Home 数学 抽象代数

# 群的定义

群其实是要求一个集合要能附带（封闭）某一种性质良好运算，也就是说：运算封闭，结合，可逆并且有单位元。

定义
对于一个集合 XX 和一个二元运算 ∗:X×X→X*:X \times X \rightarrow X，如果满足：

  • ∀a,b,c∈Xs.t.(a∗b)∗c=a∗(b∗c)\forall a,b,c \in X \quad s.t. \quad (a*b)*c = a*(b*c)

  • ∃e∈X,∀a∈Xs.t.a∗e=e∗a=a\exists e \in X, \forall a \in X \quad s.t. \quad a*e = e*a = a

  • ∀a∈X,∃b∈Xs.t.a∗b=b∗a=e\forall a \in X,\exists b \in X \quad s.t. \quad a*b = b*a = e

则称 (X,∗)(X,*) 为一个 群 (Group)「群」

群 (X,∗)(X,*) 在不需要特别明确运算种类时，简写为 XX。
比起群上的运算具体是什么样的性质，群论研究的是一般情况下群的性质和结构

如果这个运算是广义上的乘法，例如实数乘法，行列积，函数的复合，则称为乘法群
如果是广义上的加法，例如实数加法，直和，称为加法群
乘法群中通常将运算 a∗ba*b 简写为 abab
并且注意：由于不需要具体对群上的运算做出指定，所以一般情况下群中的运算也以 abab 的形式表示
如果将群中的运算记作 a+ba+b，在绝大多数情况下是为了强调其为加法群，并且满足交换律 a+b=b+aa+b=b+a
群本身是不要求运算可以交换的，可以交换的群被特别地称为 阿贝尔群 (Abelian Group)「可換群」

满足 ea=ae=aea = ae = a 的元 ee 称为单位元
满足 ab=ba=eab = ba = e 的元 bb 称为 aa 的逆元
这两类元各自唯一

命题
群的单位元是唯一的，群中任一元的逆元是唯一的

证明

（单位元唯一性）
令 e1,e2∈Xe_1,e_2 \in X 同时为 XX 的单位元，则有 e1e2=e1,e2e1=e2⇒e1=e2e_1e_2 = e_1,\quad e_2e_1 = e_2 \quad \Rightarrow \quad e_1=e_2
（逆元唯一性）
令 b,c∈Xb,c \in X 同时为 a∈Xa \in X 的逆元，则有 b=be=b(ac)=(ba)c=ec=cb = be = b(ac) = (ba)c =ec = c

在加法群下，一般记单位元为 00，逆元为 −a-a
乘法群下，一般记单位元为 11，逆元为 a−1a^{-1}
今后如果没有特别声明，群一律默认为乘法群表示法

可以将群理解为，一个【结果】的群体，和一个【操作】。
例如一个正方形，可以考虑一个运算（操作）是将它顺时针旋转 aa 度。
那么很明显，通过旋转可以得到不同朝向的正方形，记这些每个不同的正方形为集合内的一元，那么所有可能出现的情况全体构成一个群

自明地，这个集合对于旋转操作封闭，也就是说无论怎么旋转都不可能得到集合外的元
其次，定义最开始的状态的正方形为单位元，这个正方形可以通过旋转 00 度得到
并且，对于任意一个旋转得到的正方形，都可以通过反方向的旋转回到初始状态（单位元）

这样一来，满足了对运算封闭，结合律自明。单位元与任一元的逆元均存在
其成为群

示例
例 1：C,R,Z.Q\mathbb C,\mathbb R,\mathbb Z.\mathbb Q 构成加法群
例 2：Q∗:=Q∖{0},C∗,R∗\mathbb Q^*:=\mathbb Q \setminus \{0\},\mathbb C^*,\mathbb R^* 构成乘法群
例 3：绝对值为 11 的复数全体对复数乘法构成群
例 4：{−1,1}\{-1,1\} 构成乘法群
例 5：只含单位元的 {e}\{e\} 也构成群，并且这种群称为 单位群（平凡群） (Trivial Group)「自明群」

  • 无限个元的群称为 无穷群 (Infinite Group)「無限群」
  • 有限个元的群称为 有限群 (Finite Group)「有限群」

对于有限群，群里元的个数称为群的 阶 (Order)「位数」，记作 o(G)o(G) 或 ord(G)\mathrm{ord}(G) 或 ∣G∣|G|

阶数这个概念不止用于群，也用于群里面的元
对于群 GG 中的元 aa，使得 an=ea^n = e 的最小正整数 nn 称为 aa 的阶，记作 ord(a)\mathrm{ord}(a)
如果不存在这样的 nn，则称 aa 的阶为无穷大

记 GG 为群，GG 具有如下基本性质

命题
若 a1,a2,…,an∈Ga_1,a_2,\dots,a_n \in G，则

(a1a2…an)−1=an−1an−1−1…a1−1(a_1a_2\dots a_n)^{-1} = a_n^{-1}a_{n-1}^{-1}\dots a_1^{-1}

证明

首先，由于

(ab)⋅(b−1a−1)=a⋅(bb−1)⋅a−1=aa−1=e(ab) \cdot (b^{-1}a^{-1}) = a \cdot (bb^{-1}) \cdot a^{-1} = aa^{-1} = e

(b−1a−1)⋅(ab)=b−1⋅(a−1a)⋅b=b−1b=e(b^{-1}a^{-1}) \cdot (ab) = b^{-1} \cdot (a^{-1}a) \cdot b = b^{-1}b = e

所以 (ab)−1=b−1a−1(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}
使用数学归纳法，n=1n=1 时显然成立
假设 n=kn=k 时成立，即

(a1a2…ak)−1=ak−1ak−1−1…a1−1(a_1a_2\dots a_k)^{-1} = a_k^{-1}a_{k-1}^{-1}\dots a_1^{-1}

则 n=k+1n=k+1 时

(a1a2…akak+1)−1=(a1a2…ak)−1ak+1−1=ak+1−1ak−1ak−1−1…a1−1(a_1a_2\dots a_ka_{k+1})^{-1} = (a_1a_2\dots a_k)^{-1}a_{k+1}^{-1} = a_{k+1}^{-1}a_k^{-1}a_{k-1}^{-1}\dots a_1^{-1}

命题
∀a,b∈G,m,n∈N\forall a,b \in G, m,n \in \mathbb N

  • aman=am+na^m a^n = a^{m+n}

  • (ab)n=anbn(ab)^n = a^n b^n

证明

无意义，略

此处的指数法则表示针对乘法群
对于加法群，指数 an=naa^n = na

命题
a,x,x′,y,y′∈Ga,x,x',y,y' \in G

ax=ax′⇒x=x′ax = ax' \quad \Rightarrow \quad x = x'

ya=y′a⇒y=y′ya = y'a \quad \Rightarrow \quad y = y'

证明

在等式 ax=ax′ax = ax' 左边同乘 a−1(ax)=a−1(ax′)a^{-1}(ax) = a^{-1}(ax') 即可得到 x=x′x = x'，右边同样 □\square

此性质保证等式计算中可以约去相同元，称为简约律

# 子群

若 H⊂GH \subset G 关于 GG 上的运算构成群，则称 HH 为 GG 的 子群 (Subgroup)「部分群」，记作 H≤GH \leq G

命题
H≤GH \leq G 的充分必要条件为

  1. HH 中含有 GG 的单位元 ee
  2. 若 a,b∈Ha,b \in H，则 ab∈Hab \in H
  3. 若 a∈Ha \in H，则 a−1∈Ha^{-1} \in H
证明

（充分性）只需要考虑结合性，因为运算在群 GG 上面已经有结合性，并且 HH 是关于运算封闭的，所以自动满足条件
（必要性）显然成立 □\square

注意，条件 1 可以替换为要求 HH 非空，因为对于任意的在其中的元，他的逆元也存在，从而运算结果，单位元也存在。
此外，如果要求 HH 是有限的，那么还可以去掉条件 3

命题
令 H⊂GH \subset G 非空，如果 HH 关于 GG 的乘法封闭，则 HH 为 GG 的子群

证明

只需要证明条件 3 即可。若 a=ea = e 则显然成立，令 a≠ea \neq e，根据条件，有 ∀n∈N:an∈H\forall n \in \mathbb N : a^n \in H，由于 HH 不是无限的，所以肯定会有某个 r,s∈N，r>sr,s \in \mathbb N ， r > s 使得 ar=asa^r = a^s，由此 ar−s=ea^{r-s} = e 由于 a≠ea \neq e，显然有 r−s−1>0r-s-1 > 0 且 a−1=ar−s−1∈Ha^{-1} = a^{r-s-1} \in H

对于任意的群 GG，显然有他自己，以及单位群 {e}\{e\} 都会是他的子群，除此之外的子群叫做真子群

命题

H1,H2≤G⇒H1∩H2≤GH_1,H_2 \leq G \quad \Rightarrow \quad H_1 \cap H_2 \leq G

证明

只需要验证子群的三个条件即可，显然 e∈H1∩H2e \in H_1 \cap H_2，并且对于 a,b∈H1∩H2a,b \in H_1 \cap H_2，有 ab∈H1,ab∈H2ab \in H_1, ab \in H_2，所以 ab∈H1∩H2ab \in H_1 \cap H_2，同理对于 a∈H1∩H2a \in H_1 \cap H_2，有 a−1∈H1,a−1∈H2a^{-1} \in H_1, a^{-1} \in H_2，所以 a−1∈H1∩H2a^{-1} \in H_1 \cap H_2，从而 H1∩H2≤GH_1 \cap H_2 \leq G

示例
例 1：加法群 Z\mathbb Z 是加法群 Q\mathbb Q 的一个子群
例 2：乘法群 Q∗\mathbb Q^* 是乘法群 R∗\mathbb R^* 的一个子群
例 3（生成）：从群 GG 中取一部分元素构成一个集合 SS，并且取 SS 中的每个元素的逆元构成集合 S−1S^{-1}，令 S∪S−1S \cup S^{-1} 中的有限个元的运算结果的合集为集合 HH，那么 HH 会是 GG 的一个子群

# 生成群

例 3 中提到的群称为由 SS 生成的 GG 的子群，SS 称为 HH 的 生成系统 (Generating Set)「生成系」，记作 H=⟨S⟩H = \langle S \rangle

如果 HH 是由 GG 中的一个元 aa 生成的，那么称 HH 为 循环群 (Cyclic Group)「巡回群」，称 aa 为 HH 的 生成元 (Generator)「生成元」，记作 H=⟨a⟩H = \langle a \rangle

以下展示生成的步骤

  • 首先给出一个群 GG，从中取出一部分元素组成 SS，这就是我们的” 砖块 “
  • 然后把 SS 里面所有的元素的逆元也从 GG 里面取出来，组成 S^
  • 接着重复各种排列组合，将 S∪S−1S \cup S^{-1} 里面的元素进行有限个数的运算，得到的结果记为 HH，这个 HH 就是想要的生成群

当然非常显著的是，SS 的元越少需要的计算就指数级变少，通常来说考虑的都是一个元生成的循环群

示例
例 1：{1,−1}\{1,-1\} 是由 −1∈R∗-1 \in \mathbb R^* 生成的 R∗\mathbb R^* 的循环子群
例 2：{1,−1,i,−1}\{1,-1,i,-1\} 是由 i∈Ci \in \mathbb C 生成的 C∗\mathbb C^* 的循环子群
例 3：整数 mm 的整数倍全体的集合 {0,±m,±2m,…}\{0, \pm m,\pm 2m,\dots\} 是由 mm 生成的，加法群 Z\mathbb Z 的循环子群，并且该群一般记作 mZm\mathbb Z