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# 直积

直积的概念在集合论中早已出现过，在群论中我们关注集合作为运算的结构，所以我们可以通过给出直积上的运算来考察诸性质

给出群 G1,G2G_1,G_2 和直积 G1×G2G_1 \times G_2 如果我们定义对于这个集合上的两个元 (a1,a2),(b1,b2)(a_1,a_2),(b_1,b_2) 之间的运算（写作积的形式）为

(a1,a2)(b1,b2)=(a1b1,a2b2)(a_1,a_2)(b_1,b_2) = (a_1b_1,a_2b_2)

那么这个直积集合会关于这个运算成为群，并且其成为交换群的充要条件是 G1,G2G_1,G_2 都是交换群，记 G=G1×G2G = G_1 \times G_2，此时对于 GG 来说

  • 单位元 e=(e1,e2)e = (e_1,e_2)
  • 逆元 a−1=(a1−1,a2−1)a^{-1} = (a_1^{-1},a_2^{-1})

直积在群论中重要的应用是 直积分解 (Direct Product Decomposition)「直積分解」

定义
令 H1,H2≤GH_1,H_2 \leq G 为交换群，若任意 GG 的元 gg 可以被唯一地表示为 g=h1h2,h1∈H1,h2∈H2g = h_1h_2,\ h_1 \in H_1,\ h_2 \in H_2，则称 GG 可以被 H1,H2H_1,H_2 直积分解

命题
此时有 G≅H1×H2G \cong H_1 \times H_2，且通常来说此时我们将这两个群视为同一，即 G=H1×H2G = H_1 \times H_2

直积分解是研究群构造的强有力手段，但是依据定义证明直积分解是很麻烦的，更加常用的是以下等价条件

命题
令 H1,H2≤GH_1,H_2 \leq G，此时 GG 可以被 H1,H2H_1,H_2 直积分解的充要条件为

  • H1,H2◃GH_1,H_2 \triangleleft G
  • H1∩H2={e}H_1 \cap H_2 = \{e\} \quad
  • G=H1H2G = H_1H_2
证明

（必要性）
由于 G≅H1×H2G \cong H_1 \times H_2，所以 H1,H2◃GH_1,H_2 \triangleleft G，并且 H1∩H2={e}H_1 \cap H_2 = \{e\} 显然成立
对于任意 g∈Gg \in G，由定义存在唯一的 h1∈H1,h2∈H2h_1 \in H_1,h_2 \in H_2 使得 g=h1h2g = h_1h_2，所以 G=H1H2G = H_1H_2
（充分性）
对于任意 g∈Gg \in G，由 G=H1H2G = H_1H_2 可知存在 h1∈H1,h2∈H2h_1 \in H_1,h_2 \in H_2 使得 g=h1h2g = h_1h_2
若存在 h1′∈H1,h2′∈H2h_1' \in H_1,h_2' \in H_2 使得 g=h1′h2′g = h_1'h_2'，则有 h1−1h1′=h2h2′−1∈H1∩H2={e}h_1^{-1}h_1' = h_2h_2'^{-1} \in H_1 \cap H_2 = \{e\}，所以 h1=h1′,h2=h2′h_1 = h_1',\ h_2 = h_2'，唯一性得证

几何直观理解：GG 可以被 H1,H2H_1,H_2 的乘积覆盖，并且 H1,H2H_1,H_2 之间仅在原点相交（坐标平面被两个实数轴直积分解）

# 群上的作用

“任何群一定和某个置换群同构”

这是一个很强力的定理（Cayley 定理），一定程度上揭示了群的结构本质。这节会用群作用这个概念来给出这个定理

定义
对于群 GG 和一个集合 XX，若映射 f:G×X→X,(a,x)↦a⋅xf:G \times X \to X,\ (a,x) \mapsto a \cdot x 满足

  • ∀x∈X,s.t.e⋅x=x\forall x \in X,\ s.t. \ e \cdot x = x
  • ∀a,b∈G,∀x∈X,s.t.ab⋅x=a⋅(b⋅x)\forall a,b \in G,\ \forall x \in X,\ s.t. \ ab \cdot x = a \cdot (b \cdot x)
    则称 ff 为群 GG 集合 XX 的 作用 (Action)「作用」，记作 G↪XG \hookrightarrow X。也称集合 XX 为 G - 集合