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# 环同态与同构

环同态，环同构的部分与群论中的同态，同构高度相似，很多定义和证明基本上形式都一致

定义
令 R,R′R, R' 为环
若映射 φ:R→R′\varphi : R \to R' 满足

  • ∀a,b∈R,φ(a+b)=φ(a)+φ(b){}^\forall a,b \in R,\ \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  • ∀a,b∈R,φ(ab)=φ(a)φ(b){}^\forall a,b \in R,\ \varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b)
  • φ(1R)=1R′\varphi(1_R) = 1_{R'} \quad

则称 φ\varphi 为环 RR 到环 R′R' 的 同态 (Homomorphism)「準同型」
特别地，若 φ\varphi 为双射，则称 φ\varphi 为环 RR 到环 R′R' 的 同构 (Isomorphism)「同型」，记作 R≅R′R \cong R'

单独地，也称

  • 满射的同态为 满同态
  • 单射的同态为 单同态

示例

  • 若 R′R' 为 RR 的子环，则包含映射 τ:R′→R,a↦a\tau :R' \to R,\ a \mapsto a 为环同态
  • 若 II 为 RR 的理想，则商映射 π:R→R/I,r↦r+I\pi : R \to R/I,\ r \mapsto r + I 为环同态

示例中 τ,π\tau, \pi 仅依靠 R,R′R,R' 的关系就可以定义出，不依环的性质。
这样的映射称为 自然的同态映射

同样，环同态中具有核与像的定义

定义
令 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为环同态，称

  • Kerφ:={a∈R∣φ(a)=0R′}\mathrm{Ker} \varphi := \{a \in R \mid \varphi(a) = 0_{R'}\} 为 φ\varphi 的 核 (Kernel)「核」
  • Imφ:={b∈R′∣∃a∈R,b=φ(a)}\mathrm{Im} \varphi := \{b \in R' \mid {}^\exists a \in R,\ b = \varphi(a)\} 为 φ\varphi 的 像 (Image)「像」

命题

  1. Imφ\mathrm{Im} \varphi 为 R′R' 的子环
  2. Kerφ\mathrm{Ker} \varphi 为 RR 的理想
证明

(1)
对于任意 a′,b′∈Imφa', b' \in \mathrm{Im} \varphi，存在 a,b∈Ra,b \in R，使得 φ(a)=a′,φ(b)=b′\varphi(a) = a',\ \varphi(b) = b'，则

a′−b′=φ(a)−φ(b)=φ(a−b)∈Imφ,a′b′=φ(a)φ(b)=φ(ab)∈Imφa' - b' = \varphi(a) - \varphi(b) = \varphi(a - b) \in \mathrm{Im} \varphi ,\quad a' b' = \varphi(a) \varphi(b) = \varphi(ab) \in \mathrm{Im} \varphi

显然，0R′=φ(0R)∈Imφ,1R′=φ(1R)∈Imφ0_{R'} = \varphi(0_R) \in \mathrm{Im} \varphi ,\quad 1_{R'} = \varphi(1_R) \in \mathrm{Im} \varphi
所以 Imφ\mathrm{Im} \varphi 为 R′R' 的子环

(2)
对于任意 a,b∈Kerφa,b \in \mathrm{Ker} \varphi，

φ(a−b)=φ(a)−φ(b)=0R′−0R′=0R′⟹a−b∈Kerφ\varphi(a - b) = \varphi(a) - \varphi(b) = 0_{R'} - 0_{R'} = 0_{R'} \implies a - b \in \mathrm{Ker} \varphi

即 Kerφ\mathrm{Ker} \varphi 为 RR 的加法子群

对于任意 r∈R,a∈Kerφr \in R, a \in \mathrm{Ker} \varphi，

φ(ra)=φ(r)φ(a)=φ(r)⋅0R′=0R′⟹ra∈Kerφ\varphi(ra) = \varphi(r) \varphi(a) = \varphi(r) \cdot 0_{R'} = 0_{R'} \implies ra \in \mathrm{Ker} \varphi

φ(ar)=φ(a)φ(r)=0R′⋅φ(r)=0R′⟹ar∈Kerφ\varphi(ar) = \varphi(a) \varphi(r) = 0_{R'} \cdot \varphi(r) = 0_{R'} \implies ar \in \mathrm{Ker} \varphi

即对乘法封闭，所以 Kerφ\mathrm{Ker} \varphi 为 RR 的理想
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命题
$\varphi $ 单射，当且仅当 Kerφ={0R}\mathrm{Ker} \varphi = \{0_R\} \quad

证明

(⇒\Rightarrow)
φ(a−a)=φ(a)−φ(a)=0R′\varphi(a-a) = \varphi(a) - \varphi(a) = 0_{R'} 给出 a−a=0R∈Kerφa - a = 0_R \in \mathrm{Ker} \varphi
单射保证映射为 0R′0_{R'} 的元唯一，所以 Kerφ={0R}\mathrm{Ker} \varphi = \{0_R\}
(⇐\Leftarrow)
若 φ(a1)=φ(a2)\varphi(a_1) = \varphi(a_2)，则

φ(a1−a2)=φ(a1)−φ(a2)=0R′⟹a1−a2∈Kerφ⟹a1−a2=0R⟹a1=a2\varphi(a_1 - a_2) = \varphi(a_1) - \varphi(a_2) = 0_{R'} \implies a_1 - a_2 \in \mathrm{Ker} \varphi \implies a_1 - a_2 = 0_R \implies a_1 = a_2

所以 φ\varphi 单射
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回顾线性映射与群同态，有

结构映射单射条件核本质
线性映射线性映射\mathrm{Ker} T = \零空间
群同态群同态\mathrm{Ker} \varphi = \正规子群
环同态环同态\mathrm{Ker} \varphi = \理想

一类特殊的环同态：由除环出发的同态，会时刻保持单射性

命题
令 R,R′R, R' 为环，且 RR 为非零除环
则任意环同态 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为 单射

证明

取 J=KerφJ = \mathrm{Ker} \varphi，则 J⊂RJ \subset R 为理想
因为 RR 为除环，所以 J={0R}J = \{0_R\} 或 J=RJ = R，显然不可能有 J=RJ = R，否则 φ\varphi 为零映射，与 R′≠{0R′}R' \neq \{0_{R'}\} 矛盾
所以 J={0R}J = \{0_R\}，根据前述命题，φ\varphi 单射
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# 特征

一类比较特殊的同态是构建在有理整数环上的
这非常有趣：在 Z\mathbb Z 上有且仅有一种方法定义出到任意环 RR 的同态

φ:Z→R,φ(n)={1R+1R+⋯+1R⏟n个n>00Rn=0−(1R+1R+⋯+1R)⏟n个n<0\varphi: \mathbb Z \to R,\qquad \varphi(n) = \begin{cases} \underbrace{1_R + 1_R + \cdots + 1_R}_{n\text{ 个}} & n > 0 \\ 0_R & n = 0 \\ -\underbrace{(1_R + 1_R + \cdots + 1_R)}_{n\text{ 个}} & n < 0 \end{cases}

验证此为同态非常简单，但是重点是为什么只有这一个
由于 φ(1)=1R=e\varphi(1) = 1_R = e，所以必须要满足

φ(n)=φ(1+1+⋯+1⏟n个)=φ(1)+φ(1)+⋯+φ(1)⏟n个=1R+1R+⋯+1R⏟n个\varphi(n) = \varphi(\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n\text{ 个}}) = \underbrace{\varphi(1) + \varphi(1) + \cdots + \varphi(1)}_{n\text{ 个}} = \underbrace{1_R + 1_R + \cdots + 1_R}_{n\text{ 个}}

对于负数和零的情况同理，并且因为 φ(m+n)=φ(m)+φ(n)\varphi(m+n) = \varphi(m) + \varphi(n)，所以 φ(n)=ne\varphi(n) = ne
进一步因为乘法 φ(mn)=φ(m)φ(n)⟹(me)(ne)=(mn)e\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n) \implies (me)(ne) = (mn)e
所以只要给定 φ(1)=e\varphi(1) = e，就唯一地确定了 φ\varphi 的形式

所以这意味着：对于任意的环 RR，我们都可以建立一个唯一的，从 Z\mathbb Z 到 RR 的联系（同态）

考虑 φ\varphi 的像

U:=Imφ={ne∣n∈Z}U := \mathrm{Im} \varphi = \{ne \mid n \in \mathbb Z\}

这是 RR 中最小的包含 1R1_R 的子环

它的核也具有充足的价值。由于 Kerφ\mathrm{Ker} \varphi 为 Z\mathbb Z 的理想，所以存在唯一的 k≥0k \geq 0，使得

Kerφ=kZ\mathrm{Ker} \varphi = k\mathbb Z

称 kk 为环 RR 的 特征 (Characteristic)「標数」，记作 char(R)=k\mathrm{char}(R) = k

环的特征，有时也被称为标数，是环论中刻画环的加法群结构与乘法单位元之间关系的最基本不变量

若特征

  • k=0k = 0，则 U≅ZU \cong \mathbb Z
  • k>0k \gt 0，则 U≅Z/kZ=ZkU \cong \mathbb Z/k\mathbb Z = \mathbb Z_k
  • k=1k = 1，当且仅当 RR 为零环

非零环的特征只能是 00 或大于等于 22 的整数
等于 00 时，单位元 ee 在加法下具有无限阶，所以也有的地方称其为无限特征
大于等于 22 时，单位元 ee 在加法下的阶为特征值 kk

对于 Z/nZ→R\mathbb Z/n\mathbb Z \to R

  • charR=0⟺Z⊂R\mathrm{char} R = 0 \iff \mathbb Z \subset R
  • charR=n>0⟺Z/nZ⊂R\mathrm{char} R = n > 0 \iff \mathbb Z/n\mathbb Z \subset R

示例

  • char(R)=char(C)=char(Q)=char(Z)=0\mathrm{char}(\mathbb R) = \mathrm{char}(\mathbb C) = \mathrm{char}(\mathbb Q) = \mathrm{char}(\mathbb Z) = 0
  • char(Z/nZ)=char(Z/nZ[X])=n\mathrm{char}(\mathbb Z/n\mathbb Z) = \mathrm{char}(\mathbb Z/n\mathbb Z[X]) = n

命题
整环的特征要么为 00，要么为素数

证明

令 RR 为整环，那么其子环 U={ne∣n∈Z}U = \{ne \mid n \in \mathbb Z\} 也为整环
假设 RR 的特征不为 00，则由于 U≅Z/kZU \cong \mathbb Z/k\mathbb Z，所以 kk 一定是素数
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# 环同态定理

代数学环同构定理一般包含

  • 第一环同构定理
  • 第二环同构定理
  • 第三环同构定理

这些都属于同态定理的体系

定理 第一环同构定理
令 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为环同态，J=KerφJ = \mathrm{Ker} \varphi，则由 φ\varphi 可以诱导出同构

φ~:R/J→Imφ,r+J↦φ(r)\widetilde \varphi : R/J \to \mathrm{Im} \varphi,\ r + J \mapsto \varphi(r)

证明

（良定义性）
取 r1+J=r2+Jr_1 + J = r_2 + J，则 r1−r2∈J=Kerφr_1 - r_2 \in J = \mathrm{Ker} \varphi，所以

φ(r1−r2)=0R′⟹φ(r1)=φ(r2)\varphi(r_1 - r_2) = 0_{R'} \implies \varphi(r_1) = \varphi(r_2)

所以 φ~(r1+J)=φ~(r2+J)\widetilde \varphi(r_1 + J) = \widetilde \varphi(r_2 + J)，所以 φ~\widetilde \varphi 为良定义的映射
（同态）
对于任意 r1+J,r2+J∈R/Jr_1 + J, r_2 + J \in R/J，

φ~((r1+J)+(r2+J))=φ~((r1+r2)+J)=φ(r1+r2)=φ(r1)+φ(r2)=φ~(r1+J)+φ~(r2+J)\begin{aligned} \widetilde \varphi((r_1 + J) + (r_2 + J)) & = \widetilde \varphi((r_1 + r_2) + J) = \varphi(r_1 + r_2) = \varphi(r_1) + \varphi(r_2) \\ & = \widetilde \varphi(r_1 + J) + \widetilde \varphi(r_2 + J) \end{aligned}

φ~((r1+J)(r2+J))=φ~((r1r2)+J)=φ(r1r2)=φ(r1)φ(r2)=φ~(r1+J)φ~(r2+J)\begin{aligned} \widetilde \varphi((r_1 + J)(r_2 + J)) & = \widetilde \varphi((r_1 r_2) + J) = \varphi(r_1 r_2) = \varphi(r_1) \varphi(r_2) \\ & = \widetilde \varphi(r_1 + J) \widetilde \varphi(r_2 + J) \end{aligned}

显然 φ~(1R/J)=φ(1R)=1R′\widetilde \varphi(1_{R/J}) = \varphi(1_R) = 1_{R'}
所以 φ~\widetilde \varphi 为环同态
（双射）
对于任意 b∈Imφb \in \mathrm{Im} \varphi，存在 a∈Ra \in R，使得 φ(a)=b\varphi(a) = b，所以 φ~(a+J)=b\widetilde \varphi(a + J) = b，所以 φ~\widetilde \varphi 满射
同时，若 φ~(r1+J)=φ~(r2+J)\widetilde \varphi(r_1 + J) = \widetilde \varphi(r_2 + J)，则

φ(r1)=φ(r2)⟹φ(r1−r2)=0R′⟹r1−r2∈J⟹r1+J=r2+J\varphi(r_1) = \varphi(r_2) \implies \varphi(r_1 - r_2) = 0_{R'} \implies r_1 - r_2 \in J \implies r_1 + J = r_2 + J

所以 φ~\widetilde \varphi 单射，综上 φ~\widetilde \varphi 同构，即

R/J≅ImφR/J \cong \mathrm{Im} \varphi

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定理 第二环同构定理
令 RR 为环，I⊂RI \subset R 为理想，A⊂RA \subset R 为子环，则

(A+I)/I≅A/(A∩I)(A + I)/I \cong A/(A \cap I)

证明

定义映射

φ:A→(A+I)/I,a↦a+I\varphi : A \to (A + I)/I,\quad a \mapsto a + I

(φ\varphi 为环同态)
对于任意 a1,a2∈Aa_1, a_2 \in A，

φ(a1+a2)=(a1+a2)+I=(a1+I)+(a2+I)=φ(a1)+φ(a2)\varphi(a_1 + a_2) = (a_1 + a_2) + I = (a_1 + I) + (a_2 + I) = \varphi(a_1) + \varphi(a_2)

φ(a1a2)=(a1a2)+I=(a1+I)(a2+I)=φ(a1)φ(a2)\varphi(a_1 a_2) = (a_1 a_2) + I = (a_1 + I)(a_2 + I) = \varphi(a_1) \varphi(a_2)

显然 φ(1A)=1(A+I)/I\varphi(1_A) = 1_{(A + I)/I}
(Kerφ=A∩I\mathrm{Ker} \varphi = A \cap I)
对于任意 a∈Aa \in A，

φ(a)=0+I⟺a+I=I⟺a∈I⟺a∈A∩I\varphi(a) = 0 + I \iff a + I = I \iff a \in I \iff a \in A \cap I

所以 Kerφ=A∩I\mathrm{Ker} \varphi = A \cap I
(Imφ=(A+I)/I\mathrm{Im} \varphi = (A + I)/I)
对于任意 b+I∈(A+I)/Ib + I \in (A + I)/I，存在 a∈A,i∈Ia \in A, i \in I，使得 b=a+ib = a + i，所以

φ(a)=a+I=(a+i)+I=b+I\varphi(a) = a + I = (a + i) + I = b + I

所以 φ\varphi 满射
根据第一环同构定理，得到同构

(A+I)/I≅A/(A∩I)(A + I)/I \cong A/(A \cap I)

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在进入第三环同构定理前，需要给出如下结论

定理 环对应定理
令 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为 满射 环同态，J=KerφJ = \mathrm{Ker} \varphi
此时 含有 JJ 的理想 M⊂RM \subset R 与 M‘⊂R′M‘ \subset R' 存在一一对应关系 M↔M′M \leftrightarrow M' 如下

φ(M)=M′,φ−1(M′)=M\varphi(M) = M',\quad \varphi^{-1}(M') = M

进一步，这些理想对应的商环为同构

R/M≅R′/M′R/M \cong R'/M'

证明

(φ(M)=M′,φ−1(M′)=M\varphi(M) = M',\quad \varphi^{-1}(M') = M)
等价于证明 (φ−1∘φ)(M)=M(\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) = M 及 (φ∘φ−1)(M′)=M′(\varphi \circ \varphi^{-1})(M') = M'
在集合论的角度上，M⊂(φ−1∘φ)(M)M \subset (\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) 且 (φ∘φ−1)(M′)⊂M′(\varphi \circ \varphi^{-1})(M') \subset M' 成立

先证明 (φ−1∘φ)(M)⊂M(\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) \subset M，取 a∈(φ−1∘φ)a \in (\varphi^{-1} \circ \varphi)，则 φ(a)∈φ(M)\varphi(a) \in \varphi(M)，所以存在 b∈Mb \in M，使得 φ(a)=φ(b)\varphi(a) = \varphi(b)，所以

φ(a−b)=φ(a)−φ(b)=0R′⟹a−b∈J⊂M⟹a∈M\varphi(a - b) = \varphi(a) - \varphi(b) = 0_{R'} \implies a - b \in J \subset M \implies a \in M

接下来证明 M′⊂(φ∘φ−1)(M′)M' \subset (\varphi \circ \varphi^{-1})(M')，取 a′∈M′a' \in M'，由满射得

∃a∈R,φ(a)=a′\exists a \in R,\ \varphi(a) = a'

于是 a∈φ−1(M′)a \in \varphi^{-1}(M')，所以 a′=φ(a)∈(φ∘φ−1)(M′)a' = \varphi(a) \in (\varphi \circ \varphi^{-1})(M')

综上，(φ−1∘φ)(M)=M(\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) = M 及 (φ∘φ−1)(M′)=M′(\varphi \circ \varphi^{-1})(M') = M'

（商环同构）
定义映射

f:R/M→R′/M′,r+M↦φ(r)+M′f : R/M \to R'/M',\quad r + M \mapsto \varphi(r) + M'

对于任意 r1+M,r2+M∈R/Mr_1 + M, r_2 + M \in R/M，

f((r1+M)+(r2+M))=f((r1+r2)+M)=φ(r1+r2)+M′=φ(r1)+φ(r2)+M′=(φ(r1)+M′)+(φ(r2)+M′)=f(r1+M)+f(r2+M)\begin{aligned} f((r_1 + M) + (r_2 + M)) & = f((r_1 + r_2) + M) = \varphi(r_1 + r_2) + M' = \varphi(r_1) + \varphi(r_2) + M' \\ & = (\varphi(r_1) + M') + (\varphi(r_2) + M') = f(r_1 + M) + f(r_2 + M) \end{aligned}

f((r1+M)(r2+M))=f((r1r2)+M)=φ(r1r2)+M′=φ(r1)φ(r2)+M′=(φ(r1)+M′)(φ(r2)+M′)=f(r1+M)f(r2+M)\begin{aligned} f((r_1 + M)(r_2 + M)) & = f((r_1 r_2) + M) = \varphi(r_1 r_2) + M' = \varphi(r_1) \varphi(r_2) + M' \\ & = (\varphi(r_1) + M')(\varphi(r_2) + M') = f(r_1 + M) f(r_2 + M) \end{aligned}

f(1R/M)=φ(1R)+M′=1R′+M′f(1_{R/M}) = \varphi(1_R) + M' = 1_{R'} + M'

所以 ff 为环同态

同时，对于任意 b′+M′∈R′/M′b' + M' \in R'/M'，满射给出存在 b∈Rb \in R，使得 φ(b)=b′\varphi(b) = b'，所以

f(b+M)=φ(b)+M′=b′+M′f(b + M) = \varphi(b) + M' = b' + M'

得到 ff 满射，再取 f(r1+M)=f(r2+M)f(r_1 + M) = f(r_2 + M)，则

φ(r1)+M′=φ(r2)+M′⟹φ(r1−r2)∈M′⟹r1−r2∈φ−1(M′)=M⟹r1+M=r2+M\varphi(r_1) + M' = \varphi(r_2) + M' \implies \varphi(r_1 - r_2) \in M' \implies r_1 - r_2 \in \varphi^{-1}(M') = M \implies r_1 + M = r_2 + M

所以 ff 单射，综上 ff 同构，即

R/M≅R′/M′R/M \cong R'/M'

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进一步得出

定理 第三环同构定理
令 I,J⊂RI, J \subset R 为理想，且 I⊂JI \subset J，则

R/J≅(R/I)/(J/I)R/J \cong (R/I)/(J/I)

证明

定义映射

π:R/I→R/J,r+I↦r+J\pi: R/I \to R/J,\quad r + I \mapsto r + J

由于对任意 r1+I,r2+I∈R/Ir_1 + I, r_2 + I \in R/I，

π((r1+I)+(r2+I))=π((r1+r2)+I)=(r1+r2)+J=(r1+J)+(r2+J)=π(r1+I)+π(r2+I)\pi((r_1 + I) + (r_2 + I)) = \pi((r_1 + r_2) + I) = (r_1 + r_2) + J = (r_1 + J) + (r_2 + J) = \pi(r_1 + I) + \pi(r_2 + I)

π((r1+I)(r2+I))=π((r1r2)+I)=(r1r2)+J=(r1+J)(r2+J)=π(r1+I)π(r2+I)\pi((r_1 + I)(r_2 + I)) = \pi((r_1 r_2) + I) = (r_1 r_2) + J = (r_1 + J)(r_2 + J) = \pi(r_1 + I) \pi(r_2 + I)

π(1R/I)=1R+J\pi(1_{R/I}) = 1_R + J

所以 π\pi 为环同态
取任意 r+J∈R/Jr + J \in R/J，存在 r+I∈R/Ir + I \in R/I，使得 π(r+I)=r+J\pi(r + I) = r + J，所以 π\pi 满射
即 π\pi 为满射同态，并且

Kerπ={r+I∈R/I∣π(r+I)=0+J}={r+I∈R/I∣r∈J}=J/I\mathrm{Ker} \pi = \{r + I \in R/I \mid \pi(r + I) = 0 + J\} = \{r + I \in R/I \mid r \in J\} = J/I

由于 RR 中包含理想 JJ 的理想与 R/JR/J 中的理想存在一一对应关系，根据环对应定理，得到同构

(R/I)/(J/I)≅R/J(R/I)/(J/I) \cong R/J

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# 中国剩余定理

中国剩余定理，Chinese Remainder Theorem, 又称孙子定理，简称 CRT
为环论中的重要定理，揭示了理想之间的同构关系

一般化的定义位于交换环上：

定理 中国剩余定理
令 I1,I2,…,IrI_1, I_2, \ldots, I_r 为交换环 RR 的理想，且满足

Ii+Ij=R(i≠j)I_i + I_j = R\quad (i \neq j)

则通过自然映射

π:R→R/I1×R/I2×…×R/Ir,r↦(r+I1,r+I2,…,r+Ir)\pi : R \to R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r,\quad r \mapsto (r + I_1, r + I_2, \ldots, r + I_r)

得到环同构

R/(I1∩I2∩…∩Ir)≅R/I1×R/I2×…×R/IrR/(I_1 \cap I_2 \cap \ldots \cap I_r) \cong R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r

证明

对于任意 r1,r2∈Rr_1, r_2 \in R，

π(r1+r2)=(r1+r2+I1,r1+r2+I2,…,r1+r2+Ir)=(r1+I1,r1+I2,…,r1+Ir)+(r2+I1,r2+I2,…,r2+Ir)=π(r1)+π(r2)\begin{aligned} \pi(r_1 + r_2) & = (r_1 + r_2 + I_1, r_1 + r_2 + I_2, \ldots, r_1 + r_2 + I_r) \\ & = (r_1 + I_1, r_1 + I_2, \ldots, r_1 + I_r) + (r_2 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_2 + I_r) \\ & = \pi(r_1) + \pi(r_2) \end{aligned}

π(r1r2)=(r1r2+I1,r1r2+I2,…,r1r2+Ir)=(r1+I1,r1+I2,…,r1+Ir)(r2+I1,r2+I2,…,r2+Ir)=π(r1)π(r2)\begin{aligned} \pi(r_1 r_2) & = (r_1 r_2 + I_1, r_1 r_2 + I_2, \ldots, r_1 r_2 + I_r) \\ & = (r_1 + I_1, r_1 + I_2, \ldots, r_1 + I_r)(r_2 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_2 + I_r) \\ & = \pi(r_1) \pi(r_2) \end{aligned}

π(1R)=(1R+I1,1R+I2,…,1R+Ir)\pi(1_R) = (1_R + I_1, 1_R + I_2, \ldots, 1_R + I_r)

所以 π\pi 为环同态

对于 r∈Rr \in R，

π(r)=(0+I1,0+I2,…,0+Ir)⟺r+Ii=0+Ii(i=1,2,…,r)⟺r∈Ii(i=1,2,…,r)\pi(r) = (0 + I_1, 0 + I_2, \ldots, 0 + I_r) \iff r + I_i = 0 + I_i\quad (i = 1, 2, \ldots, r) \iff r \in I_i\quad (i = 1, 2, \ldots, r)

所以 Kerπ=I1∩I2∩…∩Ir\mathrm{Ker} \pi = I_1 \cap I_2 \cap \ldots \cap I_r

取 (r1+I1,r2+I2,…,rr+Ir)∈R/I1×R/I2×…×R/Ir(r_1 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_r + I_r) \in R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r，由于 Ii+Ij=R(i≠j)I_i + I_j = R\ (i \neq j)，所以存在 aij∈Ii,bij∈Ija_{ij} \in I_i, b_{ij} \in I_j，使得

aij+bij=1Ra_{ij} + b_{ij} = 1_R

定义

ei=∏1≤j≤rj≠ibij=∏1≤j≤rj≠i(1R−aij)e_i = \prod_{\substack{1 \leq j \leq r \\ j \neq i}} b_{ij} = \prod_{\substack{1 \leq j \leq r \\ j \neq i}} (1_R - a_{ij})

则显然 ei≡1R(modIi)e_i \equiv 1_R\ (\mathrm{mod}\ I_i) 且 ei≡0(modIj)(j≠i)e_i \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ I_j)\ (j \neq i)
取

r=∑i=1rrieir = \sum_{i=1}^r r_i e_i

则对于任意 1≤k≤r1 \leq k \leq r，

r≡∑i=1rriei≡rkek≡rk(modIk)r \equiv \sum_{i=1}^r r_i e_i \equiv r_k e_k \equiv r_k\ (\mathrm{mod}\ I_k)

所以 π(r)=(r1+I1,r2+I2,…,rr+Ir)\pi(r) = (r_1 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_r + I_r)，π\pi 满射

根据第一环同构定理，得到同构

R/(I1∩I2∩…∩Ir)≅R/I1×R/I2×…×R/IrR/(I_1 \cap I_2 \cap \ldots \cap I_r) \cong R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r

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引理：基于 CRT，我们可以分析 Z/nZ\mathbb Z/n\mathbb Z 及其单位群的结构

  • 环同构指出：模 nn 的代数结构只是各素数幂模结构的直积，没有产生新的复杂性。
  • 群同构指出：模 nn 的可逆元素群的结构，完全由各素数幂模的单位根群决定。

命题
对于质因数分解 n=p1e1p2e2…prern = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \ldots p_r^{e_r}，有环同构

Z/nZ≅Z/p1e1Z×Z/p2e2Z×…×Z/prerZ\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z \times \mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z \times \ldots \times \mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z

和群同构

(Z/nZ)×≅(Z/p1e1Z)××(Z/p2e2Z)××…×(Z/prerZ)×(\mathbb Z/n\mathbb Z)^{\times} \cong (\mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z)^{\times} \times (\mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z)^{\times} \times \ldots \times (\mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z)^{\times}

证明

由于对任意 i≠ji \neq j，有

pieiZ+pjejZ=Zp_i^{e_i} \mathbb Z + p_j^{e_j} \mathbb Z = \mathbb Z

根据中国剩余定理，得到环同构

Z/nZ≅Z/p1e1Z×Z/p2e2Z×…×Z/prerZ\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z \times \mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z \times \ldots \times \mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z

进一步，由于同构保持单位元与逆元，得到群同构

(Z/nZ)×≅(Z/p1e1Z)××(Z/p2e2Z)××…×(Z/prerZ)×(\mathbb Z/n\mathbb Z)^{\times} \cong (\mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z)^{\times} \times (\mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z)^{\times} \times \ldots \times (\mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z)^{\times}

□\square

现在，让我们讨论如何实际利用中国剩余定理来解决一般交换环上的同余方程组问题。考虑对于任意交换环 RR。

我们已经知道，对于任意环 RR，都有唯一一种方式将 Z\mathbb Z 映射到 RR 上：

φ:Z→R,k↦{1R+1R+⋯+1R⏟k个k>00Rk=0−(1R+1R+⋯+1R)⏟k个k<0\varphi: \mathbb Z \to R,\qquad k \mapsto \begin{cases} \underbrace{1_R + 1_R + \cdots + 1_R}_{k\text{ 个}} & k > 0 \\ 0_R & k = 0 \\ -\underbrace{(1_R + 1_R + \cdots + 1_R)}_{k\text{ 个}} & k < 0 \end{cases}

因此，对于任意整数 nn，我们都可以在环 RR 中定义理想

In=φ(n)R={φ(n)r∣r∈R}I_n = \varphi(n)\,R = \{ \varphi(n) r \mid r \in R \}

构造商环

R/In=R/φ(n)RR/I_n = R/\varphi(n)R

商环中的元素，即为 RR 中的元素在模 φ(n)\varphi(n) 意义下的同余类。

接下来，将 nn 进行质因数分解

n=p1e1p2e2…prern = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \ldots p_r^{e_r}

根据中国剩余定理，存在环同构

R/In≅∏R/pieiR/I_n \cong \prod R/p_i^{e_i}

此时，基于该同构关系，R/InR/I_n 中的元唯一对应到 各 R/IpieiR/I_{p_i^{e_i}} 中的元。这意味着同余方程组可以转为单一的同余方程

{x≡a1(modIp1e1)x≡a2(modIp2e2)…x≡ar(modIprer)⟺x≡A(modIn)\begin{cases} x \equiv a_1 \pmod{I_{p_1^{e_1}}} \\ x \equiv a_2 \pmod{I_{p_2^{e_2}}} \\ \ldots \\ x \equiv a_r \pmod{I_{p_r^{e_r}}} \end{cases} \iff x \equiv A \pmod{I_n}

也就是说：解同余方程组等价于解出 AA。接下来让我们尝试构造 AA。

对于每个 i=1,2,…,ri = 1, 2, \ldots, r，定义整数（去除掉对应编号的质因数幂）

Mi=npieiM_i = \frac{n}{p_i^{e_i}}

分析 MiM_i 在模 pkekp_k^{e_k} 下的行为：

  • 当 i≠ki \neq k 时，显然 pkek∣Mip_k^{e_k} \mid M_i，所以

Mi≡0(modpkek)M_i \equiv 0 \pmod{p_k^{e_k}}

  • 当 i=ki = k 时，由于各质因数幂两两互质，所以根据 Bezout 定理

gcd⁡(Mi,pkek)=1⟹∃yi∈Z:Miyi≡1(modpkek)\gcd(M_i, p_k^{e_k}) = 1 \implies {}^\exists y_i \in \mathbb Z:\ M_i y_i \equiv 1 \pmod{p_k^{e_k}}

所以汇总，得到在 Z\mathbb Z 中有以下等式

∑i=1rMiyi=1\sum_{i=1}^r M_i y_i = 1

在两边应用映射 φ\varphi，并注意其同态性质，可以得到

∑i=1rφ(Mi)φ(yi)=φ(1)=1R\sum_{i=1}^r \varphi(M_i) \varphi(y_i) = \varphi(1) = 1_R

定义左侧的各个元为

Ei=φ(Mi)φ(yi)∈RE_i = \varphi(M_i) \varphi(y_i) \in R

接下来我们验证 EiE_i 在模 IpkekI_{p_k^{e_k}} 下的行为：

  • 当 i≠ki \neq k 时，根据 MiM_i 的定义可以知道 pkek∣Mip_k^{e_k} \mid M_i，所以 φ(Mi)∈Ipkek\varphi(M_i) \in I_{p_k^{e_k}}，进而

Ei=φ(Mi)φ(yi)≡0R(modIpkek)E_i = \varphi(M_i) \varphi(y_i) \equiv 0_R \pmod{I_{p_k^{e_k}}}

  • 当 i=ki = k 时，由于 ∑i=1rMiyi=1R\sum\limits_{i=1}^r M_i y_i = 1_R，所以

Ei=1R−∑j≠iEj≡1R−0R≡1R(modIpiei)E_i = 1_R - \sum_{j \neq i} E_j \equiv 1_R - 0_R \equiv 1_R \pmod{I_{p_i^{e_i}}}

这意味着 EiE_i 成为类正交基的作用：在模 IpieiI_{p_i^{e_i}} 下，EiE_i 相当于单位元，而在其他模下则相当于零元。利用 xx 在各个模数下的余数，我们可以构造出线性结合

A=∑i=1raiEi=∑i=1raiφ(Mi)φ(yi)A = \sum_{i=1}^r a_i E_i = \sum_{i=1}^r a_i \varphi(M_i) \varphi(y_i)

该解在模 InI_n 下是唯一的，也正是我们想要寻找的解。

示例
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

解

设有 xx 个该物品，题干等价于同余方程组

{x≡2(mod3)x≡3(mod5)x≡2(mod7)\begin{cases} x \equiv 2 \pmod 3 \\ x \equiv 3 \pmod 5 \\ x \equiv 2 \pmod 7 \end{cases}

定义整数 M:=3×5×7=105M := 3 \times 5 \times 7 = 105，以及

{M1=M3=35M2=M5=21M3=M7=15\begin{cases} M_1 = \dfrac{M}{3} = 35 \\[6pt] M_2 = \dfrac{M}{5} = 21 \\[6pt] M_3 = \dfrac{M}{7} = 15 \end{cases}

根据 Bezout 定理，解以下同余方程

{M1y1≡1(mod3)⟹y1≡2(mod3)M2y2≡1(mod5)⟹y2≡1(mod5)M3y3≡1(mod7)⟹y3≡1(mod7)\begin{cases} M_1 y_1 \equiv 1 \pmod 3 \implies y_1 \equiv 2 \pmod 3 \\ M_2 y_2 \equiv 1 \pmod 5 \implies y_2 \equiv 1 \pmod 5 \\ M_3 y_3 \equiv 1 \pmod 7 \implies y_3 \equiv 1 \pmod 7 \end{cases}

将上述结果代入线性结合，其中 a1=2,a2=3,a3=2a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 2，得到

A=∑i=13aiMiyi=2×35×2+3×21×1+2×15×1=233∈Z105A = \sum_{i=1}^3 a_i M_i y_i = 2 \times 35 \times 2 + 3 \times 21 \times 1 + 2 \times 15 \times 1 = 233 \in \mathbb Z_{105}

即，

x=233+105Z=23+105Zx = 233 + 105\mathbb Z = 23 + 105\mathbb Z

为该同余方程组的所有解。特别地，最小正整数解为 2323。
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# 幂等元

中国剩余定理告诉我们怎么把环拆开，另一边也可以判断一个环是否是天生就被拆开的

回顾在刚刚的推到中产生了决定性因素的 EiE_i，它们满足

EiEj=φ(Mi)φ(yi)φ(Mj)φ(yj)=φ(MiMj)φ(yiyj)∈φ(n)R=InE_i E_j = \varphi(M_i) \varphi(y_i) \varphi(M_j) \varphi(y_j) = \varphi(M_i M_j) \varphi(y_i y_j) \in \varphi(n) R = I_n

所以

EiEj≡0R(modIn)(i≠j)E_i E_j \equiv 0_R \pmod{I_n}\quad (i \neq j)

再由于已知 ∑i=1rEi≡1R(modIn)\sum\limits_{i=1}^r E_i \equiv 1_R \pmod{I_n}，所以

Ei(∑k=1rEk)≡Ei(modIn)E_i \left( \sum_{k=1}^r E_k \right) \equiv E_i \pmod{I_n}

展开即可得到

Ei2≡Ei(modIn)E_i^2 \equiv E_i \pmod{I_n}

这样的元是非常特殊的：

定义
称 e∈Re \in R 为环 RR 的 幂等元 (Idempotent)「冪等元」，当且仅当

e2=ee^2 = e

特别地，如果回顾群论中中心的定义，并将其推广到环 RR 上：

Z(R):={z∈R∣∀r∈R,zr=rz}Z(R) := \{z \in R \mid {}^\forall r \in R,\ zr = rz\}

那么，对于满足 e∈Z(R)e \in Z(R) 的幂等元 ee，称其为 中心幂等元

本节的核心结论为

  • 如果能找到一组正交的完备的中心幂等元，就能将环拆开

命题
令 e1,…,ene_1, \ldots, e_n 为环 RR 的中心幂等元，且满足

∑i=1nei=1R,eiej=δijei\sum_{i=1}^n e_i = 1_R,\quad e_i e_j = \delta_{ij} e_i

则有

  1. ReiRe_i 为 RR 的理想，且成为以 eie_i 为单位元的环
  2. R≅Re1×Re2×…×RenR \cong Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n
证明

(1)
对于任意 r1ei,r2ei∈Reir_1 e_i, r_2 e_i \in Re_i，

r1ei−r2ei=(r1−r2)ei∈Reir_1 e_i - r_2 e_i = (r_1 - r_2) e_i \in Re_i

r1ei⋅r2ei=r1r2ei2=r1r2ei∈Reir_1 e_i \cdot r_2 e_i = r_1 r_2 e_i^2 = r_1 r_2 e_i \in Re_i

显然，0Rei=0Rei∈Rei0_R e_i = 0_{Re_i} \in Re_i，1Rei=ei1_R e_i = e_i，所以 ReiRe_i 为以 eie_i 为单位元的环
同时，对于任意 r∈R,sei∈Reir \in R, s e_i \in Re_i，

r⋅sei=rsei∈Rei,sei⋅r=seir=srei∈Reir \cdot s e_i = rs e_i \in Re_i,\quad s e_i \cdot r = s e_i r = s r e_i \in Re_i

所以 ReiRe_i 为 RR 的理想

(2)
定义映射

φ:R→Re1×Re2×…×Ren,r↦(re1,re2,…,ren)\varphi : R \to Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n,\quad r \mapsto (r e_1, r e_2, \ldots, r e_n)

对于任意 r1,r2∈Rr_1, r_2 \in R，

φ(r1+r2)=((r1+r2)e1,(r1+r2)e2,…,(r1+r2)en)=(r1e1+r2e1,r1e2+r2e2,…,r1en+r2en)=(r1e1,r1e2,…,r1en)+(r2e1,r2e2,…,r2en)=φ(r1)+φ(r2)\begin{aligned} \varphi(r_1 + r_2) & = ((r_1 + r_2) e_1, (r_1 + r_2) e_2, \ldots, (r_1 + r_2) e_n) \\ & = (r_1 e_1 + r_2 e_1, r_1 e_2 + r_2 e_2, \ldots, r_1 e_n + r_2 e_n) \\ & = (r_1 e_1, r_1 e_2, \ldots, r_1 e_n) + (r_2 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_2 e_n) \\ & = \varphi(r_1) + \varphi(r_2) \end{aligned}

φ(r1r2)=(r1r2e1,r1r2e2,…,r1r2en)=(r1e1r2e1,r1e2r2e2,…,r1enr2en)=(r1e1,r1e2,…,r1en)(r2e1,r2e2,…,r2en)=φ(r1)φ(r2)\begin{aligned} \varphi(r_1 r_2) & = (r_1 r_2 e_1, r_1 r_2 e_2, \ldots, r_1 r_2 e_n) \\ & = (r_1 e_1 r_2 e_1, r_1 e_2 r_2 e_2, \ldots, r_1 e_n r_2 e_n) \\ & = (r_1 e_1, r_1 e_2, \ldots, r_1 e_n)(r_2 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_2 e_n) \\ & = \varphi(r_1) \varphi(r_2) \end{aligned}

φ(1R)=(1Re1,1Re2,…,1Ren)=(e1,e2,…,en)\varphi(1_R) = (1_R e_1, 1_R e_2, \ldots, 1_R e_n) = (e_1, e_2, \ldots, e_n)

所以 φ\varphi 为环同态
同时，取任意 (r1e1,r2e2,…,rnen)∈Re1×Re2×…×Ren(r_1 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_n e_n) \in Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n，定义

r=r1e1+r2e2+…+rnenr = r_1 e_1 + r_2 e_2 + \ldots + r_n e_n

则显然 φ(r)=(r1e1,r2e2,…,rnen)\varphi(r) = (r_1 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_n e_n)，所以 φ\varphi 满射
再取 φ(r1)=φ(r2)\varphi(r_1) = \varphi(r_2)，则

r1ei=r2ei(i=1,2,…,n)r_1 e_i = r_2 e_i\quad (i = 1, 2, \ldots, n)

所以

r1=r1⋅1R=r1∑i=1nei=∑i=1nr1ei=∑i=1nr2ei=r2∑i=1nei=r2⋅1R=r2r_1 = r_1 \cdot 1_R = r_1 \sum_{i=1}^n e_i = \sum_{i=1}^n r_1 e_i = \sum_{i=1}^n r_2 e_i = r_2 \sum_{i=1}^n e_i = r_2 \cdot 1_R = r_2

所以 φ\varphi 单射，综上 φ\varphi 同构，即

R≅Re1×Re2×…×RenR \cong Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n

□\square

示例

  1. Z/6Z≅Z/2Z×Z/3Z\mathbb Z/6\mathbb Z \cong \mathbb Z/2\mathbb Z \times \mathbb Z/3\mathbb Z，对应于幂等元 4‾,3‾\overline 4, \overline 3
  2. R[x]/⟨x2−1⟩≅R×R\mathbb{R}[x] / \langle x^2 - 1 \rangle \cong \mathbb{R} \times \mathbb{R}，对应于幂等元 \overline{(x+1)/2}, \overline

# 多项式环中的代入

最后，讨论一类特殊的环同态：多项式环中的代入映射

令 RR 为交换环，R′R' 为其扩大交换环，即 R⊂R′R \subset R'

取一元 c∈R′c \in R'，对于 R[x]R[x] 中的任意多项式 f=∑i=0nrixif = \sum\limits_{i=0}^n r_i x^i，定义映射

φc:R[x]→R′,f↦∑i=0nrici\varphi_c : R[x] \to R',\quad f \mapsto \sum_{i=0}^n r_i c^i

称 φc(f)\varphi_c(f) 为 将 cc 代入多项式 ff 中，记作 f(c)f(c)

实际上 φc\varphi_c 成为环同态，非常容易验证，此处省略
那么根据同态定理，如果记 Imφc=R[c]\mathrm{Im} \varphi_c = R[c]，则有同构

R[x]/Kerφc≅R[c]R[x]/\mathrm{Ker} \varphi_c \cong R[c]

特别地，当 Kerφc=(0)\mathrm{Ker} \varphi_c = (0)，也就是说 f(c)=0⟺f=0f(c) = 0 \iff f = 0 时，称 cc 为 RR 上的代数独立元，此时有同构

R[x]≅R[c]R[x] \cong R[c]

命题
R[c]R[c] 为包含 RR 且含有 cc 的最小子环

证明

令 S⊂R′S \subset R' 为包含 RR 且含有 cc 的子环，则对于任意 f∈R[x]f \in R[x]

f(c)∈Sf(c) \in S

所以 Imφc=R[c]⊂S\mathrm{Im} \varphi_c = R[c] \subset S 成立
□\square

代入与代数整数的概念密切相关

定义
令 RR 为交换环，R′R' 为其扩大交换环，c∈R′c \in R'。
如果存在非零首一多项式 f∈R[x]f \in R[x]，使得

f(c)=0f(c) = 0

则称 cc 在 RR 上是 整 (Integral)「整」 的