定理 留数定理（闭圆域）
选取邻域中心 $z_0 \in \mathbb C$ 和范围 $R \gt 0$
考虑奇点 $p_1, p_2, \ldots, p_n \in D(z_0, R)$
设函数 $f$ 在 $D(z_0, R) \setminus \{p_1, p_2, \ldots, p_n\}$ 上正则

令邻域的边界与最近的奇点距离为

$$\delta := \mathrm{dist}(\partial D(z_0, R), \{p_1, p_2, \ldots, p_n\})$$

则对于满足 $R - \delta \lt r \lt R$ 的任意半径 $r \gt 0$，设闭合环路积分路径

$$\gamma(t) = z_0 + r e^{it}, \quad t \in [0, 2\pi]$$

这将确保所有奇点都处于 $\gamma^*$ 内部

针对该路径，有

$$\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}(f, p_k)$$

定理 留数定理（扇形）
选取邻域中心 $z_0 \in \mathbb C$ 和范围 $R \gt 0$
选取边界上的点 $z_1, z_2 \in \partial D(z_0, R)$，并设角度 $\theta_1 \lt \theta_2$ 为

$$\begin{cases} \theta_1 := \arg(z_1 - z_0) \\ \theta_2 := \arg(z_2 - z_0) \end{cases}$$

将 $D(z_0, R)$ 按照角度 $\theta_1, \theta_2$ 划分为两个扇形区域 $D_1, D_2$，即

$$\begin{cases} D_1 := \{z \in D(z_0, R) \setminus \{z_0\} \mid \theta_1 \lt \arg(z - z_0) \lt \theta_2\} \\ D_2 := D(z_0, R) \setminus \overline{D_1} \end{cases}$$

考虑两扇形内的奇点

$$\begin{cases} p_1, p_2, \ldots, p_m \in D_1 \\ q_1, q_2, \ldots, q_n \in D_2 \end{cases}$$

设函数 $f$ 在 $D(z_0, R) \setminus \{p_1, p_2, \ldots, p_m, q_1, q_2, \ldots, q_n\}$ 上正则

分别取

• $\gamma_1$ 为环绕 $\partial D_1$ 的正向闭合路径
• $\gamma_2$ 为环绕 $\partial D_2$ 的正向闭合路径

那么有

• $\displaystyle\oint_{\gamma_1} f(z) \, dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^m \mathrm{Res}(f, p_k)$
• $\displaystyle\oint_{\gamma_2} f(z) \, dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}(f, q_k)$

定理 留数定理（矩形）
令 $L \subset \mathbb C$ 为矩形区域，$\ell$ 为其边界的正向闭合路径
考虑奇点 $p_1, p_2, \ldots, p_n \in L$
设函数 $f$ 在 $L \setminus \{p_1, p_2, \ldots, p_n\}$ 上正则，那么

$$\oint_{\ell} f(z) \, dz = 2 \pi i \sum_{k=1}^n \mathrm{Res}(f, p_k)$$

命题
取邻域中心 $z_0 \in \mathbb C$ 和范围 $R \gt 0$
考虑奇点 $z_0$，设函数 $f$ 在 $D(z_0, R) \setminus \{z_0\}$ 上正则
若 $z_0$ 为 $f$ 的 $k$ 阶极点，则有

• 当 $k = 1$ 时，有

$$\mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) f(z)$$

• 当 $k \geq 2$ 时，有

$$\mathrm{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} \frac{1}{(k-1)!} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} \left[ (z - z_0)^k f(z) \right]$$

命题
取邻域中心 $z_0 \in \mathbb C$ 和范围 $R \gt 0$
考虑奇点 $z_0$，设函数 $f$ 在 $D(z_0, R) \setminus \{z_0\}$ 上正则

若可以将 $f$ 分解为

$$f(z) = \frac{h(z)}{(z - z_0)^k}$$

其中 $h$ 在 $D(z_0, R)$ 上正则，那么

$$\mathrm{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(k-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{k-1}}{dz^{k-1}} h(z)$$

特别地，令

$$m := \min \{n \in \mathbb N \mid h^{(n)}(z_0) \neq 0\}$$

那么

• 当 $m \lt k$ 时，$z_0$ 为 $f$ 的 $(k - m)$ 阶极点，且
• 当 $m \geq k$ 时，$z_0$ 为 $f$ 的可去奇点

命题
取邻域中心 $z_0 \in \mathbb C$ 和范围 $R \gt 0$
考虑奇点 $z_0$，即函数 $f$ 在 $D(z_0, R) \setminus \{z_0\}$ 上正则

若可以将 $f$ 分解为

$$f(z) = \frac{h(z)}{g(z)}$$

其中 $g, h$ 在 $D(z_0, R)$ 上正则，且满足

• $g(z_0) = 0$
• $g'(z_0) \neq 0$

此时

$$\mathrm{Res}(f, z_0) = \frac{h(z_0)}{g'(z_0)}$$

特别地，若 $h(z_0) \neq 0$，则 $z_0$ 为 $f$ 的一阶极点