($\Rightarrow$)
显然 $\frac{d}{p} \lt d$，所以 $a^\frac{d}{p} \neq e$

($\Leftarrow$)
假设 $\mathrm{ord}(a) = d' \mid d$，如果 $\frac{d}{d'} \neq 1$，则 $${}^\exists p:\text {prime}, p \mid \frac {d}{d'}$$
那么可以将 $d$ 写成

$$d = p^k d', \quad k \in \mathbb Z$$

的形式。那么

$$a^\frac{d}{p} = a^{p^{k-1} d'} = (a^{d'})^{p^{k-1}} = e$$

矛盾
$\square$

取 $G$ 为 $K^\times$ 的有限子群，设 $|G| = n$，令 $1$ 为 $G$ 的单位元。
对 $n$ 进行素因数分解

$$n = \prod_{i=1}^r p_i^{e_i}$$

考虑在多项式环 $K[x]$ 中的多项式

$$f(x) = x^\frac{n}{p_1i} - 1 \in K[x]$$

显然 $f$ 在 $K$ 中最多有 $\frac{n}{p_1^i}$ 个根，那么最多能被 $G$ 所包含的元素也为 $\frac{n}{p_1^i}$ 个
现在，假设

$${}^\exists x_i \in G: f(x_i) = 0$$

令 $y_i := x_i^\frac{n}{p_i^{e_i}}$，则

$$y_i^{p_i^{e_i}} = (x_i^\frac{n}{p_i^{e_i}})^{p_i^{e_i}} = x_i^n = 1$$

进一步得到

$$y_i^{p_i^{e_i-1}} \neq 1$$

否则将导致 $x_i^\frac{n}{p_i^{e_i-1}} = 1$，矛盾
所以由前命题得到 $\mathrm{ord}(y_i) = p_i^{e_i}$
因此，取 $a_i = y_i$，则 $\mathrm{ord}(a_i) = p_i^{e_i}$
令

$$a = \prod_{i=1}^r a_i$$

则 $\mathrm{ord}(a) = n$，所以 $G = \langle a \rangle$，从而 $G$ 为循环群
$\square$

$(\mathbb Z/p\mathbb Z)^\times$ 是有限域 $\mathbb F_p = \mathbb Z/p\mathbb Z$ 的乘法群
$\square$