若 $\gamma$ 本身为 $C^1$ 曲线，则由于

$$\frac{d}{dt} F(\gamma(t)) = F'(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t) = f(\gamma(t)) \cdot \gamma'(t)$$

所以通过实数上的微积分基本定理，

$$\begin{aligned} \int_\gamma f(z) \, dz &= \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt \\ &= \int_a^b \frac{d}{dt} \mathrm{Re}(F(\gamma(t))) \, dt + i \int_a^b \frac{d}{dt} \mathrm{Im}(F(\gamma(t))) \, dt \\ &= \bigg[\mathrm{Re}(F(\gamma(t)))\bigg]_a^b + i \bigg[\mathrm{Im}(F(\gamma(t)))\bigg]_a^b \\ &= F(E(\gamma)) - F(S(\gamma)) \end{aligned}$$

对于一般的路径 $\gamma$，将其分割为 $n$ 段 $C^1$ 曲线 $\gamma_i$，则

$$\begin{aligned} \int_\gamma f(z) \, dz &= \sum_{i=1}^n \int_{\gamma_i} f(z) \, dz \\ &= \sum_{i=1}^n [F(E(\gamma_i)) - F(S(\gamma_i))] \\ &= F(E(\gamma)) - F(S(\gamma)) \end{aligned}$$

$\square$

内容较长且价值相对有限，暂时省略

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对于闭路径 $\gamma = \gamma_1 \vee (-\gamma_2)$，由 Cauchy 积分定理，有

$$\int_{\gamma} f(z) \, dz = 0$$

所以

$$\int_{\gamma_1} f(z) \, dz - \int_{\gamma_2} f(z) \, dz = 0$$

即

$$\int_{\gamma_1} f(z) \, dz = \int_{\gamma_2} f(z) \, dz$$

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任取 $z_0 \in D$ 固定，由于 $D$ 为开集，存在 $r \gt 0$，使得圆域 $D(z_0,r) \subset D$
定义曲线

$$\gamma(t) = (1-t)z_0 + t z ,\quad t \in [0,1]$$

以及原始函数

$$F(z) = \int_{\gamma} f(w) \, dw$$

那么该函数在范围内正则，可以无限次微分，并且第一次微分为 $f$
所以 $f$ 在 $D$ 上正则
$\square$

定义

$$\delta = \min_{i \neq j} |p_i - p_j|$$

$$\rho = \min_i \mathrm{dist}(p_i, \partial D)$$

$$r = \min\{\frac{\delta}{2}, \frac{\rho}{2}\}$$

那么此时 $\overline{D(p_i,r)} \subset D$，并且各圆域互不相交

固定 $i$，以及 $D_i = D(p_i,r)$

由于 $f$ 在 $D_i \setminus \{p_i\}$ 上正则，所以对于任意闭三角形 $\triangle \subset D_i \setminus \{p_i\}$，有

$$\int_{\partial \triangle} f(z) \, dz = 0$$

又由于 $f$ 在 $D$ 上连续，所以对于任意闭三角形 $\triangle \subset D_i$，有

$$\int_{\partial \triangle} f(z) \, dz = 0$$

所以由 Morera 定理，$f$ 在 $D_i$ 上正则
由于 $i$ 任意，所以 $f$ 在 $\bigcup_i D_i$ 上正则
接下来考虑 $D \setminus \bigcup_i \overline{D(p_i,r)}$ 上的正则性
对于任意闭三角形 $\triangle \subset D \setminus \bigcup_i \overline{D(p_i,r)}$，由于 $f$ 在 $D \setminus \{p_i\}$ 上正则，所以

$$\int_{\partial \triangle} f(z) \, dz = 0$$

所以由 Morera 定理，$f$ 在 $D \setminus \bigcup_i \overline{D(p_i,r)}$ 上正则
综上，$f$ 在 $D$ 上正则
$\square$

（正则性）
任取点 $a \in D$ 与半径 $r$，使得闭圆域 $\overline{D(a,r)} \subset D$
根据条件，$f_n$ 在 $\overline{D(a,r)}$ 上一致收敛于 $f$
并且各个 $f_n$ 在 $\overline{D(a,r)}$ 上连续
所以 $f$ 在 $\overline{D(a,r)}$ 上连续

那么对于内部的一个闭三角形 $\triangle \subset D(a,r)$，对各个 $f_n$，由 Cauchy 积分定理，有

$$\int_{\partial \triangle} f_n(z) \, dz = 0$$

即

$$0 = \lim_{n \to \infty} \int_{\partial \triangle} f_n(z) \, dz = \int_{\partial \triangle} \lim_{n \to \infty} f_n(z) \, dz = \int_{\partial \triangle} f(z) \, dz$$

所以由 Morera 定理，$f$ 在 $D(a,r)$ 上正则
由于 $a$ 任意，所以 $f$ 在 $D$ 上正则
（导数一致收敛性）
任取紧子集 $K \subset D$，紧致性给出存在有限个点 $a_i \in D$ 以及对应半径 $r_i$，使得

$$K \subset \bigcup_i D(a_i,r_i) \subset D$$

那么对于任意 $z \in K$，存在 $i$，使得 $z \in D(a_i,r_i)$
由 Cauchy 微积分公式，有

$$f_n^{(k)}(z) = \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_i} \frac{f_n(w)}{(w - z)^{k+1}} \, dw$$

其中 $\gamma_i$ 为以 $a_i$ 为圆心，$r_i$ 为半径的圆周
由于 $f_n$ 在 $\overline{D(a_i,r_i)}$ 上一致收敛于 $f$，所以

$$\begin{aligned} \lim_{n \to \infty} f_n^{(k)}(z) &= \lim_{n \to \infty} \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_i} \frac{f_n(w)}{(w - z)^{k+1}} \, dw \\ &= \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_i} \lim_{n \to \infty} \frac{f_n(w)}{(w - z)^{k+1}} \, dw \\ &= \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma_i} \frac{f(w)}{(w - z)^{k+1}} \, dw \\ &= f^{(k)}(z) \end{aligned}$$

并且由于一致收敛，可以交换极限与积分号，所以对于任意 $\varepsilon \gt 0$，存在 $N$，当 $n \gt N$ 时，有

$$|f_n^{(k)}(z) - f^{(k)}(z)| \lt \varepsilon$$

所以 $f_n^{(k)}$ 在 $K$ 上一致收敛于 $f^{(k)}$
$\square$

由 Cauchy 积分公式，有

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz$$

参数化曲线 $z = z_0 + r e^{i\theta},\ \theta \in [0,2\pi]$，则

$$\begin{aligned} f(z_0) &= \frac{1}{2\pi i} \int_0^{2\pi} \frac{f(z_0 + r e^{i\theta})}{r e^{i\theta}} \cdot i r e^{i\theta} \, d\theta \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + r e^{i\theta}) \, d\theta \end{aligned}$$

$\square$

由闭圆域下的 Cauchy 微积分公式，有

$$f^{(n)}(z_0) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{|z - z_0| = r} \frac{f(z)}{(z - z_0)^{n+1}} \, dz$$

参数化曲线 $z = z_0 + r e^{i\theta},\ \theta \in [0,2\pi]$，则

$$\begin{aligned} |f^{(n)}(z_0)| &= \left| \frac{n!}{2\pi i} \int_0^{2\pi} \frac{f(z_0 + r e^{i\theta})}{(r e^{i\theta})^{n+1}} \cdot i r e^{i\theta} \, d\theta \right| \\ &= \left| \frac{n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{f(z_0 + r e^{i\theta})}{r^n e^{i n \theta}} \, d\theta \right| \\ &\leq \frac{n!}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{|f(z_0 + r e^{i\theta})|}{r^n} \, d\theta \\ &\leq \frac{n!}{r^n} \max_{t \in [0, 2\pi]} |f(z_0 + r e^{i\theta})| \end{aligned}$$

$\square$

由平均值定理，有

$$f(z_0) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(z_0 + r e^{i\theta}) \, d\theta$$

将等式两边取实部与虚部，得到结论
$\square$

定义复变函数 $f(z) = e^z$，则 $f$ 全纯
此时注意

$$\mathrm{Im}f(z) = e^{\mathrm{Re}(z)} \sin(\mathrm{Im}(z))$$

取 $z(t) = \dfrac{\pi}{4}i + e^{it}$，则 $\mathrm{Re}(z(t)) = \cos t$，$\mathrm{Im}(z(t)) = \dfrac{\pi}{4} + \sin t$
所以应用平均值定理，有

$$\begin{aligned} \int_0^{2\pi} e^{\cos t} \sin(\dfrac{\pi}{4} + \sin t) \, dt &= \int_0^{2\pi} \mathrm{Im}f(\dfrac{\pi}{4}i + e^{it}) \, dt \\ &= 2\pi \cdot \mathrm{Im}f(\dfrac{\pi}{4}i) \\ &= 2\pi \cdot \sin(\dfrac{\pi}{4}) \\ &= \sqrt{2} \pi \end{aligned}$$

$\square$

取有界的整函数 $f$，定义
$M := \sup\limits_{z \in \mathbb C} |f(z) \lt \infty$
此时，由 Cauchy 估计不等式，可以得到，对于任意 $r$

$$|f'(z_0)| \leq \frac{1}{r} \max_{t \in [0, 2\pi]} |f(z_0 + r e^{i\theta})| \leq \frac{M}{r} \to 0 \quad (r \to \infty)$$

所以 $f'(z_0) = 0$，由于 $z_0$ 任意，所以 $f$ 为常值函数
$\square$

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