Home 数学 复分析

相较于 Taylor 展开，Laurent 展开允许函数在某一圆盘范围内有奇点存在
即只需要在环域内解析即可
定义环域

A(a;r,R)={z∈C∣r<∣z−a∣<R}A(a; r, R) = \{z \in \mathbb C \mid r \lt |z - a| \lt R\}

其中 0≤r<R≤+∞0 \leq r \lt R \leq +\infty
aa 为环域的中心，rr 为内半径，RR 为外半径

# Laurent 展开

定理 Laurent 展开
取环域 A(a;r,R)⊂CA(a; r, R) \subset \mathbb C，若函数 f:A(a;r,R)→Cf: A(a; r, R) \to \mathbb C 在该环域上解析，则

f(z)=∑n=−∞∞cn(z−a)n,z∈A(a;r,R)f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z - a)^n, \quad z \in A(a; r, R)

其中系数 cnc_n 由下式给出

cn=12πi∮∣w−a∣=ρf(w)(w−a)n+1dw,r<ρ<Rc_n = \frac{1}{2\pi i} \oint_{|w - a| = \rho} \frac{f(w)}{(w - a)^{n+1}} dw, \quad r \lt \rho \lt R

该展开称为 Laurent 展开 (Laurent expansion)「ローラン展開」
其中右边的级数称为 Laurent 级数

  • 负幂部分称为 主部 (principal part)「主要部」
  • 非负幂部分称为 正则部 (regular part)「正則部」

特别地，称 c−1c_{-1} 为函数 ff 在点 aa 处的 留数 (residue)「留数」，记为 Res(f,a)\mathrm{Res}(f, a)

Laurent 级数在定义域内绝对，广义一致收敛

环域的中心，内外半径的改变都会导致 Laurent 级数的系数发生变化

若在外半径的圆盘内部，函数正则，则 Laurent 级数的主部全部为零，退化为 Taylor 级数