曲率是微分几何研究的中心内容

以下令曲线 $\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^3$ 为弧长参数化下的正则曲线

# 平面曲线

平面曲线的切向量 $\boldsymbol c'(s)$ 由曲线的移动方向唯一确定，但是法向量有两个方向可取

通常来说，固定选择右手系的方向，即切向量逆时针旋转 $90^\circ$ 的方向为法向量的方向

记 $\boldsymbol t(s) = \boldsymbol c'(s)$ 为切向量，弧长参数化下可知 $\boldsymbol t$ 为单位向量

此时 $(\boldsymbol t, \boldsymbol n)$ 构成了平面上的一个正交归一基底

并且将 $\|\boldsymbol c'(s)\| = 1$ 等式两边对 $s$ 求导，得到

$$\frac{d}{ds} \sqrt{\boldsymbol c'(s) \cdot \boldsymbol c'(s)} = 0 \implies \frac{\boldsymbol c''(s) \cdot \boldsymbol c'(s)}{\|\boldsymbol c'(s)\|} = 0 \quad$$

因此 $\boldsymbol c''(s)$ 与 $\boldsymbol c'(s)$ 正交，说明 $\boldsymbol c''(s)$ 一定在法向量方向上，即存在标量函数 $\kappa(s)$ 使得

$$\boldsymbol c''(s) = \kappa(s) \boldsymbol n(s)$$

由于 $\boldsymbol n$ 是单位向量，对两边取模长得到

$$\|\boldsymbol c''(s)\| = |\kappa(s)|$$

注意：该定义式给出的曲率一定是非负值，意味着符号不具备含义
与其相对，由

$$\boldsymbol c''(s) = \kappa(s) \boldsymbol n(s)$$

给出的曲率 $\kappa(s)$ 称为 带向曲率，可能取正可能取负也可能为零，符号表示曲线弯曲的方向

• 曲线为 向法向量 方向弯曲时，带向曲率为正
• 曲线为 背离法向量 方向弯曲时，带向曲率为负

在曲率不为零时，取其倒数

$$\rho(s) = \frac{1}{\kappa(s)} \quad$$

称为曲线在点 $\boldsymbol c(s)$ 处的 曲率半径，并称以点

$$\boldsymbol o(s) = \boldsymbol c(s) + \rho(s) \boldsymbol n(s)$$

为中心，$\rho(s)$ 为半径的圆为曲线在点 $\boldsymbol c(s)$ 处的 曲率圆。

几何上，曲率反应某一点处曲线向法向量方向的弯曲程度，可以理解为在这个方向上拉扯的力大小（加速度大小）

以下推导 非弧长参数化下 的曲率公式，即 $\boldsymbol c = \boldsymbol c(t)$
由弧长参数定义以及微积分基本定理，得到

$$s(t) = \int_{t_0}^t \|\boldsymbol c'(u)| du \implies \frac{ds}{dt} = \|\boldsymbol c'(t)\|$$

所以将 $s$ 视作 $t$ 的函数，利用链式法则，得到

$$\boldsymbol c'(s) = \frac{d\boldsymbol c}{ds}(s(t)) = \frac{d\boldsymbol c}{dt}(t) \cdot \frac{dt}{ds}$$

进一步计算可得

$$\boldsymbol c''(s) = \frac{d}{ds}\left(\boldsymbol c'(t) \cdot \frac{dt}{ds}\right) = \boldsymbol c''(t) \left(\frac{dt}{ds}\right)^2 + \boldsymbol c'(t) \cdot \frac{d^2 t}{ds^2}$$

将 $\frac{dt}{ds} = \frac{1}{\|\boldsymbol c'(t)\|}$ 代入上式，得到

$$\begin{aligned} \boldsymbol c''(s) &= \frac{\|\boldsymbol c'(t)\|^2 \boldsymbol c''(t) - (\boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c''(t)) \boldsymbol c'(t)}{\|\boldsymbol c'(t)\|^4} \\ &= \frac{(\boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c'(t)) \boldsymbol c''(t) - (\boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c''(t)) \boldsymbol c'(t)}{\|\boldsymbol c'(t)\|^4} \\ &= \frac{\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))}{\|\boldsymbol c'(t)\|^4} \quad \text{（向量三重积）} \end{aligned}$$

取模长

$$\begin{aligned} \kappa(t) = \|\boldsymbol c''(s(t))\| &= \frac{\|\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))\|}{\|\boldsymbol c'(t)\|^4} \\ &= \frac{\sqrt{\|\boldsymbol c'(t)\|^2 \|\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t)\|^2 - (\boldsymbol c'(t) \cdot (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t)))^2}}{\|\boldsymbol c'(t)\|^4} \\ &= \frac{\|\boldsymbol c'(t) \times \boldsymbol c''(t)\|}{\|\boldsymbol c'(t)\|^3} \end{aligned}$$

# 空间曲线

空间曲线相较于平面曲线，可运动的维度增加了一个，所以仅靠一个曲率无法锁定曲线的弯曲情况（曲率本身是标量函数，只能携带一份信息）

并且从法向量的定义开始，空间曲线并不像平面曲线那样只有两个可取方向，实际上虽然切向量本身还是可以唯一确定，但是与切向量垂直的向量有无数个，构成一整个平面

因此需要特别指定一个法向量方向

由于在曲线的研究中，有以下关系式

$$\boldsymbol c''(s) = \kappa(s) \boldsymbol n(s)$$

所以考虑借助二阶微分 $\boldsymbol c''(s)$ 来定义法向量方向，即令法向量

$$\boldsymbol n(s) = \frac{\boldsymbol c''(s)}{\|\boldsymbol c''(s)\|} \quad$$

那么在两个向量都被锁定的情况下，右手系的第三个基底向量可以由向量积唯一确定，即

$$\boldsymbol b(s) = \boldsymbol t(s) \times \boldsymbol n(s)$$

称为 副法向量 或 挠向量

此时 $(\boldsymbol t, \boldsymbol n, \boldsymbol b)$ 构成了空间中的一个正交归一基底，并称为 Frenet 标架

沿用平面曲线的定义，空间曲线的曲率仍然定义为

$$\kappa(s) = \|\boldsymbol c''(s)\|$$

如先前所说，空间曲线下，曲率仅可衡量某一平面上（实际上是 $\boldsymbol t, \boldsymbol n$ 所张成的平面）曲线的弯曲情况，对于超出该平面的变化，需要引入第二曲率进行分析，即挠率

挠率刻画的是曲线从局部平面弯出到空间的 “扭转” 程度。这个 “扭转” 体现于法向量的旋转方向
所以定义法向量微分的 $\boldsymbol b$ 方向分量 $\boldsymbol n' \cdot \boldsymbol b$ 为挠率，并且注意

$$\boldsymbol n \cdot \boldsymbol b = 0 \implies \boldsymbol n' \cdot \boldsymbol b = - \boldsymbol b' \cdot \boldsymbol n$$

• 曲率 $\kappa$ 控制曲线 “弯” 的程度
• 挠率 $\tau$ 控制曲线 “扭” 的速度

以下推导 非弧长参数化下 的挠率公式，即 $\boldsymbol c = \boldsymbol c(t)$
曲率与平面曲线一致，即

$$\kappa(t) = \frac{\|\boldsymbol c'(t) \times \boldsymbol c''(t)\|}{\|\boldsymbol c'(t)\|^3}$$

对于挠率，需先计算 $\boldsymbol n, \boldsymbol b, \boldsymbol n'$
首先由曲率推导过程中可知

$$\boldsymbol c'(s) = \frac{\boldsymbol c'(t)}{\|\boldsymbol c'(t)\|},\quad \boldsymbol c''(s) = \frac{\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))}{\|\boldsymbol c'(t)\|^4}$$

所以

$$\boldsymbol n(s) = \frac{\boldsymbol c''(s)}{\|\boldsymbol c''(s)\|} = \frac{\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))}{\|\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))\|}$$

$$\boldsymbol b(s) = \boldsymbol c'(s) \times \boldsymbol n(s) = \frac{\boldsymbol c'(t) \times \{\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))\}}{\|\boldsymbol c'(t)\|^2 \cdot \|\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))\|}$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol n'(s) &= \frac{d\boldsymbol n}{dt}(t) \cdot \frac{dt}{ds} \\ &= \frac{d}{dt} \frac{N}{\|N\|} \cdot \frac{1}{\|\boldsymbol c'(t)\|} \quad (N := \boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))) \\ &= \frac{\|N\|^2 \cdot N' - (N \cdot N') \cdot N}{\|N\|^3 \cdot \|\boldsymbol c'(t)\|} \\ &= \frac{N \times (N' \times N)}{\|N\|^3 \cdot \|\boldsymbol c'(t)\|} \end{aligned}$$

因此

$$\begin{aligned} \tau(t) &= \boldsymbol n'(s(t)) \cdot \boldsymbol b(s(t)) \\ &= \frac{[N \times (N' \times N)] \cdot [\boldsymbol c'(t) \times \{\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))\}]}{\|N\|^4 \cdot \|\boldsymbol c'(t)\|^3} \\ &= \frac{1}{\|N\|^4 \cdot \|\boldsymbol c'(t)\|^2} \cdot \{N \times (N' \times N)\} \cdot (\boldsymbol c'(t) \times N) \\ &= \frac{(N \cdot \boldsymbol c'(t)) \{N \times (N' \times N)\} - \{\boldsymbol c'(t) \cdot(N' \times N)\} \cdot N^2}{\|N\|^4 \cdot \|\boldsymbol c'(t)\|^2} \\ &= \frac{\boldsymbol c'(t) \cdot (N' \times N)}{\|N\|^2 \cdot \|\boldsymbol c'(t)\|^2} \quad \text{（因为 $N \cdot \boldsymbol c'(t) = 0$）} \\ &= \frac{N' \cdot (\boldsymbol c'(t) \times N)}{\|\boldsymbol c'(t)\|^4 \cdot \|\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t)\|^2} \\ \end{aligned}$$

分子部分

$$\begin{aligned} N' &= \boldsymbol c'' \times (\boldsymbol c'' \times \boldsymbol c') + \boldsymbol c' \times (\boldsymbol c''' \times \boldsymbol c' + \underbrace{\boldsymbol c'' \times \boldsymbol c''}_{0}) \\ &= \underbrace{-(\boldsymbol c''(t) \cdot \boldsymbol c''(t) + \boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c'''(t))}_{\text{第一分量}} \boldsymbol c'(t) + \underbrace{(\boldsymbol c''(t) \cdot \boldsymbol c'(t))}_{\text{第二分量}} \boldsymbol c''(t) + \underbrace{(\boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c'(t))}_{\text{第三分量}} \boldsymbol c'''(t) \\ \boldsymbol c'(t) \times N &= \boldsymbol c'(t) \times [\boldsymbol c'(t) \times (\boldsymbol c''(t) \times \boldsymbol c'(t))] \\ &= \boldsymbol c'(t) \times \{(\boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c'(t)) \boldsymbol c''(t) - (\boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c''(t)) \boldsymbol c'(t)\} \\ &= \underbrace{(\boldsymbol c'(t) \cdot \boldsymbol c'(t))}_{\text{分量}} (\boldsymbol c'(t) \times \boldsymbol c''(t)) \end{aligned}$$

所以二者做内积时，仅 $\boldsymbol c'''(t)$ 项有贡献，由标量三重积得到

$$N' \cdot (\boldsymbol c'(t) \times N) = \|\boldsymbol c'(t)\|^4 \boldsymbol c'''(t) \cdot (\boldsymbol c'(t) \times \boldsymbol c''(t)) = \|\boldsymbol c'(t)\|^4 \det(\boldsymbol c'(t), \boldsymbol c''(t), \boldsymbol c'''(t))$$

带回得到

$$\tau(t) = \frac{\det(\boldsymbol c'(t), \boldsymbol c''(t), \boldsymbol c'''(t))}{\|\boldsymbol c'(t) \times \boldsymbol c''(t)\|^2}$$