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本节学习多元函数的路径积分

# 路径

设 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb R^n 为一条分段光滑曲线
可以将 c\boldsymbol c 视为一条从点 c(a)\boldsymbol c(a) 到点 c(b)\boldsymbol c(b) 的路径 (Path)

记

  • 与路径 c\boldsymbol c 方向相反的路径为 c−1\boldsymbol c^{-1}，即 c−1(t)=c(a+b−t),t∈[a,b]\boldsymbol c^{-1}(t) = \boldsymbol c(a + b - t), \ t \in [a,b]
  • 记由路径 c1\boldsymbol c_1 和 c2\boldsymbol c_2 拼接而成的路径为 c1⋅c2\boldsymbol c_1 \cdot \boldsymbol c_2，其中 c1\boldsymbol c_1 的终点与 c2\boldsymbol c_2 的起点相同

# 标量场的线积分

简单来说，映射值为单一数值的多元函数称为 标量场，即 f:Rn→Rf: \mathbb R^n \to \mathbb R

标量场的线积分本质与一般函数的思路相同：将路径分割为非常非常小的线段，计算每一小段线段上的函数代表值，并将这些值累加起来，得到整体的积分值
但是注意：为了保证积分能在路径上以恒定的速度前进（实数积分中这是默认的），需要对其进行弧长参数化后，再进行积分计算，也就是说微小线段不是 Δt\Delta t，而是 Δs\Delta s

并且，由于弧长参数的定义

s(t)=∫at∥c′(u)∥dus(t) = \int_a^t \|\boldsymbol c\,'(u)\| \,du

所以形式上有

ds=∥c′(t)∥dtds = \|\boldsymbol c\,'(t)\| \,dt

定义
对于连续的标量场 f:Rn→Rf: \mathbb R^n \to \mathbb R 和分段光滑曲线 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb R^n，定义其沿曲线 c\boldsymbol c 的 线积分 (Line Integral) 为

∫cfds:=∫abf(c(t))∥c′(t)∥dt\int_{\boldsymbol c} f \,ds := \int_a^b f(\boldsymbol c(t)) \|\boldsymbol c\,'(t)\| \,dt

特别地，取标量场 f(x)=1f(\boldsymbol x) = 1，则线积分为曲线的弧长

标量场的线积分不依赖于路径的参数化方式，只依赖于路径本身

命题
对于任意狭义单增的坐标变换 φ:[c,d]→[a,b]\varphi: [c,d] \to [a,b]，

∫cfds=∫c∘φfds\int_{\boldsymbol c} f \,ds = \int_{\boldsymbol c \circ \varphi} f \,ds

对于标量场的线积分，有以下基本性质

命题
令 c,c1,c2\boldsymbol c, \boldsymbol c_1, \boldsymbol c_2 为分段光滑曲线
对于任意的连续标量场 f,gf, g，以下成立

  • 方向不变 : ∫cfds=∫c−1fds\displaystyle \int_{\boldsymbol c} f \,ds = \int_{\boldsymbol c^{-1}} f \,ds
  • 路径拼接 : ∫c1⋅c2fds=∫c1fds+∫c2fds\displaystyle \int_{\boldsymbol c_1 \cdot \boldsymbol c_2} f \,ds = \int_{\boldsymbol c_1} f \,ds + \int_{\boldsymbol c_2} f \,ds
  • 线性性质 : ∫c(af+bg)ds=a∫cfds+b∫cgds\displaystyle \int_{\boldsymbol c} (af + bg) \,ds = a \int_{\boldsymbol c} f \,ds + b \int_{\boldsymbol c} g \,ds

但是注意：即使两路径的起点和终点相同，如果路径不同，线积分的值也可能不同，这体现了线积分的路径依赖性

示例
取 R2\mathbb R^2 上的标量场 f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^2 + y^2，以及两条路径

  • 以 (00)\binom{0}{0} 为起点，(12)\binom{1}{2} 为终点的直线段路径 c1(t)=(t2t),t∈[0,1]\boldsymbol c_1(t) = \binom{t}{2t}, \ t \in [0,1]
  • 以 (00)\binom{0}{0} 为起点，(10)\binom{1}{0} 为中点，(12)\binom{1}{2} 为终点的折线段路径 c2(t)={(t0),t∈[0,1](1t−1),t∈[1,3]\boldsymbol c_2(t) = \begin{cases}\binom{t}{0}, & t \in [0,1] \\ \binom{1}{t-1}, & t \in [1,3]\end{cases} \quad

计算对应的线积分

解

(1) 对于路径 c1\boldsymbol c_1，有

c1′(t)=(12),∥c1′(t)∥=5\boldsymbol c_1\,'(t) = \binom{1}{2}, \quad \|\boldsymbol c_1\,'(t)\| = \sqrt{5}

所以

∫c1fds=∫01f(c1(t))∥c1′(t)∥dt=∫01(t2+(2t)2)5dt=5∫015t2dt=553\begin{aligned} \int_{\boldsymbol c_1} f \,ds &= \int_0^1 f(\boldsymbol c_1(t)) \|\boldsymbol c_1\,'(t)\| \,dt \\ &= \int_0^1 \left(t^2 + (2t)^2\right) \sqrt{5} \,dt \\ &= \sqrt{5} \int_0^1 5t^2 \,dt = \frac{5\sqrt{5}}{3} \end{aligned}

(2) 对于路径 c2\boldsymbol c_2，有

c2′(t)={(10),t∈[0,1](01),t∈[1,3],∥c2′(t)∥={1,t∈[0,1]1,t∈[1,3]\boldsymbol c_2\,'(t) = \begin{cases} \binom{1}{0}, & t \in [0,1] \\ \binom{0}{1}, & t \in [1,3] \end{cases}, \quad \|\boldsymbol c_2\,'(t)\| = \begin{cases} 1, & t \in [0,1] \\ 1, & t \in [1,3] \end{cases}

所以

∫c2fds=∫01f(c2(t))∥c2′(t)∥dt+∫13f(c2(t))∥c2′(t)∥dt=∫01(t2+02)dt+∫13(12+(t−1)2)dt=5\begin{aligned} \int_{\boldsymbol c_2} f \,ds &= \int_0^1 f(\boldsymbol c_2(t)) \|\boldsymbol c_2\,'(t)\| \,dt + \int_1^3 f(\boldsymbol c_2(t)) \|\boldsymbol c_2\,'(t)\| \,dt \\ &= \int_0^1 (t^2 + 0^2) \,dt + \int_1^3 (1^2 + (t-1)^2) \,dt \\ &= 5 \end{aligned}

# 向量场的线积分

映射值为向量的多元函数称为 向量场，即 F:Rn→Rm\boldsymbol F: \mathbb R^n \to \mathbb R^m
向量场的线积分与标量场类似，但是需要将路径上每一点的向量场值与路径的切向量进行点积，得到一个标量值后再进行积分计算

定义
对于连续的向量场 F:Rn→Rn\boldsymbol F: \mathbb R^n \to \mathbb R^n 和分段光滑曲线 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb R^n，定义其沿曲线 c\boldsymbol c 的 线积分 (Line Integral) 为

∫cF⋅ds:=∫abF(c(t))⋅c′(t)dt\int_{\boldsymbol c} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} := \int_a^b \boldsymbol F(\boldsymbol c(t)) \cdot \boldsymbol c\,'(t) \,dt

向量场的线积分同样不依赖于路径的参数化方式，只依赖于路径本身

命题
对于任意狭义单增的坐标变换 φ:[c,d]→[a,b]\varphi: [c,d] \to [a,b]，

∫cF⋅ds=∫c∘φF⋅ds\int_{\boldsymbol c} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} = \int_{\boldsymbol c \circ \varphi} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s}

但是注意，不同于标量场的线积分，向量场的线积分与路径的方向有关

命题
令 c,c1,c2\boldsymbol c, \boldsymbol c_1, \boldsymbol c_2 为分段光滑曲线
对于任意的连续向量场 F,G\boldsymbol F, \boldsymbol G，以下成立

  • 方向 相关 : ∫c−1F⋅ds=−∫cF⋅ds\displaystyle \int_{\boldsymbol c^{-1}} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} = -\int_{\boldsymbol c} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} \quad
  • 路径拼接 : ∫c1⋅c2F⋅ds=∫c1F⋅ds+∫c2F⋅ds\displaystyle \int_{\boldsymbol c_1 \cdot \boldsymbol c_2} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} = \int_{\boldsymbol c_1} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} + \int_{\boldsymbol c_2} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} \quad
  • 线性性质 : ∫c(aF+bG)⋅ds=a∫cF⋅ds+b∫cG⋅ds\displaystyle \int_{\boldsymbol c} (a\boldsymbol F + b\boldsymbol G) \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} = a \int_{\boldsymbol c} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} + b \int_{\boldsymbol c} \boldsymbol G \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} \quad

示例
计算向量场

F(x,y)=(xy)\boldsymbol F(x,y) = \binom{x}{y}

沿路径 c\boldsymbol c 的线积分，其中路径 c\boldsymbol c 为以 (00)\binom{0}{0} 为起点，(12)\binom{1}{2} 为终点的折线段路径 c(t)={(t0),t∈[0,1](1t−1),t∈[1,3]\boldsymbol c(t) = \begin{cases}\binom{t}{0}, & t \in [0,1] \\ \binom{1}{t-1}, & t \in [1,3]\end{cases} \quad

解

(1) 对于路径 c\boldsymbol c 的第一段，有

c′(t)=(10)\boldsymbol c\,'(t) = \binom{1}{0}

所以

∫c1F⋅ds=∫01F(c(t))⋅c′(t)dt=∫01(t0)⋅(10)dt=∫01tdt=12\begin{aligned} \int_{\boldsymbol c_1} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} &= \int_0^1 \boldsymbol F(\boldsymbol c(t)) \cdot \boldsymbol c\,'(t) \,dt \\ &= \int_0^1 \binom{t}{0} \cdot \binom{1}{0} \,dt \\ &= \int_0^1 t \,dt = \frac{1}{2} \end{aligned}

(2) 对于路径 c\boldsymbol c 的第二段，有

c′(t)=(01)\boldsymbol c\,'(t) = \binom{0}{1}

所以

∫c2F⋅ds=∫13F(c(t))⋅c′(t)dt=∫13(1t−1)⋅(01)dt=∫13(t−1)dt=2\begin{aligned} \int_{\boldsymbol c_2} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} &= \int_1^3 \boldsymbol F(\boldsymbol c(t)) \cdot \boldsymbol c\,'(t) \,dt \\ &= \int_1^3 \binom{1}{t-1} \cdot \binom{0}{1} \,dt \\ &= \int_1^3 (t-1) \,dt = 2 \end{aligned}

所以整体线积分为

∫cF⋅ds=∫c1F⋅ds+∫c2F⋅ds=12+2=52\int_{\boldsymbol c} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} = \int_{\boldsymbol c_1} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} + \int_{\boldsymbol c_2} \boldsymbol F \cdot \mathrm{d\boldsymbol s} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}