# 理想

理想是环论中非常重要的概念
它类似于群论中的正规子群，允许在环上构造出商环
并且也可以通过研究理想的生成，PID 环，整环等概念来分析环的结构

定义
令 $R$ 为环，若非空子集 $J \subseteq R$ 满足

$J$ 成为 $(R,+)$ 的加法子群
$a \in J,\ r \in R \ \Longrightarrow \ ra \in J$

则称 $J$ 为 $R$ 的左理想。互换乘法可得到右理想。
同时满足左右理想即称为 理想 (Ideal)「イデアル」。

若 $R$ 是交换环，那么显然没有左右理想的区别

命题
令 $R$ 为环， $J$ 为 $R$ 的一个单侧理想

$1 \in J \iff J = R$

证明

( $\Rightarrow$ )
因为对于任意 $r \in R$ ，有 $r = r \cdot 1 \in J$ ，所以 $J = R$

( $\Leftarrow$ )
显然
$\square$

理想实际上比正规子群的约束力要强，正规子群的本质要求其实在于，对群内的共轭作用封闭
而理想则要求对环内的任意乘法封闭，理想内的任意一个元与环内所有元的乘积结果都必须被包含

示例

令映射 $f:[0,1] \to \mathbb R$ 全体构成的环为 $R$ ，则 $J_c = \{g \in R \mid g(c) = 0\}$ 为 $R$ 的一个理想。
取 $n \in \mathbb N$ ，则 $n\mathbb Z = \{nz \mid z \in \mathbb Z\}$ 为 $\mathbb Z$ 的一个理想。

特别地，对任意的环 $R$ ，取其中的元 $a_1,\cdots,a_n$ ，那么

$J = \{ \sum_{i=1}^n r_ia_i \mid r_i \in R \}$

会成为 $R$ 的一个左理想，称为由 $a_1,\cdots,a_n$ 生成的左理想，记作 $(a_1,\cdots,a_n)$

并且，如果生成元只有单个元 $a$ ，称这个理想为由 $a$ 生成的 主左理想 (Principal Left Ideal)「単項左イデアル」，记作 $Ra$ 或 $(a)$

主理想的概念非常常用，有以下容易验证的结论

$(1) = R$
(0) = \

零环会同时成为左右理想，称为零理想，也有的直接用 $0$ 来表示。

另外，有以下特殊的环结构

定义
若整环 $R$ 中任意一个理想均为主理想，则称 $R$ 为 主理想整环 (Principal Ideal Domain, PID)「主イデアル整域」。

PID 环的性质研究非常重要，将在素元分解中发挥重要作用

理想的性质同样可以用于分析除环结构，一般零环和环自身称为平凡理想

命题

$\text{非零环 } R \text{ 为除环} \iff R \text{ 不具有平凡左（或者右）理想}$

证明

( $\Rightarrow$ )
令 $R$ 为除环，取左理想 $I \subseteq R$
如果 $I \neq (0)$ ，那么 $J$ 内含有非零元 $a$ ，因为 $R$ 为除环， $a^{-1}$ 也在环中，进一步 $1$ 也在 $I$ 中，所以 $I = R$

( $\Leftarrow$ )
令环 $R$ 不具有平凡左理想，需要证明任意非零元 $a \in R$ 都有逆元
取由 $a$ 生成的主左理想 $(a)$ ，因为 $R$ 不具有平凡左理想，所以 $(a) = R$ ，所以存在 $r \in R$ ，使得 $ra = 1$
所以 $a$ 有左逆元
同理可证 $a$ 有右逆元，左逆元等于右逆逆元
$\square$

不具有平凡左（或者右）理想的环也被称为 简单环 (Simple Ring)「単純環」。

注意这个定理中可以将左理想换为右理想，但是不可以换成双侧理想。
例如 $R$ 是除环可以得到只有 $0$ 和 $R$ 作为理想，但是反过来不一定成立。
以下为一个经典例子

示例
取矩阵环 $M_n(F)$ ，其中 $F$ 为域， $n \geq 2$ 。
则 $M_n(F)$ 为简单环，但是不为除环

证明

（简单环）
定义单位行列 $E_{ij}$ 为第 $i$ 行第 $j$ 列为 $1$ ，其余为 $0$ 的矩阵

主左理想（只有第 $j$ 列可能非零）

$M_n(D)E_{ij} = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_2 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & d_n & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$

主右理想（只有第 $i$ 行可能非零）

$E_{ij}M_n(D) = \begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ d_1 & \cdots & d_n \\ 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$

若令 $I$ 为非零理想，则

$(a_ij^{-1}E_ii)AE_jj = Eij$

$\therefore \ \forall k,l: E_kl E_ij E_jl = E_kl \in I$

$\therefore I = M_n(D)$

（非除环）
取 $A = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$ ，则不存在 $B$ 使得 $AB = BA = E$ 。
$\square$

以下命题可以将左理想替换为右理想

命题
令 $I,J$ 为环 $R$ 的两个左理想，则

$I \cap J$ 为 $R$ 的一个左理想
$I + J = \{a + b \mid a \in I, b \in J\}$ 为 $R$ 的一个左理想
$IJ = \{ \sum_i a_ix_iy_i \mid (a_i) \subset R,(x_i) \subset I,(y_i) \subset J \}$ 为 $R$ 的一个左理想

证明

(1)
由子群性质， $I \cap J$ 成为加法子群
对于任意 $r \in R,\ a \in I \cap J$ ，有 $ra \in I, ra \in J$ ，所以 $ra \in I \cap J$ ，所以 $I \cap J$ 为 $R$ 的左理想

(2)
由子群性质， $I + J$ 成为加法子群
对于任意 $r \in R,\ i + j \in I + J$ ，有 $r(i+j) = ri + rj \in I + J$ ，所以 $I + J$ 为 $R$ 的左理想

(3)
由子群性质， $IJ$ 成为加法子群
对于任意 $r \in R,\ \sum_i a_ix_iy_i \in IJ$ ，有

$r(\sum_i a_ix_iy_i) = \sum_i (ra_i)x_iy_i \in IJ$

所以 $IJ$ 为 $R$ 的左理想
$\square$

# 商环

与商群类似，商环的构造建立在陪集之上，只不过对象是理想而不是正规子群

对于环 $R$ 的理想 $J$ ，定义等价关系

$a \sim b \iff a - b \in J$

记 $a \sim b$ 为 $a \equiv b \pmod J$ ，即为同余关系
$a$ 的等价类记为 $a + J$ ，称为以 $J$ 为模的陪集
陪集即为商环中的元

对于陪集 $a + J$ 和 $b + J$ ，定义加法和乘法为

$(a + J) + (b + J) = (a + b) + J$
$(a + J)(b + J) = ab + J$

由于同余关系保加法和乘法（参见同余方程章节），所以此处运算对陪集封闭，并且记陪集全体的集合为 $R/J$ ，那么非常容易验证 $R/J$ 对加法和乘法构成环结构
称 $R/J$ 为 商环 (Quotient Ring「商環」)

商环中

单位元为 $1_R + J$
零元为 $0_R + J$

特别地
若 $J=R$
则因为对于任意一个固定的 $a \in R: \forall b \in R,\ a - b \in R$ ，取 $a=0$ 可知 $R/J = \{0 + R\}$ ，成为零环

若 $J=(0)$
则因为对于任意一个固定的 $a \in R: \forall b \in R,\ a - b \in (0) \iff a = b$ ，即每个元的等价类只有自己，结构上 $R/J \cong R$

若 $R$ 是交换环，那其任意的商环也是交换环。

# 整数商环

有理整数环上的商环结构极其常用，具有充足的深入研究价值

取整数 $n \geq 2$ ，生成主理想 $(n) = n\mathbb Z$

构造商环 $\mathbb Z/n\mathbb Z$ ，该商环也常写为 $\mathbb Z_n$

习惯上，将含有整数 $a$ 的陪集 $a + n\mathbb Z$ 记为 $\overline a$
即 \overline a = \

显然， $\overline 0$ 成为 $\mathbb Z_n$ 的零元， $\overline 1$ 成为其单位元。

$\mathbb Z/n\mathbb Z$ 中一共有 $n$ 个元，可以穷举写出 $\mathbb Z_n = \{\overline 0, \overline 1, \ldots, \overline{n-1}\} \quad$

其元同样满足陪集的运算性质，即

$\overline a + \overline b = \overline{a + b} \quad$
$\overline a - \overline b = \overline{a - b} \quad$
$\overline a \cdot \overline b = \overline{ab} \quad$
$\overline a = \overline b \iff a \equiv b \mod n \quad$

对于超过 $n$ 的整数，一般都用同余关系转化为 $n$ 以内的数字表示
例如在 $\mathbb Z/8\mathbb Z$ 下 $\overline{35}$ 写作 $\overline{3}$ ( $35 \equiv 3 \mod 8$ )。 $\quad$

整数商环不是除环，也就是说不是每个元都一定有乘法逆元

示例
在 $\mathbb Z/6\mathbb Z$ 中，元 $\overline{2}$ 不存在乘法逆元

证明

穷举即可

$\overline{2} \cdot \overline{0} = \overline{0} \quad$
$\overline{2} \cdot \overline{1} = \overline{2} \quad$
$\overline{2} \cdot \overline{2} = \overline{4} \quad$
$\overline{2} \cdot \overline{3} = \overline{0} \quad$
$\overline{2} \cdot \overline{4} = \overline{2} \quad$
$\overline{2} \cdot \overline{5} = \overline{4} \quad$

没有任何一个结果为 $\overline{1}$ ，所以 $\overline{2}$ 不存在逆元
$\square$

判断整数商环中某个元是否可逆，可以简单的判断其与模数是否互素

命题
令 $n \geq 2$ ， $\overline a \in \mathbb Z/n\mathbb Z, \overline a \neq \overline 0$

$\overline a \text{ 在 } \mathbb Z/n\mathbb Z \text{ 中可逆} \iff \mathrm{gcd}(a,n) = 1$

证明

( $\Rightarrow$ ) 设 $\overline b$ 为 $\overline a$ 的逆元，则

$\overline{ab} = \overline 1 \Rightarrow ab \equiv 1 \pmod n \Rightarrow \exists k \in \mathbb Z,\ ab - 1 = kn$

$\Rightarrow ab + (-k)n = 1 \Rightarrow \mathrm{gcd}(a,n) = 1$

( $\Leftarrow$ ) 此时存在 $x,y \in \mathbb Z$ ，使得

$ax + ny = 1 \Rightarrow ax \equiv 1 \pmod n \Rightarrow \overline a \cdot \overline x = \overline 1$

所以 $\overline x$ 为 $\overline a$ 的逆元
$\square$

特别的，某些情况下整数商环可以成为域

命题
若 $p$ 为质数，则 $\mathbb Z/p\mathbb Z$ 成为域，常记作 $\mathbb F_p$

证明

设 $\overline a \in \mathbb Z/p\mathbb Z, \overline a \neq \overline 0$ ，则 $\mathrm{gcd}(a,p) = 1$ ，所以 $\overline a$ 可逆

$\exists b \in \mathbb Z,\ ab \equiv 1 \pmod p \Rightarrow \overline a \cdot \overline b = \overline 1$

所以 $\overline b$ 为 $\overline a$ 的逆元
$\square$

# 理想

# 商环

# 整数商环

【杂谈】正则表达式

【抽象代数】整环与域