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# 环同态与同构

环同态，环同构的部分与群论中的同态，同构高度相似，很多证明基本上形式都一致

定义
令 R,R′R, R' 为环
若映射 φ:R→R′\varphi : R \to R' 满足

  • ∀a,b∈R,φ(a+b)=φ(a)+φ(b)\forall a,b \in R,\ \varphi(a+b) = \varphi(a) + \varphi(b)
  • ∀a,b∈R,φ(ab)=φ(a)φ(b)\forall a,b \in R,\ \varphi(ab) = \varphi(a) \varphi(b)
  • φ(1R)=1R′\varphi(1_R) = 1_{R'} \quad

则称 φ\varphi 为环 RR 到环 R′R' 的 同态 (Homomorphism)「準同型」
特别地，若 φ\varphi 为双射，则称 φ\varphi 为环 RR 到环 R′R' 的 同构 (Isomorphism)「同型」，记作 R≅R′R \cong R'

单独地，也称

  • 满射的同态为 满同态
  • 单射的同态为 单同态

示例

  • 若 R′R' 为 RR 的子环，则包含映射 τ:R′→R,a↦a\tau :R' \to R,\ a \mapsto a 为环同态
  • 若 II 为 RR 的理想，则商映射 π:R→R/I,r↦r+I\pi : R \to R/I,\ r \mapsto r + I 为环同态

示例中 τ,π\tau, \pi 仅依靠 R,R′R,R' 的关系就可以定义出，不依环的性质。
这样的映射称为 自然的同态映射

一类比较特殊的同态是构建在有理整数环上的
这非常有趣：在 Z\mathbb Z 上仅有一种方法定义出到环 RR 的同态

φ:Z→R,φ(n)={1R+1R+⋯+1R⏟n个n>00Rn=0−(1R+1R+⋯+1R)⏟n个n<0\varphi: \mathbb Z \to R,\qquad \varphi(n) = \begin{cases} \underbrace{1_R + 1_R + \cdots + 1_R}_{n\text{ 个}} & n > 0 \\ 0_R & n = 0 \\ -\underbrace{(1_R + 1_R + \cdots + 1_R)}_{n\text{ 个}} & n < 0 \end{cases}

验证此为同态非常简单，但是重点是为什么只有这一个
由于 φ(1)=1R=e\varphi(1) = 1_R = e，所以必须要满足

φ(n)=φ(1+1+⋯+1⏟n个)=φ(1)+φ(1)+⋯+φ(1)⏟n个=1R+1R+⋯+1R⏟n个\varphi(n) = \varphi(\underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{n\text{ 个}}) = \underbrace{\varphi(1) + \varphi(1) + \cdots + \varphi(1)}_{n\text{ 个}} = \underbrace{1_R + 1_R + \cdots + 1_R}_{n\text{ 个}}

对于负数和零的情况同理，并且因为 φ(m+n)=φ(m)+φ(n)\varphi(m+n) = \varphi(m) + \varphi(n)，所以 φ(n)=ne\varphi(n) = ne
进一步因为乘法 φ(mn)=φ(m)φ(n)⟹(me)(ne)=(mn)e\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n) \implies (me)(ne) = (mn)e
所以只要给定 φ(1)=e\varphi(1) = e，就唯一地确定了 φ\varphi 的形式

定义
令 φ:Z→R,n↦n⋅1R\varphi : \mathbb Z \to R,\quad n \mapsto n \cdot 1_R
nZ=Kerφ⊂Zn\mathbb Z = \mathrm{Ker} \varphi \subset \mathbb Z
此时称 nn 为环 RR 的 特征 (Characteristic)「標数」，记作 char(R)=n\mathrm{char}(R) = n

对于 Z/nZ→R\mathbb Z/n\mathbb Z \to R

  • charR=0⟺Z⊂R\mathrm{char} R = 0 \iff \mathbb Z \subset R
  • charR=n>0⟺Z/nZ⊂R\mathrm{char} R = n > 0 \iff \mathbb Z/n\mathbb Z \subset R

示例

  • char(R)=char(C)=char(Q)=char(Z)=0\mathrm{char}(\mathbb R) = \mathrm{char}(\mathbb C) = \mathrm{char}(\mathbb Q) = \mathrm{char}(\mathbb Z) = 0
  • char(Z/nZ)=char(Z/nZ[X])=n\mathrm{char}(\mathbb Z/n\mathbb Z) = \mathrm{char}(\mathbb Z/n\mathbb Z[X]) = n

同样，环同态中核与像的性质也非常重要

定义
令 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为环同态，称

  • Kerφ:={a∈R∣φ(a)=0R′}\mathrm{Ker} \varphi := \{a \in R \mid \varphi(a) = 0_{R'}\} 为 φ\varphi 的 核 (Kernel)「核」
  • Imφ:={b∈R′∣∃a∈R,b=φ(a)}\mathrm{Im} \varphi := \{b \in R' \mid \exists a \in R,\ b = \varphi(a)\} 为 φ\varphi 的 像 (Image)「像」

命题

  1. Imφ为R′的子环\mathrm{Im} \varphi \text{ 为 } R' \text{ 的子环} \quad
  2. Kerφ为R的理想\mathrm{Ker} \varphi \text{ 为 } R \text{ 的理想} \quad
证明

(1)
对于任意 a′,b′∈Imφa', b' \in \mathrm{Im} \varphi，存在 a,b∈Ra,b \in R，使得 φ(a)=a′,φ(b)=b′\varphi(a) = a',\ \varphi(b) = b'，则

a′−b′=φ(a)−φ(b)=φ(a−b)∈Imφ,a′b′=φ(a)φ(b)=φ(ab)∈Imφa' - b' = \varphi(a) - \varphi(b) = \varphi(a - b) \in \mathrm{Im} \varphi ,\quad a' b' = \varphi(a) \varphi(b) = \varphi(ab) \in \mathrm{Im} \varphi

显然，0R′=φ(0R)∈Imφ,1R′=φ(1R)∈Imφ0_{R'} = \varphi(0_R) \in \mathrm{Im} \varphi ,\quad 1_{R'} = \varphi(1_R) \in \mathrm{Im} \varphi
所以 Imφ\mathrm{Im} \varphi 为 R′R' 的子环

(2)
对于任意 a,b∈Kerφa,b \in \mathrm{Ker} \varphi，

φ(a−b)=φ(a)−φ(b)=0R′−0R′=0R′⟹a−b∈Kerφ\varphi(a - b) = \varphi(a) - \varphi(b) = 0_{R'} - 0_{R'} = 0_{R'} \implies a - b \in \mathrm{Ker} \varphi

即 Kerφ\mathrm{Ker} \varphi 为 RR 的加法子群

对于任意 r∈R,a∈Kerφr \in R, a \in \mathrm{Ker} \varphi，

φ(ra)=φ(r)φ(a)=φ(r)⋅0R′=0R′⟹ra∈Kerφ\varphi(ra) = \varphi(r) \varphi(a) = \varphi(r) \cdot 0_{R'} = 0_{R'} \implies ra \in \mathrm{Ker} \varphi

φ(ar)=φ(a)φ(r)=0R′⋅φ(r)=0R′⟹ar∈Kerφ\varphi(ar) = \varphi(a) \varphi(r) = 0_{R'} \cdot \varphi(r) = 0_{R'} \implies ar \in \mathrm{Ker} \varphi

即对乘法封闭，所以 Kerφ\mathrm{Ker} \varphi 为 RR 的理想
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其性质可以反映环的性质

命题

  1. φ双射⟺Imφ=R′\varphi \text{ 双射} \iff \mathrm{Im} \varphi = R'
  2. φ单射⟺Kerφ={0R}\varphi \text{ 单射} \iff \mathrm{Ker} \varphi = \{0_R\} \quad
证明

(1)
(⇒\Rightarrow)
根据满射的定义显然
(⇐\Leftarrow)
显然 φ\varphi 满射
同时，若 φ(a1)=φ(a2)\varphi(a_1) = \varphi(a_2)，则

φ(a1−a2)=φ(a1)−φ(a2)=0R′⟹a1−a2∈Kerφ⟹a1−a2=0R⟹a1=a2\varphi(a_1 - a_2) = \varphi(a_1) - \varphi(a_2) = 0_{R'} \implies a_1 - a_2 \in \mathrm{Ker} \varphi \implies a_1 - a_2 = 0_R \implies a_1 = a_2

所以 φ\varphi 单射，综上 φ\varphi 双射

(2)
(⇒\Rightarrow)
φ(a−a)=φ(a)−φ(a)=0R′\varphi(a-a) = \varphi(a) - \varphi(a) = 0_{R'} 给出 a−a=0R∈Kerφa - a = 0_R \in \mathrm{Ker} \varphi
单射保证映射为 0R′0_{R'} 的元唯一，所以 Kerφ={0R}\mathrm{Ker} \varphi = \{0_R\}
(⇐\Leftarrow)
若 φ(a1)=φ(a2)\varphi(a_1) = \varphi(a_2)，则

φ(a1−a2)=φ(a1)−φ(a2)=0R′⟹a1−a2∈Kerφ⟹a1−a2=0R⟹a1=a2\varphi(a_1 - a_2) = \varphi(a_1) - \varphi(a_2) = 0_{R'} \implies a_1 - a_2 \in \mathrm{Ker} \varphi \implies a_1 - a_2 = 0_R \implies a_1 = a_2

所以 φ\varphi 单射
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命题
令 R,R′R, R' 为环，且 RR 为除环，R′≠{0R′}R' \neq \{0_{R'}\}
则任意环同态 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为 单射

证明

取 J=KerφJ = \mathrm{Ker} \varphi，则 J⊂RJ \subset R 为理想
因为 RR 为除环，所以 J={0R}J = \{0_R\} 或 J=RJ = R，显然不可能有 J=RJ = R，否则 φ\varphi 为零映射，与 R′≠{0R′}R' \neq \{0_{R'}\} 矛盾
所以 J={0R}J = \{0_R\}，根据前述命题，φ\varphi 单射
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# 环同态定理

代数学环同构定理一般包含

  • 第一环同构定理
  • 第二环同构定理
  • 第三环同构定理

这些都属于同态定理的体系

定理 第一环同构定理
令 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为环同态，J=KerφJ = \mathrm{Ker} \varphi，则由 φ\varphi 可以诱导出同构

φ~:R/J→Imφ,r+J↦φ(r)\widetilde \varphi : R/J \to \mathrm{Im} \varphi,\ r + J \mapsto \varphi(r)

证明

（良定义性）
取 r1+J=r2+Jr_1 + J = r_2 + J，则 r1−r2∈J=Kerφr_1 - r_2 \in J = \mathrm{Ker} \varphi，所以

φ(r1−r2)=0R′⟹φ(r1)=φ(r2)\varphi(r_1 - r_2) = 0_{R'} \implies \varphi(r_1) = \varphi(r_2)

所以 φ~(r1+J)=φ~(r2+J)\widetilde \varphi(r_1 + J) = \widetilde \varphi(r_2 + J)，所以 φ~\widetilde \varphi 为良定义的映射
（同态）
对于任意 r1+J,r2+J∈R/Jr_1 + J, r_2 + J \in R/J，

φ~((r1+J)+(r2+J))=φ~((r1+r2)+J)=φ(r1+r2)=φ(r1)+φ(r2)=φ~(r1+J)+φ~(r2+J)\begin{aligned} \widetilde \varphi((r_1 + J) + (r_2 + J)) & = \widetilde \varphi((r_1 + r_2) + J) = \varphi(r_1 + r_2) = \varphi(r_1) + \varphi(r_2) \\ & = \widetilde \varphi(r_1 + J) + \widetilde \varphi(r_2 + J) \end{aligned}

φ~((r1+J)(r2+J))=φ~((r1r2)+J)=φ(r1r2)=φ(r1)φ(r2)=φ~(r1+J)φ~(r2+J)\begin{aligned} \widetilde \varphi((r_1 + J)(r_2 + J)) & = \widetilde \varphi((r_1 r_2) + J) = \varphi(r_1 r_2) = \varphi(r_1) \varphi(r_2) \\ & = \widetilde \varphi(r_1 + J) \widetilde \varphi(r_2 + J) \end{aligned}

显然 φ~(1R/J)=φ(1R)=1R′\widetilde \varphi(1_{R/J}) = \varphi(1_R) = 1_{R'}
所以 φ~\widetilde \varphi 为环同态
（双射）
对于任意 b∈Imφb \in \mathrm{Im} \varphi，存在 a∈Ra \in R，使得 φ(a)=b\varphi(a) = b，所以 φ~(a+J)=b\widetilde \varphi(a + J) = b，所以 φ~\widetilde \varphi 满射
同时，若 φ~(r1+J)=φ~(r2+J)\widetilde \varphi(r_1 + J) = \widetilde \varphi(r_2 + J)，则

φ(r1)=φ(r2)⟹φ(r1−r2)=0R′⟹r1−r2∈J⟹r1+J=r2+J\varphi(r_1) = \varphi(r_2) \implies \varphi(r_1 - r_2) = 0_{R'} \implies r_1 - r_2 \in J \implies r_1 + J = r_2 + J

所以 φ~\widetilde \varphi 单射，综上 φ~\widetilde \varphi 同构，即

R/J≅ImφR/J \cong \mathrm{Im} \varphi

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定理 第二环同构定理
令 RR 为环，I⊂RI \subset R 为理想，A⊂RA \subset R 为子环，则

(A+I)/I≅A/(A∩I)(A + I)/I \cong A/(A \cap I)

证明

定义映射

φ:A→(A+I)/I,a↦a+I\varphi : A \to (A + I)/I,\quad a \mapsto a + I

(φ\varphi 为环同态)
对于任意 a1,a2∈Aa_1, a_2 \in A，

φ(a1+a2)=(a1+a2)+I=(a1+I)+(a2+I)=φ(a1)+φ(a2)\varphi(a_1 + a_2) = (a_1 + a_2) + I = (a_1 + I) + (a_2 + I) = \varphi(a_1) + \varphi(a_2)

φ(a1a2)=(a1a2)+I=(a1+I)(a2+I)=φ(a1)φ(a2)\varphi(a_1 a_2) = (a_1 a_2) + I = (a_1 + I)(a_2 + I) = \varphi(a_1) \varphi(a_2)

显然 φ(1A)=1(A+I)/I\varphi(1_A) = 1_{(A + I)/I}
(Kerφ=A∩I\mathrm{Ker} \varphi = A \cap I)
对于任意 a∈Aa \in A，

φ(a)=0+I⟺a+I=I⟺a∈I⟺a∈A∩I\varphi(a) = 0 + I \iff a + I = I \iff a \in I \iff a \in A \cap I

所以 Kerφ=A∩I\mathrm{Ker} \varphi = A \cap I
(Imφ=(A+I)/I\mathrm{Im} \varphi = (A + I)/I)
对于任意 b+I∈(A+I)/Ib + I \in (A + I)/I，存在 a∈A,i∈Ia \in A, i \in I，使得 b=a+ib = a + i，所以

φ(a)=a+I=(a+i)+I=b+I\varphi(a) = a + I = (a + i) + I = b + I

所以 φ\varphi 满射
根据第一环同构定理，得到同构

(A+I)/I≅A/(A∩I)(A + I)/I \cong A/(A \cap I)

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在进入第三环同构定理前，需要给出如下结论

定理 环对应定理
令 φ:R→R′\varphi : R \to R' 为 满射 环同态，J=KerφJ = \mathrm{Ker} \varphi
此时 含有 JJ 的理想 M⊂RM \subset R 与 M‘⊂R′M‘ \subset R' 存在一一对应关系 M↔M′M \leftrightarrow M' 如下

φ(M)=M′,φ−1(M′)=M\varphi(M) = M',\quad \varphi^{-1}(M') = M

进一步，这些理想对应的商环为同构

R/M≅R′/M′R/M \cong R'/M'

证明

(φ(M)=M′,φ−1(M′)=M\varphi(M) = M',\quad \varphi^{-1}(M') = M)
等价于证明 (φ−1∘φ)(M)=M(\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) = M 及 (φ∘φ−1)(M′)=M′(\varphi \circ \varphi^{-1})(M') = M'
在集合论的角度上，M⊂(φ−1∘φ)(M)M \subset (\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) 且 (φ∘φ−1)(M′)⊂M′(\varphi \circ \varphi^{-1})(M') \subset M' 成立

先证明 (φ−1∘φ)(M)⊂M(\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) \subset M，取 a∈(φ−1∘φ)a \in (\varphi^{-1} \circ \varphi)，则 φ(a)∈φ(M)\varphi(a) \in \varphi(M)，所以存在 b∈Mb \in M，使得 φ(a)=φ(b)\varphi(a) = \varphi(b)，所以

φ(a−b)=φ(a)−φ(b)=0R′⟹a−b∈J⊂M⟹a∈M\varphi(a - b) = \varphi(a) - \varphi(b) = 0_{R'} \implies a - b \in J \subset M \implies a \in M

接下来证明 M′⊂(φ∘φ−1)(M′)M' \subset (\varphi \circ \varphi^{-1})(M')，取 a′∈M′a' \in M'，由满射得

∃a∈R,φ(a)=a′\exists a \in R,\ \varphi(a) = a'

于是 a∈φ−1(M′)a \in \varphi^{-1}(M')，所以 a′=φ(a)∈(φ∘φ−1)(M′)a' = \varphi(a) \in (\varphi \circ \varphi^{-1})(M')

综上，(φ−1∘φ)(M)=M(\varphi^{-1} \circ \varphi)(M) = M 及 (φ∘φ−1)(M′)=M′(\varphi \circ \varphi^{-1})(M') = M'

（商环同构）
定义映射

f:R/M→R′/M′,r+M↦φ(r)+M′f : R/M \to R'/M',\quad r + M \mapsto \varphi(r) + M'

对于任意 r1+M,r2+M∈R/Mr_1 + M, r_2 + M \in R/M，

f((r1+M)+(r2+M))=f((r1+r2)+M)=φ(r1+r2)+M′=φ(r1)+φ(r2)+M′=(φ(r1)+M′)+(φ(r2)+M′)=f(r1+M)+f(r2+M)\begin{aligned} f((r_1 + M) + (r_2 + M)) & = f((r_1 + r_2) + M) = \varphi(r_1 + r_2) + M' = \varphi(r_1) + \varphi(r_2) + M' \\ & = (\varphi(r_1) + M') + (\varphi(r_2) + M') = f(r_1 + M) + f(r_2 + M) \end{aligned}

f((r1+M)(r2+M))=f((r1r2)+M)=φ(r1r2)+M′=φ(r1)φ(r2)+M′=(φ(r1)+M′)(φ(r2)+M′)=f(r1+M)f(r2+M)\begin{aligned} f((r_1 + M)(r_2 + M)) & = f((r_1 r_2) + M) = \varphi(r_1 r_2) + M' = \varphi(r_1) \varphi(r_2) + M' \\ & = (\varphi(r_1) + M')(\varphi(r_2) + M') = f(r_1 + M) f(r_2 + M) \end{aligned}

f(1R/M)=φ(1R)+M′=1R′+M′f(1_{R/M}) = \varphi(1_R) + M' = 1_{R'} + M'

所以 ff 为环同态

同时，对于任意 b′+M′∈R′/M′b' + M' \in R'/M'，满射给出存在 b∈Rb \in R，使得 φ(b)=b′\varphi(b) = b'，所以

f(b+M)=φ(b)+M′=b′+M′f(b + M) = \varphi(b) + M' = b' + M'

得到 ff 满射，再取 f(r1+M)=f(r2+M)f(r_1 + M) = f(r_2 + M)，则

φ(r1)+M′=φ(r2)+M′⟹φ(r1−r2)∈M′⟹r1−r2∈φ−1(M′)=M⟹r1+M=r2+M\varphi(r_1) + M' = \varphi(r_2) + M' \implies \varphi(r_1 - r_2) \in M' \implies r_1 - r_2 \in \varphi^{-1}(M') = M \implies r_1 + M = r_2 + M

所以 ff 单射，综上 ff 同构，即

R/M≅R′/M′R/M \cong R'/M'

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进一步得出

定理 第三环同构定理
令 I,J⊂RI, J \subset R 为理想，且 I⊂JI \subset J，则

R/J≅(R/I)/(J/I)R/J \cong (R/I)/(J/I)

证明

定义映射

π:R/I→R/J,r+I↦r+J\pi: R/I \to R/J,\quad r + I \mapsto r + J

由于对任意 r1+I,r2+I∈R/Ir_1 + I, r_2 + I \in R/I，

π((r1+I)+(r2+I))=π((r1+r2)+I)=(r1+r2)+J=(r1+J)+(r2+J)=π(r1+I)+π(r2+I)\pi((r_1 + I) + (r_2 + I)) = \pi((r_1 + r_2) + I) = (r_1 + r_2) + J = (r_1 + J) + (r_2 + J) = \pi(r_1 + I) + \pi(r_2 + I)

π((r1+I)(r2+I))=π((r1r2)+I)=(r1r2)+J=(r1+J)(r2+J)=π(r1+I)π(r2+I)\pi((r_1 + I)(r_2 + I)) = \pi((r_1 r_2) + I) = (r_1 r_2) + J = (r_1 + J)(r_2 + J) = \pi(r_1 + I) \pi(r_2 + I)

π(1R/I)=1R+J\pi(1_{R/I}) = 1_R + J

所以 π\pi 为环同态
取任意 r+J∈R/Jr + J \in R/J，存在 r+I∈R/Ir + I \in R/I，使得 π(r+I)=r+J\pi(r + I) = r + J，所以 π\pi 满射
即 π\pi 为满射同态，并且

Kerπ={r+I∈R/I∣π(r+I)=0+J}={r+I∈R/I∣r∈J}=J/I\mathrm{Ker} \pi = \{r + I \in R/I \mid \pi(r + I) = 0 + J\} = \{r + I \in R/I \mid r \in J\} = J/I

由于 RR 中包含理想 JJ 的理想与 R/JR/J 中的理想存在一一对应关系，根据环对应定理，得到同构

(R/I)/(J/I)≅R/J(R/I)/(J/I) \cong R/J

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# 中国剩余定理

中国剩余定理，又称孙子定理
Chinese Remainder Theorem，简称 CRT
为环论中的重要定理，揭示了理想之间的同构关系

定理 中国剩余定理
令 I1,I2,…,IrI_1, I_2, \ldots, I_r 为 RR 的理想，且满足

Ii+Ij=R(i≠j)I_i + I_j = R\quad (i \neq j)

则通过自然映射

π:R→R/I1×R/I2×…×R/Ir,r↦(r+I1,r+I2,…,r+Ir)\pi : R \to R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r,\quad r \mapsto (r + I_1, r + I_2, \ldots, r + I_r)

得到环同构

R/(I1∩I2∩…∩Ir)≅R/I1×R/I2×…×R/IrR/(I_1 \cap I_2 \cap \ldots \cap I_r) \cong R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r

证明

对于任意 r1,r2∈Rr_1, r_2 \in R，

π(r1+r2)=(r1+r2+I1,r1+r2+I2,…,r1+r2+Ir)=(r1+I1,r1+I2,…,r1+Ir)+(r2+I1,r2+I2,…,r2+Ir)=π(r1)+π(r2)\begin{aligned} \pi(r_1 + r_2) & = (r_1 + r_2 + I_1, r_1 + r_2 + I_2, \ldots, r_1 + r_2 + I_r) \\ & = (r_1 + I_1, r_1 + I_2, \ldots, r_1 + I_r) + (r_2 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_2 + I_r) \\ & = \pi(r_1) + \pi(r_2) \end{aligned}

π(r1r2)=(r1r2+I1,r1r2+I2,…,r1r2+Ir)=(r1+I1,r1+I2,…,r1+Ir)(r2+I1,r2+I2,…,r2+Ir)=π(r1)π(r2)\begin{aligned} \pi(r_1 r_2) & = (r_1 r_2 + I_1, r_1 r_2 + I_2, \ldots, r_1 r_2 + I_r) \\ & = (r_1 + I_1, r_1 + I_2, \ldots, r_1 + I_r)(r_2 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_2 + I_r) \\ & = \pi(r_1) \pi(r_2) \end{aligned}

π(1R)=(1R+I1,1R+I2,…,1R+Ir)\pi(1_R) = (1_R + I_1, 1_R + I_2, \ldots, 1_R + I_r)

所以 π\pi 为环同态

对于 r∈Rr \in R，

π(r)=(0+I1,0+I2,…,0+Ir)⟺r+Ii=0+Ii(i=1,2,…,r)⟺r∈Ii(i=1,2,…,r)\pi(r) = (0 + I_1, 0 + I_2, \ldots, 0 + I_r) \iff r + I_i = 0 + I_i\quad (i = 1, 2, \ldots, r) \iff r \in I_i\quad (i = 1, 2, \ldots, r)

所以 Kerπ=I1∩I2∩…∩Ir\mathrm{Ker} \pi = I_1 \cap I_2 \cap \ldots \cap I_r

取 (r1+I1,r2+I2,…,rr+Ir)∈R/I1×R/I2×…×R/Ir(r_1 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_r + I_r) \in R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r，由于 Ii+Ij=R(i≠j)I_i + I_j = R\ (i \neq j)，所以存在 aij∈Ii,bij∈Ija_{ij} \in I_i, b_{ij} \in I_j，使得

aij+bij=1Ra_{ij} + b_{ij} = 1_R

定义

ei=∏1≤j≤rj≠ibij=∏1≤j≤rj≠i(1R−aij)e_i = \prod_{\substack{1 \leq j \leq r \\ j \neq i}} b_{ij} = \prod_{\substack{1 \leq j \leq r \\ j \neq i}} (1_R - a_{ij})

则显然 ei≡1R(modIi)e_i \equiv 1_R\ (\mathrm{mod}\ I_i) 且 ei≡0(modIj)(j≠i)e_i \equiv 0\ (\mathrm{mod}\ I_j)\ (j \neq i)
取

r=∑i=1rrieir = \sum_{i=1}^r r_i e_i

则对于任意 1≤k≤r1 \leq k \leq r，

r≡∑i=1rriei≡rkek≡rk(modIk)r \equiv \sum_{i=1}^r r_i e_i \equiv r_k e_k \equiv r_k\ (\mathrm{mod}\ I_k)

所以 π(r)=(r1+I1,r2+I2,…,rr+Ir)\pi(r) = (r_1 + I_1, r_2 + I_2, \ldots, r_r + I_r)，π\pi 满射

根据第一环同构定理，得到同构

R/(I1∩I2∩…∩Ir)≅R/I1×R/I2×…×R/IrR/(I_1 \cap I_2 \cap \ldots \cap I_r) \cong R/I_1 \times R/I_2 \times \ldots \times R/I_r

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引理

命题
质因数分解 n=p1e1p2e2…prern = p_1^{e_1} p_2^{e_2} \ldots p_r^{e_r}，则有环同构

Z/nZ≅Z/p1e1Z×Z/p2e2Z×…×Z/prerZ\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z \times \mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z \times \ldots \times \mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z

以及群同构

(Z/nZ)×≅(Z/p1e1Z)××(Z/p2e2Z)××…×(Z/prerZ)×(\mathbb Z/n\mathbb Z)^{\times} \cong (\mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z)^{\times} \times (\mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z)^{\times} \times \ldots \times (\mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z)^{\times}

证明

由于对任意 i≠ji \neq j，有

pieiZ+pjejZ=Zp_i^{e_i} \mathbb Z + p_j^{e_j} \mathbb Z = \mathbb Z

根据中国剩余定理，得到环同构

Z/nZ≅Z/p1e1Z×Z/p2e2Z×…×Z/prerZ\mathbb Z/n\mathbb Z \cong \mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z \times \mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z \times \ldots \times \mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z

进一步，由于同构保持单位元与逆元，得到群同构

(Z/nZ)×≅(Z/p1e1Z)××(Z/p2e2Z)××…×(Z/prerZ)×(\mathbb Z/n\mathbb Z)^{\times} \cong (\mathbb Z/p_1^{e_1}\mathbb Z)^{\times} \times (\mathbb Z/p_2^{e_2}\mathbb Z)^{\times} \times \ldots \times (\mathbb Z/p_r^{e_r}\mathbb Z)^{\times}

□\square

# 幂等元

将环做直积分解时，幂等元起着重要作用
先引入中心的概念，与群结构相同

定义
令 RR 为环，称

Z(R):={z∈R∣∀r∈R,zr=rz}Z(R) := \{z \in R \mid \forall r \in R,\ zr = rz\}

为环 RR 的 中心 (Center)「中心」

定义
若对于 e∈Re \in R，有

e2=ee^2 = e

则称 ee 为环 RR 的 幂等元 (Idempotent)「冪等元」

特别地，称 e∈Z(R)e \in Z(R) 的幂等元为 中心幂等元 (Central Idempotent)「中心冪等元」

命题
令 e1,…,ene_1, \ldots, e_n 为环 RR 的中心幂等元，且满足

∑i=1nei=1R,eiej=δijei\sum_{i=1}^n e_i = 1_R,\quad e_i e_j = \delta_{ij} e_i

则有

  1. Rei为R的理想，且成为以ei单位元的环Re_i \text{ 为 } R \text{ 的理想，且成为以 } e_i \text{ 单位元的环} \quad
  2. R≅Re1×Re2×…×RenR \cong Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n
证明

(1)
对于任意 r1ei,r2ei∈Reir_1 e_i, r_2 e_i \in Re_i，

r1ei−r2ei=(r1−r2)ei∈Reir_1 e_i - r_2 e_i = (r_1 - r_2) e_i \in Re_i

r1ei⋅r2ei=r1r2ei2=r1r2ei∈Reir_1 e_i \cdot r_2 e_i = r_1 r_2 e_i^2 = r_1 r_2 e_i \in Re_i

显然，0Rei=0Rei∈Rei0_R e_i = 0_{Re_i} \in Re_i，1Rei=ei1_R e_i = e_i，所以 ReiRe_i 为以 eie_i 为单位元的环
同时，对于任意 r∈R,sei∈Reir \in R, s e_i \in Re_i，

r⋅sei=rsei∈Rei,sei⋅r=seir=srei∈Reir \cdot s e_i = rs e_i \in Re_i,\quad s e_i \cdot r = s e_i r = s r e_i \in Re_i

所以 ReiRe_i 为 RR 的理想

(2)
定义映射

φ:R→Re1×Re2×…×Ren,r↦(re1,re2,…,ren)\varphi : R \to Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n,\quad r \mapsto (r e_1, r e_2, \ldots, r e_n)

对于任意 r1,r2∈Rr_1, r_2 \in R，

φ(r1+r2)=((r1+r2)e1,(r1+r2)e2,…,(r1+r2)en)=(r1e1+r2e1,r1e2+r2e2,…,r1en+r2en)=(r1e1,r1e2,…,r1en)+(r2e1,r2e2,…,r2en)=φ(r1)+φ(r2)\begin{aligned} \varphi(r_1 + r_2) & = ((r_1 + r_2) e_1, (r_1 + r_2) e_2, \ldots, (r_1 + r_2) e_n) \\ & = (r_1 e_1 + r_2 e_1, r_1 e_2 + r_2 e_2, \ldots, r_1 e_n + r_2 e_n) \\ & = (r_1 e_1, r_1 e_2, \ldots, r_1 e_n) + (r_2 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_2 e_n) \\ & = \varphi(r_1) + \varphi(r_2) \end{aligned}

φ(r1r2)=(r1r2e1,r1r2e2,…,r1r2en)=(r1e1r2e1,r1e2r2e2,…,r1enr2en)=(r1e1,r1e2,…,r1en)(r2e1,r2e2,…,r2en)=φ(r1)φ(r2)\begin{aligned} \varphi(r_1 r_2) & = (r_1 r_2 e_1, r_1 r_2 e_2, \ldots, r_1 r_2 e_n) \\ & = (r_1 e_1 r_2 e_1, r_1 e_2 r_2 e_2, \ldots, r_1 e_n r_2 e_n) \\ & = (r_1 e_1, r_1 e_2, \ldots, r_1 e_n)(r_2 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_2 e_n) \\ & = \varphi(r_1) \varphi(r_2) \end{aligned}

φ(1R)=(1Re1,1Re2,…,1Ren)=(e1,e2,…,en)\varphi(1_R) = (1_R e_1, 1_R e_2, \ldots, 1_R e_n) = (e_1, e_2, \ldots, e_n)

所以 φ\varphi 为环同态
同时，取任意 (r1e1,r2e2,…,rnen)∈Re1×Re2×…×Ren(r_1 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_n e_n) \in Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n，定义

r=r1e1+r2e2+…+rnenr = r_1 e_1 + r_2 e_2 + \ldots + r_n e_n

则显然 φ(r)=(r1e1,r2e2,…,rnen)\varphi(r) = (r_1 e_1, r_2 e_2, \ldots, r_n e_n)，所以 φ\varphi 满射
再取 φ(r1)=φ(r2)\varphi(r_1) = \varphi(r_2)，则

r1ei=r2ei(i=1,2,…,n)r_1 e_i = r_2 e_i\quad (i = 1, 2, \ldots, n)

所以

r1=r1⋅1R=r1∑i=1nei=∑i=1nr1ei=∑i=1nr2ei=r2∑i=1nei=r2⋅1R=r2r_1 = r_1 \cdot 1_R = r_1 \sum_{i=1}^n e_i = \sum_{i=1}^n r_1 e_i = \sum_{i=1}^n r_2 e_i = r_2 \sum_{i=1}^n e_i = r_2 \cdot 1_R = r_2

所以 φ\varphi 单射，综上 φ\varphi 同构，即

R≅Re1×Re2×…×RenR \cong Re_1 \times Re_2 \times \ldots \times Re_n

□\square