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# 嵌入

对于两个环 RR 和 R′R'，若存在单射环同态 φ:R→R′\varphi : R \to R'，则原环 RR 同构于 φ(R)⊆R′\varphi(R) \subseteq R'，并且 φ(R)\varphi(R) 为 R′R' 的子环
这样一来，就可以视为在 R′R' 中分析 RR
此时称这个单射环同态为 嵌入 (Embedding)「埋め込み」
存在这样的嵌入时，称 环 RR 可以嵌入到环 R′R' 中

那么显然：若一个环 RR 可以嵌入到域 FF 中，则 RR 必然为整环

但是值得思考的是反过来：是否任意的整环都可以嵌入到某个域中？（实际上是可以的）

分式域和局部化的概念，正是用来构造这样的域

注意：本节中全程默认 RR 为整环

# 分式域

分式域是局部化的一个最完美、最直观的特例

令 RR 为整环，构造 R×R∖{0}R \times R \setminus \{0\} 上的等价关系

(a,b)∼(c,d)⟺ad=bc(a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc

简要验证：

  • 自反性：显然成立
  • 对称性：若 (a,b)∼(c,d)(a,b) \sim (c,d)，则 ad=bcad = bc，则 cb=dacb = da，所以 (c,d)∼(a,b)(c,d) \sim (a,b)
  • 传递性：若 (a,b)∼(c,d),(c,d)∼(e,f)(a,b) \sim (c,d),\ (c,d) \sim (e,f)，则 ad=bc,cf=dead = bc,\ cf = de，则 af=beaf = b e，所以 (a,b)∼(e,f)(a,b) \sim (e,f)

该等价关系本质上是分数的约分

记该等价关系下 (a,b)(a,b) 的等价类为 ab\frac{a}{b}，其商集为

Frac(R)={ab|a,b∈R,b≠0}\mathrm{Frac}(R) = \left\{\frac{a}{b} \ \middle| \ a, b \in R,\ b \neq 0\right\}

在此商集上可以定义运算

  • 加法：ab+cd=ad+bcbd\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd} \\[6pt]
  • 乘法：ab⋅cd=acbd\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} \quad

零元和单位元分别由 01\dfrac{0}{1} 和 11\dfrac{1}{1} 给出，验证省略
对于任意非零 ab∈Frac(R)\dfrac{a}{b} \in \mathrm{Frac}(R)，其加法逆元为 −ab\dfrac{-a}{b}，乘法逆元为 ba\dfrac{b}{a}，其中 a≠0a \neq 0 因为 RR 为整环
所以 Frac(R)\mathrm{Frac}(R) 为域
映射

φ:R→Frac(R),a↦a1\varphi : R \to \mathrm{Frac}(R),\quad a \mapsto \frac{a}{1}

为环同态，且 Kerφ={0}\mathrm{Ker} \varphi = \{0\} 给出单射，所以 RR 与 φ(R)⊂Frac(R)\varphi(R) \subset \mathrm{Frac}(R) 同构

此时，Frac(R)\mathrm{Frac}(R) 构成一个域，称为整环 RR 的 分式域 (Field of Fractions)「商体」
这样一来，就完成了将整环嵌入域的过程

示例

  • Frac(Z)=Q\mathrm{Frac}(\mathbb Z) = \mathbb Q
  • Frac(Z[x])=Q(x)\mathrm{Frac}(\mathbb Z[x]) = \mathbb Q(x)
  • Frac(Z[i])=Q(i)\mathrm{Frac}(\mathbb Z[i]) = \mathbb Q(i)

注：Q[x]\mathbb{Q}[x] 是多项式环（只有多项式）。Q(x)\mathbb{Q}(x) 是有理函数域（多项式的分式）。它们的区别，完全等同于 Z\mathbb{Z}（整数） 和 Q\mathbb{Q}（有理数） 的区别。

# 局部化

分式域的构建中，指定了所有的不含零元的元作为 “分母”，从而构造出了域

一般情况下，取包含单位元，且不含零元的子集 S⊂RS \subset R
令其对乘法封闭，即 ∀s1,s2∈S:s1s2∈S{}^\forall s_1, s_2 \in S:\ s_1 s_2 \in S

构造 R×SR \times S 上的等价关系

(a,b)∼(c,d)⟺ad=bc(a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc

记该等价关系下 (a,b)(a,b) 的等价类为 ab\frac{a}{b}，其商集为

S−1R={ab|a∈R,b∈S}S^{-1}R = \left\{\frac{a}{b} \ \middle| \ a \in R,\ b \in S\right\}

称商集 S−1R=(R×S)/∼S^{-1}R = (R \times S)/\sim 为环 RR 关于 R×R^\times 的 局部化 (Localization)「局所化」

通过与分式域类似的方式定义加法与乘法，使得 S−1RS^{-1}R 成为环，并且包含与 RR 同构的子环。所以这也是一种将环 RR 嵌入到更大环的方法

显然分式域是 S=R∖{0}S = R \setminus \{0\} 时的特例

示例
取素理想 P⊂RP \subset R，即

∀a,b∈R:ab∈P⟹a∈Porb∈P{}^\forall a,b \in R:\ ab \in P \implies a \in P \text{ or } b \in P

令

S=R∖PS = R \setminus P

则局部化 S−1RS^{-1}R 记作 RPR_P，称为环 RR 在素理想 PP 处的 局部环

示例
取有理整数环 R=ZR = \mathbb Z，取素数 pp

  • 例 1 令 S={pn∣n≥0}S = \{p^n \mid n \geq 0\}，则

S−1R=Z[1p]={kpn|k∈Z,n≥0}S^{-1}R = \mathbb Z\left[\frac{1}{p}\right] = \left\{\dfrac{k}{p^n} \ \middle| \ k \in \mathbb Z,\ n \geq 0 \right\}

这是对单个元素 pp 的局部化，也就是：分母只能是 pp 的幂次的所有有理数

  • 例 2 取素理想 P=(p)P = (p)，令 S=Z∖P={n∈Z∣p∤n}S = \mathbb Z \setminus P = \{ n \in \mathbb Z \mid p \nmid n \}，则

S−1R=Z(p)={ab|a,b∈Z,p∤b}S^{-1}R = \mathbb Z_{(p)} = \left\{\dfrac{a}{b} \ \middle| \ a,b \in \mathbb Z,\ p \nmid b\right\}

这是分母不含 pp 的分数集合

示例
对于多项式环 R=K[x]R = K[x]，取 f∈Rf \in R，令

S={fn∣n≥0}S = \{f^n \mid n \geq 0\}

则局部化 S−1RS^{-1}R 记作 RfR_f 或 R[f−1]R[f^{-1}]，其元素形如 g(x)fn\dfrac{g(x)}{f^n}，其中 g(x)∈R,n≥0g(x) \in R,\ n \geq 0

  • 例 1 取 S={xn∣n≥0}S = \{x^n \mid n \geq 0\}，则

S−1R=K[x][1x]={a−kxk+…+a01+a1x+…+anxn|k,n∈N,ai∈K}S^{-1}R = K[x]\left[\frac{1}{x}\right] = \left\{\frac{a_{-k}}{x^k} + \ldots + \dfrac{a_0}{1} + a_1 x + \ldots + a_n x^n \ \middle| \ k, n \in \mathbb N, a_i \in K \right\}

称为 KK 上的 Laurent 多项式环

  • 例 2 取素理想 P=(x)P = (x)，令 S=R∖PS = R \setminus P，则

K[x](x)={f(x)g(x)|f(x),g(x)∈K[x],x∤g(x)}K[x]_{(x)} = \left\{\dfrac{f(x)}{g(x)} \ \middle| \ f(x),g(x) \in K[x],\ x \nmid g(x)\right\}

为在 00 处有定义的有理函数环

实际上，局部化本质上是起这样的作用：
在环 RR 中，非单位（不可逆元）是结构的骨架和障碍。
例如在 Z\mathbb Z 中，不能解 2x=32x=3，是因为 22 这个 “障碍” 挡在那，它不可逆。

一旦元素 uu 变成了单位，它在代数结构里就变得 “透明” 了
方程 u⋅x=yu \cdot x = y 等价于 x=u−1yx = u^{-1}y

局部化的操作 S−1RS^{-1}R 实际上就是把不关心的所有元素扔进 SS 里，强制把它们变成单位。
这就好比把这些元素全都虚化了

从结构上来说

  • 商环 R/IR/I 是令 II 中的元素等于 00
  • 局部化 S−1RS^{-1}R 令 SS 中的元素等于 11 (可逆)

学习一个抽象的概念时，最好的办法就是实际感受其应用范围
以下示例一定程度可以演示作用：

考虑圆的方程：x2+y2−1=0x^2 + y^2 - 1 = 0。我们关注 北极点 P=(0,1)P = (0, 1)
全局来说，这是一个圆，但是如果站在北极点附近看这个圆，对其进行局部化
也就是说取坐标环

R=R[x,y]/⟨x2+y2−1⟩R = \mathbb{R}[x, y] / \langle x^2 + y^2 - 1 \rangle

这意味着我们在处理全平面上的多项式，但强制视为 x2+y2=1x^2 + y^2 = 1。

现在，将” 只要在北极点 P=(0,1)P = (0,1) 处不为 0“的函数都纳入分母集 SS 中

S=R∖⟨x,y−1⟩={f(x,y)∈R∣f(0,1)≠0}S = R \setminus \langle x, y-1 \rangle = \{ f(x, y) \in R \mid f(0, 1) \neq 0 \}

具体看看 SS 里有什么：

  • 常数 1,2,π1, 2, \pi 都在 SS 里（显然不为 0）
  • f(x,y)=yf(x,y) = y 在 SS 里（因为 f(0,1)=1≠0f(0,1) = 1 \neq 0）。
  • f(x,y)=y+1f(x,y) = y+1 在 SS 里（因为 f(0,1)=1+1=2≠0f(0,1) = 1+1 = 2 \neq 0）
  • f(x,y)=x2+3f(x,y) = x^2+3 在 SS 里

谁不在 SS 里（即不可逆的）：

  • xx （值为 0）。
  • y−1y-1 （值为 0）。

局部化后的环记为 RPR_P，它叫做 圆在点 PP 处的局部环 (Local Ring of the Circle at P)。

里面的元素是 “分母在 P 点不为 0 的有理函数”：$$R_P = \left { \frac {f}{g} ;\bigg|; f, g \in R, ; g (0, 1) \neq 0 \right}$$

在这个环里的代数运算：
因为 y+1∈Sy+1 \in S，所以 1y+1\frac{1}{y+1} 是这个环里合法的、存在的元素。
换句话说，y+1y+1 变成了一个可逆元。

现在，对于环 RR 中的方程 x2+y2−1=0x^2 + y^2 - 1 = 0，因式分解后移项

(y−1)(y+1)=−x2(y-1)(y+1) = -x^2

因为我们身处局部环 RPR_P，且 y+1∈Sy+1 \in S，所以存在逆元 (y+1)−1∈RP(y+1)^{-1} \in R_P。
我们在等式两边同时乘以这个逆元：

y−1=−x2⋅1y+1y - 1 = -x^2 \cdot \frac{1}{y+1}

令 u=−1y+1u = -\frac{1}{y+1}，这是一个环 RPR_P 中的元素，是一个单位（视为常数），因为它的值在 PP 点是 −11+1=−1/2≠0-\frac{1}{1+1} = -1/2 \neq 0
所以我们可以把圆在点 PP 附近的方程，写成

y−1=x2⋅uy - 1 = x^2 \cdot u

这等价于：站在北极点附近看圆，我们看到的其实是一个抛物线 y−1=x2y - 1 = x^2，只是它被一个单位（常数） uu 扭曲了一下而已。