Home 数学 复分析

# 复数基本表示

复平面上数的表示：
对于复数 z∈Cz \in \mathbb C，可以表示为

z=x+iy,x,y∈Rz = x + iy ,\quad x,y \in \mathbb{R}

  • 实部：Re(z)=x\mathrm{Re}(z) = x
  • 虚部：Im(z)=y\mathrm{Im}(z) = y。
  • 模长：∣z∣2=Re2(z)+Im2(z)|z|^2 = \mathrm{Re}^2(z) + \mathrm{Im}^2(z)。
  • 偏角：θ\theta，其中 θ\theta 满足 \cos \theta = \dfrac{x}{|z|}, \quad \sin \theta = \dfrac{y}

注意偏角 arg⁡z\arg z 不是唯一的，角度绕完整一圈值一致，所以偏角本质是集合

arg⁡z={θ+2kπ∣k∈Z}\arg z = \{ \theta + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \}

将范围限制在 (−π,π](-\pi, \pi]，处于这个区间内的偏角称为 主值偏角 (Principal Argument)「主值偏角」，记作 Argz\mathrm{Arg} z。

偏角具有以下计算性质
z,w∈Cz,w \in \mathbb C \quad

  • arg(zw)=arg⁡z+arg⁡warg(zw) = \arg z + \arg w \quad
  • arg⁡(zw)=arg⁡z−arg⁡w\arg(\dfrac{z}{w}) = \arg z - \arg w \quad

注意此处的等号是作为集合的等号，对主值不一定成立

示例
令 z=−1,w=iz = -1,w = i 此时

Arg(zw)=Arg(−i)=−π2\text{Arg}(zw) = \text{Arg}(-i) = -\frac{\pi}{2}

但是

Argz+Argw=π+π2=3π2\text{Arg} z + \text{Arg} w = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}

两者并不相等，但是因为相差 2π2\pi，所以同属一个集合

# 极坐标表示

利用模长和偏角极坐标表示，取

  • 半径 r=∣z∣r = |z|
  • 角度 θ∈arg⁡z\theta \in \arg z

则复数可以表示为

z=reiθ=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = re^{i\theta} = r(\cos \theta + i \sin \theta)

在极坐标表示下的复数乘除法可以更方便的写为模长，偏角的计算
令 z1=r1eiθ1,z2=r2eiθ2z_1 = r_1 e^{i\theta_1}, z_2 = r_2 e^{i\theta_2}，则

  • z_1 z_2 = r_1 e^{i\theta_1} \cdot r_2 e^{i\theta_2} = r_1 r_2 e^
  • \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1 e^{i\theta_1}}{r_2 e^{i\theta_2}} = \dfrac{r_1}{r_2} e^

再改写为三角函数的形式，可以得到

  • z1z2=r1r2[cos⁡(θ1+θ2)+isin⁡(θ1+θ2)]z_1 z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]
  • z1z2=r1r2[cos⁡(θ1−θ2)+isin⁡(θ1−θ2)]\dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]

即

  • 复数乘法：模长相乘，偏角相加
  • 复数除法：模长相除，偏角相减

定理 De Moivre 定理
∀θ∈R,∀n∈Z{}^\forall \theta \in \mathbb R,{}^\forall n \in \mathbb Z \quad

(cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡nθ+isin⁡nθ(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta

证明

利用数学归纳法

  • 当 n=0n = 0 时，显然成立
  • 假设当 n=kn = k 时成立，即

(cos⁡θ+isin⁡θ)k=cos⁡kθ+isin⁡kθ(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos k\theta + i \sin k\theta

  • 则当 n=k+1n = k + 1 时，有

(cos⁡θ+isin⁡θ)k+1=(cos⁡θ+isin⁡θ)k(cos⁡θ+isin⁡θ)=(cos⁡kθ+isin⁡kθ)(cos⁡θ+isin⁡θ)=cos⁡kθcos⁡θ−sin⁡kθsin⁡θ+i(sin⁡kθcos⁡θ+cos⁡kθsin⁡θ)=cos⁡(k+1)θ+isin⁡(k+1)θ\begin{aligned} (\cos \theta + i \sin \theta)^{k+1} &= (\cos \theta + i \sin \theta)^k (\cos \theta + i \sin \theta) \\ &= (\cos k\theta + i \sin k\theta)(\cos \theta + i \sin \theta) \\ &= \cos k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta + i(\sin k\theta \cos \theta + \cos k\theta \sin \theta) \\ &= \cos (k+1)\theta + i \sin (k+1)\theta \end{aligned}

□\square