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# 定义

导入复变函数的积分，需要按顺序导入以下内容

  • 复数值的实数变量函数在线段（区间）上的积分
  • 复变函数 ff 沿复平面上的 C1C^1 曲线路径积分
  • 复变函数沿路积分

对于 复数值 函数 f(t):[a,b]→Cf(t):[a,b] \to \mathbb C，由于实部虚部分别为实变函数，可以通过实变积分延拓

定义
若 Ref(t),Imf(t)\mathrm{Re} f(t),\ \mathrm{Im} f(t) 在区间 [a,b][a,b] 上可积，则称复数值 f(t)f(t) 在 [a,b][a,b] 上可积，定义其积分为

∫abf(t)dt=∫abRef(t)dt+i∫abImf(t)dt\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b \mathrm{Re} f(t) \, dt + i \int_a^b \mathrm{Im} f(t) \, dt

此时实际上可以由连续性推出可积性，注意以下逻辑

f连续⟺Ref,Imf连续⟹Ref,Imf可积⟺f可积f \text{ 连续} \iff \mathrm{Re} f, \mathrm{Im} f \text{ 连续} \implies \mathrm{Re} f, \mathrm{Im} f \text{ 可积} \iff f \text{ 可积}

并且显然定义给出

  • Re(∫abf(t)dt)=∫abRef(t)dt\mathrm{Re} \left(\int_a^b f(t) \, dt\right) = \int_a^b \mathrm{Re} f(t) \, dt
  • Im(∫abf(t)dt)=∫abImf(t)dt\mathrm{Im} \left(\int_a^b f(t) \, dt\right) = \int_a^b \mathrm{Im} f(t) \, dt

命题 积分基本性质
令 f,g:[a,b]→Cf,g:[a,b] \to \mathbb C 可积，则

  • （线性）对于 α,β∈C\alpha, \beta \in \mathbb C，有 ∫ab[αf(t)+βg(t)]dt=α∫abf(t)dt+β∫abg(t)dt\displaystyle \int_a^b [\alpha f(t) + \beta g(t)] \, dt = \alpha \int_a^b f(t) \, dt + \beta \int_a^b g(t) \, dt
  • （积分不等式）∣∫abf(t)dt∣≤∫ab∣f(t)∣dt\displaystyle \left| \int_a^b f(t) \, dt \right| \leq \int_a^b |f(t)| \, dt
证明

（线性性）

∫ab[αf(t)+βg(t)]dt=∫ab[αRef(t)+βReg(t)]dt+i∫ab[αImf(t)+βImg(t)]dt=α∫abRef(t)dt+β∫abReg(t)dt+i(α∫abImf(t)dt+β∫abImg(t)dt)=α∫abf(t)dt+β∫abg(t)dt\begin{aligned} \int_a^b [\alpha f(t) + \beta g(t)] \,dt &= \int_a^b [\alpha \mathrm{Re} f(t) + \beta \mathrm{Re} g(t)] \, dt +i \int_a^b [\alpha \mathrm{Im} f(t) + \beta \mathrm{Im} g(t)] \, dt \\ &= \alpha \int_a^b \mathrm{Re} f(t) \, dt + \beta \int_a^b \mathrm{Re} g(t) \, dt +i \left( \alpha \int_a^b \mathrm{Im} f(t) \, dt + \beta \int_a^b \mathrm{Im} g(t) \, dt \right) \\ &= \alpha \int_a^b f(t) \, dt + \beta \int_a^b g(t) \, dt \end{aligned}

（积分不等式）
取极坐标表示 ∫abf(t)dt=Reiθ\int_a^b f(t) \, dt = R e^{i\theta}，其中 R=∣∫abf(t)dt∣R = |\int_a^b f(t) \, dt|，则

∣∫abf(t)dt∣=e−iθ∫abf(t)dt=∫abe−iθf(t)dt∈R=∫abRe(e−iθf(t))dt≤∫ab∣e−iθf(t)∣dt=∫ab∣f(t)∣dt\begin{aligned} \left| \int_a^b f(t) \, dt \right| &= e^{-i\theta} \int_a^b f(t) \, dt\\ &= \int_a^b e^{-i\theta} f(t) \, dt \in \mathbb R\\ &= \int_a^b \mathrm{Re} \left( e^{-i\theta} f(t) \right) \, dt \\ &\leq \int_a^b \left| e^{-i\theta} f(t) \right| \, dt \\ &= \int_a^b |f(t)| \, dt \end{aligned}

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接下来考虑 ff 沿复平面上的 C1C^1 曲线路径积分
令 f:D→Cf:D \to \mathbb C 连续，D⊂CD \subset \mathbb C
曲线 γ:[a,b]→D\gamma:[a,b] \to D，规定以下记号

  • 曲线的像记为 γ∗\gamma^*
  • 曲线的起点记为 S(γ)S(\gamma)，终点记为 E(γ)E(\gamma)
  • 方向逆转的曲线记为 −γ-\gamma
  • 由两根曲线拼接而成的曲线记为 γ1∨γ2\gamma_1 \vee \gamma_2

定义
定义复变函数 ff 沿曲线 γ\gamma 的积分为

∫γf(z)dz:=∫abf(γ(t))γ′(t)dt\int_\gamma f(z) \, dz := \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt

由此，化归为实数变量，复数值的函数积分问题

命题 积分基本性质
令 f,g:D→Cf,g:D \to \mathbb C 连续，D⊂CD \subset \mathbb C
曲线 γ,γ1,γ2:[a,b]→D\gamma,\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to D 为 C1C^1 级，则

  • （反向路径）∫−γf(z)dz=−∫γf(z)dz\displaystyle \int_{-\gamma} f(z) \, dz = - \int_\gamma f(z) \, dz
  • （曲线拼接）∫γ1∨γ2f(z)dz=∫γ1f(z)dz+∫γ2f(z)dz\displaystyle \int_{\gamma_1 \vee \gamma_2} f(z) \, dz = \int_{\gamma_1} f(z) \, dz + \int_{\gamma_2} f(z) \, dz
  • （线性性）对于 λ∈C,∫γ[λf(z)+g(z)]dz=λ∫γf(z)dz+∫γg(z)dz\lambda \in \mathbb C, \ \displaystyle \int_\gamma [\lambda f(z) + g(z)] \, dz = \lambda \int_\gamma f(z) \, dz + \int_\gamma g(z) \, dz
  • （积分不等式）∣∫γf(z)dz∣≤∫γ∣f(z)∣∣dz∣≤ML(γ)\displaystyle\left| \int_\gamma f(z) \, dz \right| \leq \int_\gamma |f(z)| \, |dz| \leq M L(\gamma)，其中 M=max⁡z∈γ∗∣f(z)∣M = \max\limits_{z \in \gamma^*} |f(z)|
证明

（反向路径）

∫−γf(z)dz=∫abf(γ(a+b−t))γ′(a+b−t)dt=∫baf(γ(s))γ′(s)(−ds)(s=a+b−t)=−∫abf(γ(s))γ′(s)ds=−∫γf(z)dz\begin{aligned} \int_{-\gamma} f(z) \, dz &= \int_a^b f(\gamma(a+b-t)) \gamma'(a+b-t) \, dt \\ &= \int_b^a f(\gamma(s)) \gamma'(s) \, (-ds) \quad (s = a+b-t) \\ &= - \int_a^b f(\gamma(s)) \gamma'(s) \, ds \\ &= - \int_\gamma f(z) \, dz \end{aligned}

（曲线拼接）

∫γ1∨γ2f(z)dz=∫abf((γ1∨γ2)(t))(γ1∨γ2)′(t)dt=∫a(a+b)/2f(γ1(2t−a))⋅2γ1′(2t−a)dt+∫(a+b)/2bf(γ2(2t−b))⋅2γ2′(2t−b)dt=∫abf(γ1(s))γ1′(s)ds+∫abf(γ2(s))γ2′(s)ds(s=2t−aor2t−b)=∫γ1f(z)dz+∫γ2f(z)dz\begin{aligned} \int_{\gamma_1 \vee \gamma_2} f(z) \, dz &= \int_a^b f((\gamma_1 \vee \gamma_2)(t)) (\gamma_1 \vee \gamma_2)'(t) \, dt \\ &= \int_a^{(a+b)/2} f(\gamma_1(2t - a)) \cdot 2 \gamma_1'(2t - a) \, dt +\int_{(a+b)/2}^b f(\gamma_2(2t - b)) \cdot 2 \gamma_2'(2t - b) \, dt \\ &= \int_a^b f(\gamma_1(s)) \gamma_1'(s) \, ds + \int_a^b f(\gamma_2(s)) \gamma_2'(s) \, ds \quad (s = 2t - a \text{ or } 2t - b) \\ &= \int_{\gamma_1} f(z) \, dz + \int_{\gamma_2} f(z) \, dz \end{aligned}

（线性性）

∫γ[λf(z)+g(z)]dz=∫ab[λf(γ(t))+g(γ(t))]γ′(t)dt=λ∫abf(γ(t))γ′(t)dt+∫abg(γ(t))γ′(t)dt=λ∫γf(z)dz+∫γg(z)dz\begin{aligned} \int_\gamma [\lambda f(z) + g(z)] \, dz &= \int_a^b [\lambda f(\gamma(t)) + g(\gamma(t))] \gamma'(t) \, dt \\ &= \lambda \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt + \int_a^b g(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt \\ &= \lambda \int_\gamma f(z) \, dz + \int_\gamma g(z) \, dz \end{aligned}

（积分不等式）

∣∫γf(z)dz∣=∣∫abf(γ(t))γ′(t)dt∣≤∫ab∣f(γ(t))∣⋅∣γ′(t)∣dt=∫γ∣f(z)∣∣dz∣≤M∫ab∣γ′(t)∣dt=ML(γ)\begin{aligned} \left| \int_\gamma f(z) \, dz \right| &= \left| \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt \right| \\ &\leq \int_a^b |f(\gamma(t))| \cdot |\gamma'(t)| \, dt \\ &= \int_\gamma |f(z)| \, |dz| \\ &\leq M \int_a^b |\gamma'(t)| \, dt = M L(\gamma) \end{aligned}

□\square

最后是复变函数沿路积分，关于路定义如下
对于曲线 γ:[a,b]→C\gamma:[a,b] \to \mathbb C

  • 称 γ\gamma 为路径，若 γ\gamma 连续且可被分割为有限段 C1C^1 曲线的路径（分段光滑）
  • 称 γ\gamma 为闭路径，若 S(γ)=E(γ)S(\gamma) = E(\gamma)

定义
令 f:D→Cf:D \to \mathbb C 连续，D⊂CD \subset \mathbb C
对于路径 γ:[a,b]→D\gamma:[a,b] \to D，定义复变函数 ff 沿路径 γ\gamma 的积分为

∫γf(z)dz:=∑i=1n∫γif(z)dz\int_\gamma f(z) \, dz := \sum_{i=1}^n \int_{\gamma_i} f(z) \, dz

其中 γi\gamma_i 为将 γ\gamma 分割为的 nn 段 C1C^1 曲线

命题 积分基本性质
令 f,g:D→Cf,g:D \to \mathbb C 连续，D⊂CD \subset \mathbb C
路径 γ,γ1,γ2:[a,b]→D\gamma,\gamma_1,\gamma_2:[a,b] \to D 为路径，则

  • （反向路径）∫−γf(z)dz=−∫γf(z)dz\displaystyle \int_{-\gamma} f(z) \, dz = - \int_\gamma f(z) \, dz
  • （路径拼接）∫γ1∨γ2f(z)dz=∫γ1f(z)dz+∫γ2f(z)dz\displaystyle \int_{\gamma_1 \vee \gamma_2} f(z) \, dz = \int_{\gamma_1} f(z) \, dz + \int_{\gamma_2} f(z) \, dz
  • （线性性）对于 λ∈C,∫γ[λf(z)+g(z)]dz=λ∫γf(z)dz+∫γg(z)dz\lambda \in \mathbb C, \ \displaystyle \int_\gamma [\lambda f(z) + g(z)] \, dz = \lambda \int_\gamma f(z) \, dz + \int_\gamma g(z) \, dz
  • （积分不等式）∣∫γf(z)dz∣≤∫γ∣f(z)∣∣dz∣≤ML(γ)\displaystyle\left| \int_\gamma f(z) \, dz \right| \leq \int_\gamma |f(z)| \, |dz| \leq M L(\gamma)，其中 M=max⁡z∈γ∗∣f(z)∣M = \max\limits_{z \in \gamma^*} |f(z)|
证明

与分段光滑的定义类似，均可通过对每一段 C1C^1 曲线应用相应命题，然后将结果相加得到整体结论，证明过程与之前完全相同，此处省略
□\square

至此，复变函数的积分完整定义完毕