Home 数学 抽象代数

以下默认令 RR 为交换环

# 形式幂级数环

多项式的概念在环上可以得到重要的推广
令 P:={f:N∪{0}→R}P := \{ f:\mathbb N \cup \{0\} \to R \}，此时 PP 构成交换环

PP 中的元实为非负整数系数到环 RR 中元的映射，所以其可以被当作数列处理
对于 f∈P,n∈N∪{0}f \in P,\ n \in \mathbb N \cup \{0\} 令 f(n)=an∈Rf(n) = a_n \in R，则

f=(a0,a1,a2,…)f = (a_0, a_1, a_2, \ldots)

以下验证 PP 的交换环性质。对于 f,g∈Pf,g \in P 的数列表示
由 RR 的封闭性可得

  • 加法 f+g=(a0+b0,a1+b1,a2+b2,…)∈Pf + g = (a_0 + b_0, a_1 + b_1, a_2 + b_2, \ldots) \in P
  • 乘法 fg=(c0,c1,c2,…)∈Pfg = (c_0, c_1, c_2, \ldots) \in P，其中 卷积 cn=∑i=0naibn−ic_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i} \quad
  • 加法零元 0=(0,0,0,…)∈P0 = (0,0,0,\ldots) \in P
  • 乘法单位元 1=(1R,0,0,…)∈P1 = (1_R,0,0,\ldots) \in P
  • 标量乘法 α∈R:αf=(αa0,αa1,αa2,…)∈P\alpha \in R: \alpha f = (\alpha a_0, \alpha a_1, \alpha a_2, \ldots) \in P

所以 PP 成为交换环

通过定义一系列特殊的元

  • x=(0,1R,0,0,…)∈Px = (0,1_R,0,0,\ldots) \in P
  • x2=(0,0,1R,0,0,…)∈Px^2 = (0,0,1_R,0,0,\ldots) \in P
  • xn=(0,0,…,0,1R,0,…)∈Px^n = (0,0,\ldots,0,1_R,0,\ldots) \in P，其中 1R1_R 在第 nn+1 位

所以可以将 ff 写成多项式形式

f=a0+a1x+a2x2+⋯f = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots

此时称 PP 为
此时记作 P=R[[x]]P = R[[x]] RR 上的 形式幂级数环 (Formal Power Series Ring)「形式的べき級数環」

# 多项式环

特别地，对于形式幂级数环 P=R[[x]]P = R[[x]]，限制其有限项数后

定义
称 PP 上的子环

R[x]:={f∈P∣∃n∈Z≥0,∀N>n:aN=0}R[x] := \{ f \in P \mid \exists n \in \mathbb Z_{\geq 0},\ \forall N > n : a_N = 0 \}

为 RR 上的 多项式环 (Polynomial Ring)「多項式環」

多项式环中的多项式在高次项上系数均为零，即项数有限

其零元为 f=0f = 0
单位元为 f=1f = 1

称满足 an≠0a_n \neq 0 的最小的 nn 为多项式的 次数 (Degree)「次数」，记作 deg⁡(f)=n\deg(f) = n

对于这个 nn，将 lc(f):=anl_c(f) := a_n 称为多项式的 最高次系数 (Leading Coefficient)「最高次係数」
lc=0l_c = 0 时，称 ff 为 monic (首一多项式)「首一」

此处针对符号记法和概念 P,R[[x]],R[x]P,\ R[[x]], R[x] 作补充说明

这一章节对多项式的处理，实际上是将多项式看作一个映射，由变量 xx 映射到多项式
“变量” 这一说法实际上并不准确，但是便于理解

接着通过锁定自然数到环的映射 f:N→Rf:\mathbb N \to R，确定系数：

f(n)=an∈Rf(n) = a_n \in R

此时多项式得以转为映射，所有可能的映射构成的集合即为 PP

反过来，如果直接将 PP 中的映射作为多项式处理，那么其成为形式幂级数环 R[[x]]R[[x]]
特别地，在有限项数下成为多项式环 R[x]R[x]

PP 本身在数学中还有其他重要应用，不只是在此处为了导出多项式环
但是在本课程（抽象代数中），大概是没有机会真正意义上使用这个记号了

多项式环上的元具有以下性质

命题
令 RR 为整环，非零元 f,g∈R[x]f,g \in R[x]

  • deg⁡(fg)=deg⁡(f)+deg⁡(g)\deg(fg) = \deg(f) + \deg(g)
  • deg⁡(f+g)≤max⁡(deg⁡(f),deg⁡(g))\deg(f+g) \leq \max(\deg(f),\deg(g))
证明

令 an=lc(f),bm=lc(g)a_n = l_c(f), b_m = l_c(g)
(1) 在 fgfg 中比 m+nm+n 次数还要大的所有项的系数均为零，且 m+nm+n 次数的系数为 anbma_n b_m
假设 anbm=0a_n b_m = 0，整环性质给出 an=0a_n = 0 或 bm=0b_m = 0，与定义矛盾
所以 lc(fg)=anbm,deg⁡(fg)=m+nl_c(fg) = a_n b_m,\ \deg(fg) = m+n

(2)

lc(f+g)={an(n>m)bm(n<m)an+bm(n=m,an+bm≠0)0(n=m,an+bm=0)l_c(f+g) = \begin{cases} a_n & (n > m) \\ b_m & (n < m) \\ a_n + b_m & (n = m, a_n + b_m \neq 0) \\ 0 & (n = m, a_n + b_m = 0) \end{cases}

所以 deg⁡(f+g)≤max⁡(deg⁡(f),deg⁡(g))\deg(f+g) \leq \max(\deg(f),\deg(g))
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多项式环可以继承整环性质

命题

R为整环⟹R[x]为整环R \text{ 为整环} \implies R[x] \text{ 为整环}

证明

令 f,g∈R[x]f,g \in R[x]，fg=0fg = 0
由上一个命题可得 deg⁡(fg)=deg⁡(f)+deg⁡(g)=−∞\deg(fg) = \deg(f) + \deg(g) = -\infty
所以 deg⁡(f)=−∞\deg(f) = -\infty 或 deg⁡(g)=−∞\deg(g) = -\infty，即 f=0f = 0 或 g=0g = 0
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# 多项式环中的代入

令 RR 为交换环，R′R' 为其扩大交换环，即为含有 RR 作为子环的交换环
取一元 c∈R′c \in R'，则对于 R[x]R[x] 中的任意多项式 f=∑i=0nrixif = \sum_{i=0}^n r_i x^i，可以定义映射

φc:R[x]→R′,f↦∑i=0nrici\varphi_c : R[x] \to R',\quad f \mapsto \sum_{i=0}^n r_i c^i

称 φc(f)\varphi_c(f) 为 将 cc 代入多项式 ff 中，记作 f(c)f(c)

实际上 φc\varphi_c 成为环同态，非常容易验证，此处省略
那么根据同态定理，如果记 Imφc=R[c]\mathrm{Im} \varphi_c = R[c]，则有同构

R[x]/Kerφc≅R[c]R[x]/\mathrm{Ker} \varphi_c \cong R[c]

特别地，当 Kerφc=(0)\mathrm{Ker} \varphi_c = (0)，也就是说 f(c)=0⟺f=0f(c) = 0 \iff f = 0 时，称 cc 为 RR 上的代数独立元，此时有同构

R[x]≅R[c]R[x] \cong R[c]

命题
R[c]R[c] 为包含 RR 且含有 cc 的最小子环

证明

令 S⊂R′S \subset R' 为包含 RR 且含有 cc 的子环
则对于任意 f∈R[x]f \in R[x]，f(c)∈Sf(c) \in S 成立
所以 Imφc=R[c]⊂S\mathrm{Im} \varphi_c = R[c] \subset S 成立

示例
考虑 R→C\mathbb R \to \mathbb C，对于 α=−1∈C\alpha = \sqrt{-1} \in \mathbb C，定义映射

φ‾:R[x]→C,f(x)↦f(−1)\overline \varphi : \mathbb R[x] \to \mathbb C,\ f(x) \mapsto f(\sqrt{-1})

那么此时 Imφ‾={a+b−1∣a,b∈R},Kerφ‾=(x2+1)\mathrm{Im} \overline \varphi = \{a + b\sqrt{-1} \mid a,b \in \mathbb R\},\quad \mathrm{Ker} \overline \varphi = (x^2 + 1)，且

R[x]/(x2+1)≅R[−1]=C\mathbb R[x]/(x^2 + 1) \cong \mathbb R[\sqrt{-1}] = \mathbb C

# 多项式除法

将多项式定义在系数环上后，可以开始考虑和分析多项式的除法性质

以下为针对多项式环的除法定理

命题
令 RR 为域，f,g∈R[x]f,g \in R[x], g≠0g \neq 0
则存在唯一的 q,r∈R[x]q,r \in R[x] 使得

f=qg+r,deg⁡(r)<deg⁡(g)f = qg + r,\quad \deg(r) < \deg(g)

实际上不严格要求 RR 为域，只要 lc(g)∈R×l_c(g) \in R^\times 也成立

证明

f=0⇒q=r=0f = 0 \Rightarrow q = r = 0，唯一性显然
deg⁡(f)<deg⁡(g)⇒q=0,r=f\deg(f) < \deg(g) \Rightarrow q = 0, r = f，唯一性显然
以下仅考虑 deg⁡(f)≥deg⁡(g)\deg(f) \geq \deg(g) 即可

对 n:=deg⁡(f)n := \deg(f) 用强归纳法证明
n=0n=0 时，f,gf,g 为常数多项式，令 q=fg−1,r=0q = f g^{-1}, r = 0，在 lc(g)∈R×l_c(g) \in R^\times 下逆元存在所以 q∈R[x]q \in R[x] 成立

n>0n>0 时，设 m:=deg⁡(g)m := \deg(g)，有 n≥mn \geq m，强归纳法假设结论对所有比 nn 小的次数成立
令 (anbm≠0a_n b_m \neq 0)

f=a0+a1x+⋯+anxnf = a_0 + a_1 x + \cdots + a_n x^n

g=b0+b1x+⋯+bmxmg = b_0 + b_1 x + \cdots + b_m x^m

取（我们相当于将 gg 的次数补到和 ff 次数一致，然后让 ff 作差，从而会只剩下余数）

f1=f−anbmxn−mgf_1 = f - \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} g

那么 deg⁡(f1)<n\deg(f_1) < n
由强归纳假设，存在 q1,r1∈R[x]q_1, r_1 \in R[x] 使得

f1=q1g+r1,deg⁡(r1)<deg⁡(g)f_1 = q_1 g + r_1,\quad \deg(r_1) < \deg(g)

所以

f=anbmxn−mg+f1=anbmxn−mg+q1g+r1=(anbmxn−m+q1)g+r1f = \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} g + f_1 = \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} g + q_1 g + r_1 = (\frac{a_n}{b_m} x^{n-m} + q_1) g + r_1

令 q=anbmxn−m+q1,r=r1q = \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} + q_1, r = r_1，唯一性由 f,gf,g 唯一性可得

对于 c∈Rc \in R，如果 f(c)=0f(c) = 0，则称 cc 为多项式 ff 的 根 (Root「根」)
利用根，可以得到多项式的因式分解

命题
令 RR 为域，f∈R[x]f \in R[x]，f≠0f \neq 0
对于 c∈Rc \in R，如果 f(c)=0f(c) = 0，则

∃g∈R[x]:f=(x−c)g\exist g \in R[x]:f = (x-c)g

证明

利用多项式除法对 ff 除以 x−cx-c，则存在 q,r∈R[x]q,r \in R[x] 使得

f=(x−c)q+r,deg⁡(r)<deg⁡(x−c)=1f = (x-c)q + r,\quad \deg(r) < \deg(x-c) = 1

所以 rr 为常数多项式，记作 r=r0∈Rr = r_0 \in R
代入 cc 得

f(c)=(c−c)q(c)+r0=r0f(c) = (c-c)q(c) + r_0 = r_0

由 f(c)=0f(c) = 0 可得 r0=0r_0 = 0，所以 f=(x−c)qf = (x-c)q
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命题
令 RR 为域，f∈R[x]f \in R[x]，f≠0f \neq 0
ff 在 RR 中的根的个数不超过 deg⁡(f)\deg(f)

证明

对 n:=deg⁡(f)n := \deg(f) 用数学归纳法证明
n=0n=0 时，ff 为常数多项式，显然无根
n>0n>0 时，假设结论对所有次数小于 nn 的多项式成立
如果 ff 无根，结论显然成立
否则，取 c∈Rc \in R 使得 f(c)=0f(c) = 0
由上一个命题，存在 g∈R[x]g \in R[x] 使得 f=(x−c)gf = (x-c)g，且 deg⁡(g)=n−1\deg(g) = n-1
由归纳假设，gg 在 RR 中的根的个数不超过 n−1n-1
所以 ff 在 RR 中的根的个数不超过 nn
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