(1)

$$\begin{aligned} R/I \text{ 为整环 } &\iff (a + I)(b + I) = I \implies a + I = I \text{ 或 } b + I = I \\ &\iff ab + I = I \implies a + I = I \text{ 或 } b + I = I \\ &\iff ab \in I \implies a \in I \text{ 或 } b \in I \iff I \text{ 为素理想} \end{aligned}$$

(2)
($\Rightarrow$) 令 $R/I$ 为域，取满足 $I \subsetneq J \subset R$ 的理想 $J$
则存在 $x \in J \setminus I$，使得 $x + I \in R/I$ 有逆元 $y + I$
所以 $1 + I = (x + I)(y + I) \in J/I$，即 $J = R$，所以 $I$ 为极大理想
($\Leftarrow$) 令 $I$ 为极大理想，取 $a \in I$
极大性给出对于 $(a) \subset I: (a) + I = R$
所以存在 $x \in R, y \in I$，使得 $1 = x a + y$，即 $x a + I \equiv 1 + I \pmod I$，得到 $x + I$ 为 $a + I$ 的逆元
所以 $R/I$ 为域
$\square$

因为 $R/I$ 为域，所以 $R/I$ 为整环，故 $I$ 为素理想

取包含 $I$ 的，不直接等于 $R$ 的理想全体 $\mathcal S = \{J \mid I \subseteq J \subsetneq R\}$，则对于任意链

$$J_1 \subseteq J_2 \subseteq J_3 \subseteq \ldots$$

其上确界 $J = \displaystyle\bigcup_{k} J_k$ 也为理想，且 $J \neq R$，所以由 Zorn 引理可知 $\mathcal S$ 中存在极大元 $M$，即 $M$ 为包含 $I$ 的极大理想

由于 $a, b \in (a,b) = (d)$，所以 $d \mid a$ 且 $d \mid b$
取任意 $a, b$ 的公约数 $c$，由于 $d \in (a,b)$，所以存在 $x,y \in R$，使得 $d = ax + by$
所以 $c \mid d$
$\square$

因为 $d(r_n)$ 为非负整数的单调递减数列，所以存在 $N \in \mathbb N$，使得 $d(r_{N+2}) = 0$，即 $r_{N+2} = 0$
所以 $r_{N} \mid r_{N-1}$，依次类推可知 $r_N \mid r_0$ 且 $r_N \mid r_1$
又因为对于任意 $c \in R$，若 $c \mid r_0$ 且 $c \mid r_1$，则 $c \mid r_2$，依次类推可知 $c \mid r_N$
$\square$

因为 $R$ 为 PID，所以存在 $d \in R$，使得 $(a,b) = (d)$
由前一命题可知 $d = \gcd(a,b)$，且存在 $x,y \in R$，使得 $d = ax + by$
$\square$

令 $d = \gcd(a,b)$，则存在 $x,y \in R$，使得 $d = ax + by$
因为 $a \mid bc$，所以存在 $k \in R$，使得 $bc = ak$
所以

$$d c = (a x + b y) c = a x c + b y c = a x c + y a k = a (x c + y k) \implies \frac{a}{d} \mid c$$

$\square$

令 Euclidean 整环 $R$，其中 Euclidean 函数为 $d$
取 $I \subset R$ 为理想，若 $I = \{0\}$，则直接为单项，令 $I \neq \{0\}$
取使得 $d(a)$ 最小的非零元 $a \in I$，对于任意 $b \in I$，带余除法给出

$${}^\exists q,r \in R \quad s.t. \quad b = a q + r, \ d(r) \lt d(a)$$

此时 $r = b - a q \in I$，由于 $d(a)$ 最小，故 $r = 0$
即 $b = a q$，所以 $I = (a)$，即 $R$ 为主理想整环
$\square$

(1) ($\Rightarrow$)
若 $a$ 为 $R$ 的单位，则存在 $a^{-1} \in R$，使得 $aa^{-1} = 1 \in (a)$
所以 $(a) = R$
(1) ($\Leftarrow$)
若 $(a) = R$，则 $1 \in (a)$，所以存在 $a^{-1} \in R$，使得 $aa^{-1} = 1$
所以 $a$ 为 $R$ 的单位
(2) ($\Rightarrow$)
若 $a$ 与 $b$ 为陪元，则存在 $u \in R^\times$，使得 $a = bu$
所以 $(a) = (bu) = (b)$
(2) ($\Leftarrow$)
若 $(a) = (b)$，则存在 $u \in R$，使得 $a = bu$
又因为 $(b) = (a)$，所以存在 $v \in R$，使得 $b = av$
所以 $a = bu = avu$，故 $vu = 1$，即 $u \in R^\times$
所以 $a$ 与 $b$ 为陪元
(3) ($\Rightarrow$)
若 $a$ 为 $b$ 的倍数，则存在 $c \in R$，使得 $a = bc$
所以对于任意 $r \in (b)$，存在 $t \in R$，使得 $r = bt = act \in (a)$
所以 $(b) \subset (a)$
(3) ($\Leftarrow$)
若 $(b) \subset (a)$，则存在 $c \in R$，使得 $b = ac$
所以 $a$ 为 $b$ 的倍数
(4) ($\Rightarrow$)
若 $a$ 为质元，则 $I = (a)$ 为 $R$ 的理想
若存在理想 $J$ 满足 $I \subsetneq J \subsetneq R$，则存在 $b \in R$ 使得 $J = (a,b)$
由于 $R$ 为整环，故存在 $c \in R$ 使得 $a = bc$
由于 $a$ 为质元，故 $b \in R^\times$ 或 $c \in R^\times$
若 $b \in R^\times$，则 $J = (a,b) = R$，矛盾
若 $c \in R^\times$，则 $a$ 与 $b$ 为陪元，故 $J = (a,b) = (a) = I$，矛盾
所以 $I$ 为极大理想
(4) ($\Leftarrow$)
若 $I = (a)$ 为极大理想，则若 $a = bc$，则存在理想 $J = (a,b)$ 满足 $I \subseteq J \subseteq R$
由于 $I$ 为极大理想，故 $J = I$ 或 $J = R$
若 $J = I$，则 $a$ 与 $b$ 为陪元，故 $c \in R^\times$
若 $J = R$，则存在 $x,y \in R$，使得 $1 = ax + by$
所以 $1 \in (b)$，故 $b \in R^\times$
所以 $a$ 为质元
$\square$

设 $p$ 为素元，且 $p = mn \in (p)$
由于 $(p)$ 为素理想，故 $m \in (p)$ 或 $n \in (p)$
当 $m \in (p)$ 时，存在 $t \in R$ 使得 $m = pt$
则 $p = mn = ptn$，由于 $R$ 为整环，故 $1 = tn$，即 $n \in R^\times$
同理当 $n \in (p)$ 时可得 $m \in R^\times$
$\square$

设 $p$ 为质元，则 $I = (p)$ 为 $R$ 的理想
若存在理想 $J$ 满足 $I \subsetneq J \subsetneq R$，则存在 $a \in R$ 使得 $J = (p,a)$
由于 $R$ 为 PID，故存在 $b \in R$ 使得 $p = ab$
由于 $p$ 为质元，故 $a \in R^\times$ 或 $b \in R^\times$
若 $a \in R^\times$，则 $J = (p,a) = R$，矛盾
若 $b \in R^\times$，则 $p \mid a$，故 $J = (p,a) = (p) = I$，矛盾
所以 $I$ 为极大理想，故 $p$ 为素元
反之设 $p$ 为素元，且 $p = mn$
由于 $(p)$ 为素理想，故 $m \in (p)$ 或 $n \in (p)$
当 $m \in (p)$ 时，存在 $t \in R$ 使得 $m = pt$
则 $p = mn = ptn$，由于 $R$ 为整环，故 $1 = tn$，即 $n \in R^\times$
同理当 $n \in (p)$ 时可得 $m \in R^\times$
$\square$

记 $\overline a = a + I \in R/I$，取映射

$$\varphi: R[x] \to (R/I)[x], \quad \varphi\left(\sum_{i=0}^n a_i x^i\right) = \sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i$$

则 $\varphi$ 为满同态，得到 $\ker \varphi = IR[x]$，由环同态定理得证
$\square$

($\Rightarrow$) 取质元 $p \in R$
取满足 $a, b \in (p)$ 的任意 $a, b \in R$，则

$${}^\exists c \in R, \quad s.t. \quad ab = pc$$

由于质元分解的唯一性，得到 $p \mid a$ 或 $p \mid b$
所以 $a \in (p)$ 或 $b \in (p)$，即 $(p)$ 为素理想，所以 $p$ 为素元
($\Leftarrow$) 取 $a \in R$ 的两种质元分解

$$a = p_1 p_2 \ldots p_m = q_1 q_2 \ldots q_n$$

其中 $p_i, q_j$ 均为质元
因为 $p_1$ 为素元，故 $p_1 \mid q_j$，所以 $p_1$ 与某个 $q_j$ 为陪元
不失一般性，设 $j = 1$，则存在 $u \in R^\times$，使得 $p_1 = q_1 u$
所以

$$p_2 \ldots p_m = u q_2 \ldots q_n$$

重复上述过程，得到 $m = n$，且对于任意 $i$，，$p_i$ 与 $q_{\sigma(i)}$ 为陪元
$\square$

令 $R$ 为 PID
取任意非零非单位元 $a \in R$
若 $a$ 为质元，则分解完成
否则，存在 $a = b_1 c_1$，其中 $b_1, c_1$ 均非单位元
若 $b_1$ 与 $c_1$ 都为质元，则分解完成
否则，继续分解

$$b_1 = b_2 c_2 \quad \text{或} \ c_1 = b_2' c_2'$$

重复上述过程，得到理想包含链

$$(a) \subset (b_1) \subset (b_2) \subset \ldots$$

由于 $R$ 为 PID，故存在 $N \in \mathbb N$，使得

$$(b_N) = (b_{N+1}) = (b_{N+2}) = \ldots$$

所以 $b_N$ 为质元，分解完成
所以任意非零非单位元均可分解为有限个质元的乘积
又因为 $R$ 为 PID，所以 PID 中质元生成极大理想
同时也生成素理想，成为素元
$\square$

(1)

$$\begin{aligned} N(\alpha \beta) &= N\left((a + b\sqrt{-m})(c + d\sqrt{-m})\right) \\ &= N\left((ac - mbd) + (ad + bc)\sqrt{-m}\right) \\ &= (ac - mbd)^2 - m(ad + bc)^2 \\ &= a^2 c^2 - 2mabcd + m^2 b^2 d^2 - m(a^2 d^2 + 2abcd + b^2 c^2) \\ &= a^2 c^2 - m b^2 d^2 - m a^2 d^2 - m b^2 c^2 \\ &= (a^2 - m b^2)(c^2 - m d^2) \\ &= N(\alpha) N(\beta) \end{aligned}$$

(2) ($\Rightarrow$)
令 $\alpha \in R^\times$，则存在 $\alpha^{-1}\beta \in R$，使得 $\alpha \beta = 1$

$$1 = N(1) = N(\alpha \beta) = N(\alpha) N(\beta)$$

所以 $N(\alpha) = \pm 1$
(2) ($\Leftarrow$)
令 $N(\alpha) = \pm 1$，则存在 $\overline{\alpha} \in R$，使得

$$\alpha \cdot \frac{\overline{\alpha}}{N(\alpha)} = 1$$

所以 $\alpha \in R^\times$
(3)
设 $N(\alpha)$ 为素数，且 $\alpha = \beta \gamma$
则

$$N(\alpha) = N(\beta) N(\gamma)$$

因为 $N(\alpha)$ 为素数，所以 $N(\beta) = \pm 1$ 或 $N(\gamma) = \pm 1$
由 (2) 可知 $\beta$ 或 $\gamma$ 为单位元，故 $\alpha$ 为质元
$\square$