Home 数学 抽象代数

# 分式域

令 RR 为整环，构造 R×R×R \times R^\times 上的等价关系

(a,b)∼(c,d)⟺ad=bc(a,b) \sim (c,d) \iff ad = bc

简要验证：

  • 自反性：显然成立
  • 对称性：若 (a,b)∼(c,d)(a,b) \sim (c,d)，则 ad=bcad = bc，则 cb=dacb = da，所以 (c,d)∼(a,b)(c,d) \sim (a,b)
  • 传递性：若 (a,b)∼(c,d),(c,d)∼(e,f)(a,b) \sim (c,d),\ (c,d) \sim (e,f)，则 ad=bc,cf=dead = bc,\ cf = de，则 af=beaf = b e，所以 (a,b)∼(e,f)(a,b) \sim (e,f)

该等价关系本质上是分数的约分

记该等价关系下 (a,b)(a,b) 的等价类为 ab\frac{a}{b}，则商集

Frac(R)={ab∣a∈R,b∈R×}\mathrm{Frac}(R) = \left\{\frac{a}{b} \mid a \in R,\ b \in R^\times\right\}

在此商集上定义运算

  • 加法：ab+cd=ad+bcbd\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d} = \dfrac{ad + bc}{bd} \\[6pt]
  • 乘法：ab⋅cd=acbd\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd} \quad

命题
上述定义的加法与乘法使得 Frac(R)\mathrm{Frac}(R) 成为域
并且 Frac(R)\mathrm{Frac}(R) 中包含与 RR 的同构的子整环

证明

零元和单位元分别由 01\dfrac{0}{1} 和 11\dfrac{1}{1} 给出，验证省略
对于任意非零 ab∈Frac(R)\dfrac{a}{b} \in \mathrm{Frac}(R)，其加法逆元为 −ab\dfrac{-a}{b}，乘法逆元为 ba\dfrac{b}{a}，其中 a≠0a \neq 0 因为 RR 为整环
所以 Frac(R)\mathrm{Frac}(R) 为域
映射

φ:R→Frac(R),a↦a1\varphi : R \to \mathrm{Frac}(R),\quad a \mapsto \frac{a}{1}

为环同态，且 ker⁡φ={0}\ker \varphi = \{0\}，所以 RR 与 φ(R)⊂Frac(R)\varphi(R) \subset \mathrm{Frac}(R) 同构

定义
称域 Frac(R)\mathrm{Frac}(R) 为整环 RR 的 分式域 (Field of Fractions)「商体」

示例

  • Frac(Z)=Q\mathrm{Frac}(\mathbb Z) = \mathbb Q
  • Frac(Z[x])=Q(x)\mathrm{Frac}(\mathbb Z[x]) = \mathbb Q(x)
  • Frac(Z[i])=Q(i)\mathrm{Frac}(\mathbb Z[i]) = \mathbb Q(i)

# 局部化

一般情况下，取包含单位元，且不含零元的子集 S⊂RS \subset R
令其对乘法封闭，即 ∀s1,s2∈S,s1s2∈S\forall s_1, s_2 \in S,\ s_1 s_2 \in S

构造 R×SR \times S 上的等价关系

(a,s)∼(b,t)⟺at=bs(a,s) \sim (b,t) \iff at = bs

称商集 S−1R=(R×R×)/∼S^{-1}R = (R \times R^\times)/\sim 为环 RR 关于 R×R^\times 的 局部化 (Localization)「局所化」

通过与分式域类似的方式定义加法与乘法，使得 S−1RS^{-1}R 成为环，并且包含与 RR 同构的子整环

示例

  • 取 S=R∖{0}S = R \setminus \{0\}，则 S−1R=Frac(R)S^{-1}R = \mathrm{Frac}(R)
  • 取 f∈Rf \in R，S={fn∣n≥0}S = \{f^n \mid n \geq 0\}，则 S−1RS^{-1}R 记作 RfR_f 或 R[f−1]R[f^{-1}]
  • 取 R=ZR = \mathbb Z，S={pn∣n≥0}S = \{p^n \mid n \geq 0\}，则 Z[1p]={npn∣n∈Z,n≥0,pn∈S}\mathbb Z[\frac{1}{p}] = \left\{\dfrac{n}{p^n} \mid n \in \mathbb Z,\ n \geq 0, p^n \in S \right\}
  • 取 R=K[x]R = K[x]，S={xn∣n≥0}S = \{x^n \mid n \geq 0\}，则 S−1R=K[x][1x]={a−kxk+…+a01+a1x+…+anxn}S^{-1}R = K[x][\frac{1}{x}] = \{\frac{a_{-k}}{x^k} + \ldots + \dfrac{a_0}{1} + a_1 x + \ldots + a_n x^n\} 称为 KK 上的 Laurent 多项式环
  • 取素理想 P⊂RP \subset R，S=R∖PS = R \setminus P，则 S−1RS^{-1}R 记作 RPR_P，称为环 RR 在素理想 PP 处的局部化
  • 取 R=ZR = \mathbb Z，P=(p)P = (p)，则 Z(p)={ab∣a,b∈Z,p∤b}\mathbb Z_{(p)} = \left\{\dfrac{a}{b} \mid a,b \in \mathbb Z,\ p \nmid b\right\}
  • 取 R=K[x]R = K[x]，P=(x)P = (x)，则 K[x](x)={f(x)g(x)∣f(x),g(x)∈K[x],x∤g(x)}K[x]_{(x)} = \left\{\dfrac{f(x)}{g(x)} \mid f(x),g(x) \in K[x],\ x \nmid g(x)\right\} 为在 00 处有定义的有理函数环