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定义
令 XX 为非空集合，若子集族 F⊂P(X)\mathcal F \subset \mathcal P(X) 满足

  1. ∅∈F\emptyset \in \mathcal F;
  2. A∈FA \in \mathcal F 则 X∖A∈FX \setminus A \in \mathcal F;
  3. A1,A2,⋯∈FA_1, A_2, \cdots \in \mathcal F 则 ⋃n=1∞An∈F\displaystyle\bigcup_{n=1}^\infty A_n \in \mathcal F;

则称 F\mathcal F 是 XX 上的一个 σ\sigma - 代数 (σ\sigma-algebra)「σ\sigma - 代数」。

类似于拓扑空间，称 XX 与其 σ\sigma - 代数 F\mathcal F 的二元组 (X,F)(X, \mathcal F) 是一个 可测空间 (Measurable Space)「可測空間」。

对于一个子集族 C⊂P(X)\mathcal C \subset \mathcal P(X)，我们定义包含其的最小 σ\sigma - 代数为

σ(C):=min⁡{F(sigma-algebra on X)∣C⊂F}\sigma(\mathcal C) := \min\{\mathcal F (\text{sigma-algebra on } X) \mid \mathcal C \subset \mathcal F\}

命题

σ(C)=⋂{F(sigma-algebra on X)∣C⊂F}\sigma(\mathcal C) = \bigcap \{\mathcal F (\text{sigma-algebra on } X) \mid \mathcal C \subset \mathcal F\}

若 XX 配有开集系 O\mathcal O，则 σ(O)\sigma(\mathcal O) 被称为 XX 上的 Borel 集合族 (Borel σ\sigma-algebra)「Borel σ\sigma - 代数」，记为 B(X)\mathcal B(X)。其中的元素被称为 Borel 集合

依照定义，σ(O)\sigma(\mathcal O) 自然是一个 σ\sigma - 代数，因此由此引出的可测空间可以兼具拓扑空间的性质与可测空间的性质。

以下令 SS 是由 O\mathcal O 引出的可测空间

在可分的度量空间中，Borel 集合族可以等价为包含开球全体的最小 σ\sigma - 代数

命题
令 (S,d)(S,d) 是可分的度量空间，定义开球全体

E:={B(x,r)∣x∈S,r>0}\mathcal E := \{B(x, r) \mid x \in S, r > 0\}

则 σ(E)=B(S)\sigma(\mathcal E) = \mathcal B(S)。

证明

(⊂\subset)
取 SS 的开集系 O\mathcal O，显然有 E⊂O\mathcal E \subset \mathcal O
因此 σ(E)⊂σ(O)=B(S)\sigma(\mathcal E) \subset \sigma(\mathcal O) = \mathcal B(S)

(⊃\supset)
我们先证明 O⊂σ(E)\mathcal O \subset \sigma(\mathcal E)
由于 SS 是可分的度量空间，存在 SS 的一个可数稠密子集 DD
定义可数集

E0:={B(q,12n)∣q∈D,n∈N}\mathcal E_0 := \{B(q, \frac{1}{2^n}) \mid q \in D, n \in \mathbb{N}\}

那么对于 U∈OU \in \mathcal O，取被其包含的 E0\mathcal E_0 全体，并编号（取自于可数集，自然是可数的）

{B∈E0∣B⊂U}={Bλ∣λ∈Λ}\{B \in \mathcal E_0 \mid B \subset U\} = \{B_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\}

则开基给出 U=⋃λ∈ΛBλU = \displaystyle\bigcup_{\lambda \in \Lambda} B_\lambda，因此 U∈σ(E0)⊂σ(E)U \in \sigma(\mathcal E_0) \subset \sigma(\mathcal E)
□\square