命题
设 $n$ 的素因子分解为 $n = p_1^{k_1} p_2^{k_2} \cdots p_m^{k_m}$，则

$$\varphi(n) = n \left(1 - \frac{1}{p_1}\right)\left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_m}\right)$$

命题
设 $m,n$ 为正整数，且 $\gcd(m,n) = 1$，则

$$\varphi(mn) = \varphi(m) \varphi(n)$$

命题
设 $p$ 为素数，$k$ 为正整数，则

$$\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1} = p^k \left(1 - \frac{1}{p}\right)$$

命题
设 $n \geq 3$，则

$$\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$$

其中求和是对 $n$ 的所有正因子 $d$ 进行的
特别地，当 $n$ 为素数 $p$ 时，有

$$\varphi(1) + \varphi(p) = 1 + (p - 1) = p$$