Home 数学 微分几何

# 拉回

设 U⊂Rn,V⊂RmU\subset\mathbb R^n, \ V\subset\mathbb R^m 为开集，坐标分别为 (x1,…,xn)(x_1, \dots, x_n) 与 (y1,…,ym)(y_1, \dots, y_m)。取 C∞C^\infty 映射

φ=(φ1φ2⋮φn):V→U,\boldsymbol\varphi= \begin{pmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ \vdots \\ \varphi_n \end{pmatrix}: V \to U,

则每个 φi\varphi_i 为 VV 上的 C∞C^\infty 函数，其全微分可写为

dφi=∑j=1m∂φi∂yjdyj.d\varphi_i = \sum_{j=1}^m \frac{\partial \varphi_i}{\partial y_j}\,dy_j.

定义
对 UU 上的 kk - 形式

ω=∑i1<⋯<ikfi1⋯ikdxi1∧⋯∧dxik,\omega = \sum_{i_1 \lt \cdots \lt i_k} f_{i_1 \cdots i_k}\, dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k},

定义 VV 上的 kk - 形式

φ∗ω=∑i1<⋯<ik(fi1⋯ik∘φ)dφi1∧⋯∧dφik,\varphi^* \omega = \sum_{i_1 \lt \cdots \lt i_k} \left(f_{i_1 \cdots i_k}\circ \varphi\right) d\varphi_{i_1} \wedge \cdots \wedge d\varphi_{i_k},

称为 ω\omega 被 φ\varphi 的 拉回 (pull-back)「引き戻し」。

注意

  • 对 00 形式 f:U→Rf:U\to\mathbb R 有 φ∗f=f∘φ:V→R\varphi^* f = f \circ \varphi : V \to \mathbb R。
  • φ∗:Ωk(U)→Ωk(V),ω↦φ∗ω\varphi^* : \Omega^k(U) \to \Omega^k(V),\ \omega \mapsto \varphi^* \omega 为线性映射。

示例
计算微分形 ω=xdy∧dz\omega = xdy \wedge dz 被映射

φ:R2→R3,(uv)↦(xyz)=(ucos⁡vusin⁡vv2).\varphi : \mathbb R^2 \to \mathbb R^3,\quad \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u \cos v \\ u \sin v \\ v^2 \end{pmatrix}.

的拉回

解

φ∗(xdy∧dz)=(ucos⁡v)d(usin⁡v)∧d(v2)=ucos⁡v(sin⁡vdu+ucos⁡vdv)∧(2vdv)=2uvcos⁡vsin⁡vdu∧dv.\begin{aligned} \varphi^*(x\,dy\wedge dz) &=(u\cos v)\,d(u\sin v)\wedge d(v^2)\\ &=u\cos v\,(\sin v\,du+u\cos v\,dv)\wedge (2v\,dv)\\ &=2uv\cos v\sin v\; du\wedge dv. \end{aligned}

一般地，n=3,m=2n=3,\ m=2 时，对参数化

φ:R2→R3,(uv)↦(x(u,v)y(u,v)z(u,v))\varphi : \mathbb R^2\to\mathbb R^3,\qquad \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x(u,v) \\ y(u,v) \\ z(u,v) \end{pmatrix}

计算可得

{φ∗(dy∧dz)=(yuzv−yvzu)du∧dvφ∗(dz∧dx)=(zuxv−zvxu)du∧dvφ∗(dx∧dy)=(xuyv−xvyu)du∧dv\begin{cases} \varphi^* (dy \wedge dz) = (y_u z_v - y_v z_u)\, du \wedge dv \\ \varphi^* (dz \wedge dx) = (z_u x_v - z_v x_u)\, du \wedge dv \\ \varphi^* (dx \wedge dy) = (x_u y_v - x_v y_u)\, du \wedge dv \end{cases}

注意到系数等于偏导的外积分量，即

φu×φv=(xuyuzu)×(xvyvzv)=(yuzv−yvzuzuxv−zvxuxuyv−xvyu)\varphi_u \times \varphi_v = \begin{pmatrix} x_u \\ y_u \\ z_u \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x_v \\ y_v \\ z_v \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_u z_v - y_v z_u \\ z_u x_v - z_v x_u \\ x_u y_v - x_v y_u \end{pmatrix}

所以对于一般的 22 - 形式 ω=fdy∧dz+gdz∧dx+hdx∧dy\omega = f\, dy \wedge dz + g\, dz \wedge dx + h\, dx \wedge dy，有

φ∗ω=[f(yuzv−yvzu)+g(zuxv−zvxu)+h(xuyv−xvyu)]du∧dv\varphi^* \omega = \left[f (y_u z_v - y_v z_u) + g (z_u x_v - z_v x_u) + h (x_u y_v - x_v y_u)\right] du \wedge dv

化简即得

φ∗ω=φ∗[(fgh)⋅(dy∧dzdz∧dxdx∧dy)]=(f∘φg∘φh∘φ)⋅(φu×φv)du∧dv\varphi^* \omega = \varphi^* \left[ \begin{pmatrix} f \\ g \\ h \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dy \wedge dz \\ dz \wedge dx \\ dx \wedge dy \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} f \circ \varphi \\ g \circ \varphi \\ h \circ \varphi \end{pmatrix} \cdot (\varphi_u \times \varphi_v)\, du \wedge dv

特别地，若 m=n,V⊂Um=n,\ V \subset U，且 φ\varphi 称为包含映射，那么

φ∗ω=∑i1<⋯<ikn(fi1⋯ik∣V)dxi1∧⋯∧dxik=ω∣V\varphi^* \omega = \sum_{i_1 \lt \cdots \lt i_k}^n (f_{i_1 \cdots i_k}|_V) \, dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k} = \omega|_V

称为 ω\omega 在 VV 上的限制。

由于拉回本身就是依靠外积来定义，所以拉回可以外积 / 外微分进行运算交换（分配律）

命题
对于 UU 上的 kk - 形式 α\alpha 与 ℓ\ell - 形式 β\beta，有

φ∗(α∧β)=(φ∗α)∧(φ∗β)\varphi^* (\alpha \wedge \beta) = (\varphi^* \alpha) \wedge (\varphi^* \beta)

对于 UU 上的 kk - 形式 ω\omega，有

φ∗(dω)=d(φ∗ω)\varphi^* (d\omega) = d(\varphi^* \omega)

对于复合拉回，可以表示为两次拉回

命题
令 U⊂Rn,V⊂Rm,W⊂RpU \subset \mathbb R^n,\ V \subset \mathbb R^m,\ W \subset \mathbb R^p 为开集，φ:V→U,ψ:W→V\varphi: V \to U,\ \psi: W \to V 均为 C∞C^\infty 映射，则对于 UU 上的 kk - 形式 ω\omega，有

(φ∘ψ)∗ω=ψ∗(φ∗ω)(\varphi \circ \psi)^* \omega = \psi^* (\varphi^* \omega)

# 微分形上的积分