial v}{\partial s} \right) \boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v \\ &= J_\Phi(s,t) \cdot \boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v \end{aligned}$

由于 $\Phi$ 是微分同胚，所以 Jacobian 行列式 $J_\Phi(s,t) \neq 0$ ，又由于 $\boldsymbol \sigma$ 是曲面片的参数化，所以 $\boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v \neq \boldsymbol 0$ ，因此 $\boldsymbol \tau_s(s,t) \times \boldsymbol \tau_t(s,t) \neq \boldsymbol 0$ ， $\boldsymbol \tau$ 也是一个曲面片的参数化
$\square$

通过这样的方法，参数化 $\boldsymbol \sigma$ 变成了新的参数化 $\boldsymbol \sigma \circ \Phi$ ，称这样的操作为 变量代换 (Change of Variables)「変数変換」

称该代换是保持方向的，当且仅当 $J_\Phi(s,t) \gt 0$ $J_{Φ} (s, t) > 0$ 对任意 $(s,t) \in E$ $(s, t) \in E$ 都成立
- 此时 $\boldsymbol n_{\boldsymbol \sigma \circ \Phi}(s,t) = \boldsymbol n_{\boldsymbol \sigma}(u,v)$
称该代换是改变方向的，当且仅当 $J_\Phi(s,t) \lt 0$ $J_{Φ} (s, t) < 0$ 对任意 $(s,t) \in E$ $(s, t) \in E$ 都成立
- 此时 $\boldsymbol n_{\boldsymbol \sigma \circ \Phi}(s,t) = -\boldsymbol n_{\boldsymbol \sigma}(u,v)$

示例
一般地，由正则矩阵 $A$ 给出的线性映射

$\Phi: \mathbb R^2 \to \mathbb R^2,\quad \Phi(s,t) = A \begin{pmatrix}s \\ t\end{pmatrix}$

是一个微分同胚，且 $J_\Phi(s,t) = \det A$ 是常数

当 $\det A \gt 0$ 时， $\Phi$ 是保持方向的变量代换
当 $\det A \lt 0$ 时， $\Phi$ 是改变方向的变量代换

# 曲面积分

类似于在正则曲面之前引入了曲面片，曲面片作为曲面的基本单位，具备参数化的能力，这使得其法向量场可以由参数化的偏微分稳定给出

令 $S \subset \mathbb R^3$ 为以 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 参数化的曲面片
我们来分析一下如何计算曲面片 $S$ 上的面积：
考虑位于点 $\boldsymbol \sigma(u,v)$ 处的一个小片段
曲面积近似示例

考虑偏微分向量积的模长

$\begin{aligned} \|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\| &= \left\| \lim_{\triangle u, \triangle v \to 0} \frac{\boldsymbol \sigma(u + \triangle u, v) - \boldsymbol \sigma(u,v)}{\triangle u} \times \frac{\boldsymbol \sigma(u, v + \triangle v) - \boldsymbol \sigma(u,v)}{\triangle v} \right\| \\ &= \lim_{\triangle u, \triangle v \to 0} \left\| \frac{\boldsymbol \sigma(u + \triangle u, v) - \boldsymbol \sigma(u,v)}{\triangle u} \times \frac{\boldsymbol \sigma(u, v + \triangle v) - \boldsymbol \sigma(u,v)}{\triangle v} \right\| \\ &= \lim_{\triangle u, \triangle v \to 0} \frac{\|(\boldsymbol \sigma(u + \triangle u, v) - \boldsymbol \sigma(u,v)) \times (\boldsymbol \sigma(u, v + \triangle v) - \boldsymbol \sigma(u,v))\|}{|\triangle u| \cdot |\triangle v|} \end{aligned}$

因此，当 $\triangle u$ 与 $\triangle v$ 足够小时，可以近似

也就是说，令矩形 $R := [u, u + \triangle u] \times [v, v + \triangle v]$ ，则 $\boldsymbol \sigma(R)$ 的面积近似为这里的曲面面积。
那么统合所有小矩形的面积近似，就可以得到曲面片 $S$ 的面积近似

定义
令 $S \subset \mathbb R^3$ 为以 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 参数化的曲面片
设曲面的一部分 $T \subset S$ 的原象可测，那么其 曲面积 (Surface Area)「曲面積」 定义为

$\mathrm{Area}(T) = \iint_{\boldsymbol \sigma^{-1}(T)} \|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\| du dv$

从上述结果不难看出，曲面积分上的基本单位为 $dA = \|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\| du dv$ ，对于标量场的面积分，只需要给这个基本单位加上标量场的值。
但是对于向量场，类似向量场的曲线积分处理方式，需要将其与法向量场点积后再积分
一般地，曲面片上的积分按照如下给出

定义 曲面片的面积分
令 $S \subset \mathbb R^3$ 为以 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 参数化的曲面片， $T \subset S$ 的原象可测

定义 $T$ 上连续标量场 $f: T \to \mathbb R$ 的面积分为

$\iint_T f dA = \iint_{\boldsymbol \sigma^{-1}(T)} f(\boldsymbol \sigma(u,v)) \|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\| du dv$

定义 $T$ 上连续向量场 $\boldsymbol F: T \to \mathbb R^3$ 的面积分为

$\iint_T \boldsymbol F d\boldsymbol A = \iint_{\boldsymbol \sigma^{-1}(T)} \boldsymbol F(\boldsymbol \sigma(u,v)) \cdot (\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)) du dv$

分别称

$dA = \|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\| du dv$ 为曲面片 $S$ 上的 面积元素 (Area Element)「面積要素」
$d\boldsymbol A = \boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v) du dv$ 为曲面片 $S$ 上的 向量面积元素 (Vector Area Element)「ベクトル面積要素」

接下来是正则曲面的面积分问题。由于正则曲面上的点不一定都可以被一个曲面片参数化，因此无法直接套用上述定义来计算面积分。
令 $S$ 为正则曲面。我们想要考虑某一个标量场或者向量场在 $T \subset S$ 上的面积分

如果 $T$ 是一个可以被正向参数化的曲面片，那么标量场和向量场的面积微元可以分别由下式给出

$dA = \|\boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v)\| du dv,\quad d\boldsymbol A = \boldsymbol \sigma_u(u,v) \times \boldsymbol \sigma_v(u,v) du dv$

但是通常来说无法默认 $T$ 是一个曲面片。因此可以类似于曲线积分中分段光滑的概念，考虑 $T$ 是否可以被多个曲面片分割。

定义 正则曲面的面积分
令 S 为 $\mathbb R^3$ 中的正则曲面， $T \subset S$ ，设存在一系列子集 $T_1, T_2, \cdots, T_n \subset S$ 满足

$T = \bigcup_{i=1}^n T_i$
每个 $T_i$ 都可以被一个曲面片参数化，即存在 $\boldsymbol \sigma_i: D_i \to \mathbb R^3$ 使得 $\boldsymbol \sigma_i(D_i) = T_i$ ，并且 $D_i$ 可测
$i \neq j$ 时， $T_i \cap T_j$ 的面积为零

那么，定义沿曲面 $T$ 的

标量场 $f: T \to \mathbb R$ 的面积分为

$\iint_T f dA = \sum_{i=1}^n \iint_{T_i} f dA$

向量场 $\boldsymbol F: T \to \mathbb R^3$ 的面积分为

$\iint_T \boldsymbol F d\boldsymbol A = \sum_{i=1}^n \iint_{T_i} \boldsymbol F d\boldsymbol A$

这样一来，正则曲面的面积分问题转为多个曲面片的面积分问题。用求和符号可以改写为

$\begin{aligned} \iint_T f dA &= \sum_{i=1}^n \iint_{D_i} f(\boldsymbol \sigma_i(u,v)) \|\boldsymbol \sigma_{i,u}(u,v) \times \boldsymbol \sigma_{i,v}(u,v)\| du dv \\ \iint_T \boldsymbol F d\boldsymbol A &= \sum_{i=1}^n \iint_{D_i} \boldsymbol F(\boldsymbol \sigma_i(u,v)) \cdot (\boldsymbol \sigma_{i,u}(u,v) \times \boldsymbol \sigma_{i,v}(u,v)) du dv \end{aligned}$

# Stokes 定理

Stokes 定理一定程度上可以说是 Green 定理的曲面推广

定理 Stokes 定理
令 $S$ 为以 $\boldsymbol \sigma: D \to \mathbb R^3$ 参数化的曲面片
领域 $\Omega \subset D$ 的边界 $\partial \Omega$ 是由分段光滑的正则单纯闭曲线 $C_0, C_1, \cdots, C_\ell$ 组成的，并且满足 $\overline \Omega \subset D$
那么经由 $\boldsymbol \sigma$ 的映射，各个像 $\boldsymbol \sigma(C_i)$ 也是分段光滑的正则单纯闭曲线，且在 $S$ 中包围了一个区域 $\boldsymbol \sigma(\overline \Omega)$
此时，对于定义在 $U \supset \boldsymbol \sigma(\overline \Omega)$ 上的连续向量场 $\boldsymbol F: U \to \mathbb R^3$ ，有

$\iint_{\boldsymbol \sigma(\overline \Omega)} \mathrm{curl} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A = \sum_{i=0}^\ell \int_{\boldsymbol \sigma(C_i)} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol x$

证明（参见微分形式章节）

Stokes 定理的正式证明将在微分形式的章节给出，此处暂时省略
$\square$

作为一个特例，Stokes 在闭曲面上的结论广为人知

定义
称正则曲面 $S$ 是 封闭曲面 (Closed Surface)「閉曲面」，当且仅当 $S$ 是有界的，且是闭集

在开始给出闭曲面上的 Stokes 定理之前，让我们接触三角剖分

定义 三角形
令 $S$ 为正则曲面， $\boldsymbol \sigma:D \to \mathbb R^3$ 为 $S$ 的局部参数化
令 $\Omega \subset \mathbb R^2$ 满足 $\overline \Omega \subset D$ ，称像 $\boldsymbol \sigma(\Omega)$ 是 $S$ 上的一个 三角形 (Triangle)「三角形」，当且仅当 $\Omega$ 以三个正则曲线连接所得的单纯闭曲线作为边界的区域

三角剖分的意义在于，可以将任意一个闭曲面转为多个闭合三角形进行分析

定理 三角剖分定理
令 $S$ 为 $\mathbb R^3$ 中的封闭曲面，那么存在有限个三角形 $T_1, T_2, \cdots, T_n \subset S$ 满足

$S = \displaystyle\bigcup_{i=1}^n T_i$
$i \neq j,\ T_i \cap T_j \neq \emptyset \implies T_i \cap T_j$ 是 $T_i$ 与 $T_j$ 的公共边界或者公共顶点的一个

证明（参见梅原山田, *曲线与曲面*）

该证明比较复杂，可以参考梅原山田所著的《曲线与曲面》中的相关章节，此处暂时省略
$\square$

定理 闭曲面上的 Stokes 定理
令 $(S, \boldsymbol n)$ 为 $\mathbb R^3$ 中的定向闭曲面，则对于任意定义在 $U \supset S$ 上的连续向量场 $\boldsymbol F: U \to \mathbb R^3$ ，有

$\iint_S \mathrm{curl} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A = 0$

证明

对 $S$ 进行三角剖分 $\{T_1, T_2, \cdots, T_n\}$
考虑各个三角形 $T_i$ ，定义三条边分别为 $C_{i,1}, C_{i,2}, C_{i,3}$ ，并以 $\boldsymbol n$ 的方向为基准令其正向
令各个 $T_i$ 具有局部参数化 $\boldsymbol \sigma_i: D_i \to \mathbb R^3$ ，以及领域 $\Omega_i \subset D_i$ 满足 $\overline \Omega_i \subset D_i$ 。考虑参数化为正向。
因此，应用 Stokes 定理，有

$\iint_S \mathrm{curl} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A = \sum_{i=1}^n \iint_{T_i} \mathrm{curl} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^3 \int_{C_{i,j}} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol x$

由于 $S$ 是封闭曲面，所以每条边 $C_{i,j}$ 都是两个三角形的公共边界，并且在其中一个三角形中为正向，在另一个三角形中为反向，因此每个三角形的每条边的积分都会被另一个三角形的同一条边的积分抵消掉，最终得到

$\iint_S \mathrm{curl} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A = 0$

$\square$

# Gauss 定理

Gauss 定理也称为散度定理

Stokes 定理将线积分与面积分互相转换
而 Gauss 定理实现了面积分与体积分的转换
类似于在曲面上进行的三角剖分，Gauss 定理的证明涉及曲四面体剖分

定义 曲四面体
令开集 $V,W \subset \mathbb R^3$ ，取微分同胚映射 $\varphi:V \to W$
令某一三角形 $\triangle \subset \mathbb R^3$ 为某一个四面体的内部或者边界，并满足 $\triangle \subset V$
则称 $\varphi(\triangle)$ 是 $\mathbb R^3$ 中的一个 曲四面体 (Curvilinear Tetrahedron)「曲四面体」

定理 曲四面体的 Gauss 定理
令 $T$ 为一个曲四面体，开集 $U \supset T$ ，对于定义在 $U$ 上的连续向量场 $\boldsymbol F: U \to \mathbb R^3$ ，有

$\iint_{\partial T} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A = \iiint_T \mathrm{div} \boldsymbol F dV$

证明（参见微分形式章节）

该定理的详细证明将在后续微分形式的章节中给出，此处暂时省略
$\square$

定理 Gauss 定理
令 $V \subset \mathbb R^3$ 为有界邻域，且 $\partial V$ 是一个定向闭曲面，令其单位法向量场为由 $V$ 向外侧的方向。
则对于开集 $U \supset \overline V$ 上的连续向量场 $\boldsymbol F: U \to \mathbb R^3$ ，有

$\iint_{\partial V} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A = \iiint_{\overline V} \mathrm{div} \boldsymbol F dV$

证明

取包含在 $\overline V$ 内的曲四面体 $T_1, T_2, \cdots, T_n$ 满足

$V = \displaystyle\bigcup_{i=1}^n T_i$
$i \neq j,\ T_i \cap T_j \neq \emptyset \implies T_i \cap T_j$ 是 $T_i$ 与 $T_j$ 的公共边界或者公共顶点的一个
$T_1, T_2, \cdots, T_n$ 的被 $\partial V$ 包含的面成为 $\partial V$ 的三角剖分

对于各个 $T_i$ ，设其面（正则曲面）为 $F_{i,1}, F_{i,2}, F_{i,3}, F_{i,4}$ ，并以 $T_i$ 的外侧为正向
因此，应用曲四面体的 Gauss 定理，有

$\iiint_{\overline V} \mathrm{div} \boldsymbol F dV = \sum_{i=1}^n \iiint_{T_i} \mathrm{div} \boldsymbol F dV = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^4 \iint_{F_{i,j}} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A$

由于 $T_1, T_2, \cdots, T_n$ 的被 $\partial V$ 包含的面成为 $\partial V$ 的三角剖分，所以每个 $F_{i,j}$ 都是 $\partial V$ 上的一个三角形，并且在其中一个 $T_i$ 中为正向，在另一个 $T_k$ 中为反向，因此每个 $F_{i,j}$ 的积分都会被另一个 $T_k$ 的同一面 $F_{k,l}$ 的积分抵消掉，最终得到

$\iiint_{\overline V} \mathrm{div} \boldsymbol F dV = \iint_{\partial V} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol A$

$\square$

# 变量代换

# 曲面积分

# Stokes 定理

# Gauss 定理

【微分几何】6-正则曲面

【微分几何】2-梯度散度与旋度