本章主要内容为以微分形式为对象的计算

以下计算均建立在开集 $U$ 上的 $k$ 形式： $\Omega^k(U)$ 上
对于 $\alpha, \beta \in \Omega^k(U)$，记

$$\alpha = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n f_{i_1\cdots i_k} dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} \\ \beta = \sum_{j_1,\dots,j_k=1}^n g_{j_1\cdots j_k} dx_{j_1} \wedge \cdots \wedge dx_{j_k}$$

# 外积

定义 $U$ 上的 $k+l$ 形式 $\alpha \wedge \beta$ 为

$$\alpha \wedge \beta := \sum_{i_1, \dots, i_k=1}^n \ \sum_{j_1,\dots,j_\ell=1}^n \bigl( f_{i_1 \cdots i_k} \, g_{j_1 \cdots j_\ell} \bigr) \; dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} \wedge dx_{j_1} \wedge \cdots \wedge dx_{j_\ell}.$$

并称为 $\alpha$ 与 $\beta$ 的 外积 (exterior product)

这个式子可能让人望而生畏，但是只要明白原理：乘法分配律
就非常浅显易懂了

外积计算满足分配律

$$(\alpha_1 + \alpha_2) \wedge \beta = \alpha_1 \wedge \beta + \alpha_2 \wedge \beta$$

$$\alpha \wedge (\beta_1 + \beta_2) = \alpha \wedge \beta_1 + \alpha \wedge \beta_2$$

以及结合律

$$(\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma = \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma)$$

并且与微分形式的次数相同，继承了行列式的交代性
对于 $k$ 形式 $\alpha$ 和 $\ell$ 形式 $\beta$，有

$$\beta \wedge \alpha = (-1)^{k \ell} \, \alpha \wedge \beta$$

# 外微分

提醒：请回忆数学分析中学习的多元函数的全微分计算方法，即

$$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \, dx_i$$

借由全微分的概念，对于 $U$ 上的 $k$ 形式

$$\omega = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n f_{i_1 \cdots i_k} \, dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k},$$

定义 $U$ 上的 $(k+1)$ 形式

$$d\omega = \sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n df_{i_1 \cdots i_k} \wedge dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k},$$

称为 $\omega$ 的 外微分 (Exterior derivative)

$0$ 形式的外微分等于其作为函数的全微分

同样，不要被复杂的式子吓退，只需要以实例看出分配法则是如何作用的

并且，针对三维空间上的外微分计算，通过利用算子 $\nabla$ 实现的梯度，散度和旋度，可以大幅简化计算过程
以下令

$$\boldsymbol F = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix},\quad d\boldsymbol x = \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix}$$

$0$ 形式 $f$ 的外微分

$$\begin{aligned} df &= \frac{\partial f}{\partial x} \, dx + \frac{\partial f}{\partial y} \, dy + \frac{\partial f}{\partial z} \, dz \\ &= (\mathrm{grad} \, f) \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \\ &= (\nabla f) \cdot \begin{pmatrix} dx \\ dy \\ dz \end{pmatrix} \end{aligned}$$

$1$ 形式 $\alpha = f_1 \, dx + f_2 \, dy + f_3 \, dz = \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol x$ 的外微分

$$\begin{aligned} d\alpha &= df_1 \wedge dx + df_2 \wedge dy + df_3 \wedge dz \\ &= (f_{1x} \, dx + f_{1y} \, dy + f_{1z} \, dz) \wedge dx \\ &\quad + (f_{2x} \, dx + f_{2y} \, dy + f_{2z} \, dz) \wedge dy \\ &\quad + (f_{3x} \, dx + f_{3y} \, dy + f_{3z} \, dz) \wedge dz \\ &= (f_{2x} - f_{1y}) \, dx \wedge dy + (f_{3y} - f_{2z}) \, dy \wedge dz + (f_{1z} - f_{3x}) \, dz \wedge dx \\ &= \begin{pmatrix} f_{2x} - f_{1y} \\ f_{3y} - f_{2z} \\ f_{1z} - f_{3x} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx \wedge dy \\ dy \wedge dz \\ dz \wedge dx \end{pmatrix} \\ &= (\mathrm{rot} \, \boldsymbol F) \cdot d\boldsymbol x \\ &= (\nabla \times \boldsymbol F) \cdot d\boldsymbol x \end{aligned}$$

$2$ 形式 $\omega = f_1 \, dy \wedge dz + f_2 \, dz \wedge dx + f_3 \, dx \wedge dy = \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol x$ 的外微分

$$\begin{aligned} d\omega &= df_1 \wedge dy \wedge dz + df_2 \wedge dz \wedge dx + df_3 \wedge dx \wedge dy \\ &= (f_{1x} \, dx + f_{1y} \, dy + f_{1z} \, dz) \wedge dy \wedge dz \\ &\quad + (f_{2x} \, dx + f_{2y} \, dy + f_{2z} \, dz) \wedge dz \wedge dx \\ &\quad + (f_{3x} \, dx + f_{3y} \, dy + f_{3z} \, dz) \wedge dx \wedge dy \\ &= (f_{1x} + f_{2y} + f_{3z}) \, dx \wedge dy \wedge dz \\ &= (\mathrm{div} \, \boldsymbol F) \, dx \wedge dy \wedge dz \\ &= (\nabla \cdot \boldsymbol F) \, dx \wedge dy \wedge dz \end{aligned}$$

总结：
$0$ 形式的外微分为梯度 $\mathrm{grad}$
$1$ 形式的外微分为旋度 $\mathrm{rot}$
$2$ 形式的外微分为散度 $\mathrm{div}$
也就是说
微分形式的外微分做到了统一梯度，旋度和散度

接下来是外微分的计算性质

对于外积的外微分，满足类似乘法微分法则的性质
对于 $k$ 形式 $\alpha$ 和任意形式 $\beta$，有

$$d(\alpha \wedge \beta) = d\alpha \wedge \beta + (-1)^k \alpha \wedge d\beta,$$

同时非常常用的计算性质：双重外微分为零，对任意形式成立

$$d(d\alpha) = 0$$

仅作提醒：梯度散度旋度的经典恒等式

$$\mathrm{rot}(\mathrm{grad} \, f) = 0$$

$$\mathrm{div}(\mathrm{rot} \, \boldsymbol F) = 0$$