# 曲率定义

有了第一、第二基本形式和形算子，现在已经可以很好的去描述曲面的性质。第一个要面对的就是曲率 (Curvature)「曲率」。

如果利用第一、第二基本量进行计算：

$$K(\boldsymbol \sigma(u,v)) = \det( \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} ) = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}$$

$$H(\boldsymbol \sigma(u,v)) = \frac{1}{2}\mathrm{tr}( \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix}) = \frac{GL-2FM+EN}{2EG-2F^2}$$

根据特征值的性质，主曲率可由关于 $\kappa$ 的二次方程

$$\det(\kappa \mathrm{id}_{T_{\boldsymbol p}S} - \Sigma_{\boldsymbol p}) = 0$$

$$\kappa^2 - 2H(\boldsymbol p)\kappa + K(\boldsymbol p) = 0$$

求出，并且利用韦达定理进一步得到

$$\kappa_{1,2} = H \pm \sqrt{H^2 - K}$$

$$K = \kappa_1 \kappa_2$$

$$H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2}$$

高斯曲率，平均曲率本身是点 $\boldsymbol p \in S$ 的函数，所以理论上来说应该是 $x,y,z$ 的形式
但是如果 $\boldsymbol p$ 由参数化给出，就可以直接用参数化变量 $u,v$ 来表示
通常来说，在曲面给出了隐函数方程的情况下，选择用 $x,y,z$ 来表示

与曲线一样，刚体变换不会改变曲率，也不会改变第一、第二基本量。

但是曲率依赖于定向，所以如果将曲面反向定向，也就是说 $\boldsymbol n \to -\boldsymbol n$，则
形算子，平均曲率，主曲率会变号

$$\Sigma_{\boldsymbol p} \to -\Sigma_{\boldsymbol p},\quad H(\boldsymbol p) \to -H(\boldsymbol p), \quad \kappa_{1,2}(\boldsymbol p) \to -\kappa_{1,2}(\boldsymbol p)$$

高斯曲率不变

$$K(\boldsymbol p) \to K(\boldsymbol p)$$

# 曲率计算注意事项

在实际计算问题中，往往会遇到复杂的诸如 $\boldsymbol \sigma(u,v) = (u, v, f(u,v))$ 的参数表示。例如 $\boldsymbol \sigma(u,v) = (u, v, c\sqrt{\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + 1})$。此时依照定义计算第一、第二基本量会非常复杂，进一步让曲率计算困难。针对此类参数表示，有如下简化方法：

通过这种方式，可以避免在内部进行复杂的微分计算，而只需要计算 $f$ 的一阶二阶偏导数并在最后代入。

另一个希望注意的情况是，曲面片的定义域一定是开集，所以像球面、环面这样的闭曲面基本上难以直接找到一个能覆盖全场的参数表示。这就意味着，就算给了显式的参数表示，希望你求其任意点的曲率，你也不可以用参数微分来进行基本量的计算，因为这样算出来的曲率是残缺的，无法覆盖整个曲面。对于这类问题，只能使用特殊办法，并且有的时候为了简化计算需要一些注意力技巧。

# 曲率与曲面形状

本节研究一下曲率 $K(\boldsymbol p)$ 和 $H(\boldsymbol p)$ 究竟如何决定点 $\boldsymbol p$ 附近的曲面形状。

注意，由于刚体变换并不会改变几何性质。所 i 以完全可以为了简化计算而要求

$$\boldsymbol p = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol n(\boldsymbol p) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

此时曲面 $S$ 在原点与 $xy$ 平面相切

对于曲面方程 $f$，由于

$$\nabla f(\boldsymbol p) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \neq \boldsymbol 0$$

所以由隐函数定理可知，可以在 $\boldsymbol p$ 的附近找到 $C^\infty$ 函数 $z = g(x,y)$，使得 $S$ 成为 $z = g(x,y)$ 的图像，并且 $g(0,0) = 0$

此时由先前所说的隐函数下的曲率计算可知两个基本量为

$$\begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ,\quad \begin{pmatrix} L & M \\ M & N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{uu}(0,0) & g_{uv}(0,0) \\ g_{uv}(0,0) & g_{vv}(0,0) \end{pmatrix}$$

即曲率

$$K(\boldsymbol p) = g_{uu}(0,0)g_{vv}(0,0) - g_{uv}(0,0)^2$$

$$H(\boldsymbol p) = \frac{g_{uu}(0,0) + g_{vv}(0,0)}{2}$$

回想一下数学分析中学的多元函数的极值问题，就可以知道

• 当 $K(\boldsymbol p) > 0$ 时，$g$ 在 $\boldsymbol p$ 处取极值，且 $H(\boldsymbol p) > 0$ 时取极小值，$H(\boldsymbol p) < 0$ 时取极大值
• 当 $K(\boldsymbol p) < 0$ 时，$g$ 在 $\boldsymbol p$ 处不取极值

所以 $K,H$ 可以反映这一点以及周边的弯曲情况

• 如果 $K(\boldsymbol p) > 0$，称 $\boldsymbol p$ 为椭圆点 (Elliptic point)「楕円点」，$\boldsymbol p$ 附近的曲面像一个碗（$H(\boldsymbol p) > 0$ 时朝着 $-\boldsymbol n$ 的方向凸）或者一个倒扣的碗（$H(\boldsymbol p) < 0$ 时朝着 $\boldsymbol n$ 的方向凸）
• 如果 $K(\boldsymbol p) < 0$，称 $\boldsymbol p$ 为双曲点 (Hyperbolic point)「双曲点」，$\boldsymbol p$ 附近的曲面像一个马鞍
• 如果 $K(\boldsymbol p) = 0$，称 $\boldsymbol p$ 为抛物点 (Parabolic point)「放物点」，$\boldsymbol p$ 附近的曲面像一个折纸

接下来看一下主曲率又可以做什么

如果令 $\kappa_1, \kappa_2$ 为 $S$ 的主曲率，意味着对于形算子矩阵

$$\Sigma_{\boldsymbol p} = \begin{pmatrix} g_{uu}(0,0) & g_{uv}(0,0) \\ g_{uv}(0,0) & g_{vv}(0,0) \end{pmatrix}$$

存在一个一个 2 阶正交矩阵 $P$，使得（参照线性代数）

$$\Sigma_{\boldsymbol p} = P \begin{pmatrix} \kappa_1 & 0 \\ 0 & \kappa_2 \end{pmatrix} P^{-1}$$

利用这个 $P$，取变量代换

$$\begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} = P \begin{pmatrix} \tilde{u} \\ \tilde{v} \end{pmatrix}$$

（这实际上效果是旋转）

那么在 $(u,v) = (0,0)$ 附近用 Taylor 展开到二次项的时候，会发现

$$\begin{aligned} g(u,v) \bigg |_{(0,0)} &\simeq \frac{1}{2} g_{uu}(0,0) u^2 + g_{uv}(0,0) uv + \frac{1}{2} g_{vv}(0,0) v^2 \\ &= \frac{1}{2} (u,v) \begin{pmatrix} g_{uu}(0,0) & g_{uv}(0,0) \\ g_{uv}(0,0) & g_{vv}(0,0) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} (\tilde{u}, \tilde{v}) P^T \Sigma_{\boldsymbol p} P \begin{pmatrix} \tilde{u} \\ \tilde{v} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} (\tilde{u}, \tilde{v}) \begin{pmatrix} \kappa_1 & 0 \\ 0 & \kappa_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tilde{u} \\ \tilde{v} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} (\kappa_1 \tilde{u}^2 + \kappa_2 \tilde{v}^2) \end{aligned}$$

从线性代数的角度考虑，主曲率方向就是在优化计算时，想寻求的那个最优基底

几何性质上，如果 $\kappa_1 = \kappa_2$，称 $\boldsymbol p$ 为 肚脐点 (navel point)「臍点」
并且此时 $H^2 = K$

实际上可以证明，如果曲面 $S$ 上的每一个点都是肚脐点，那么 $S$ 一定是球面或者平面的一部分

# 法曲率

几何意义上，它是 $\boldsymbol \gamma(s)$ 所在的切平面 $T_{\boldsymbol \gamma(s)}S$ 中，法向量 $\boldsymbol n(\boldsymbol \gamma(s))$ 的高度
可以理解为曲线在法向量方向的弯曲程度

如果曲线可以被参数化为 $\boldsymbol \sigma(u(s), v(s))$，则

$$\boldsymbol \gamma'(s) = \boldsymbol \sigma_u(u,v)u' + \boldsymbol \sigma_v(u,v)v'$$

$$\begin{aligned} \boldsymbol \gamma''(s) &= \frac{d}{ds} \boldsymbol \sigma_u(u,v)u' + \frac{d}{ds} \boldsymbol \sigma_v(u,v)v' \\ &= \boldsymbol \sigma_{uu}(u,v)u'(s)^2 + 2\boldsymbol \sigma_{uv}(u,v)u'(s)v'(s) + \boldsymbol \sigma_{vv}(u,v)v'(s)^2 + \boldsymbol \sigma_u(u,v)u''(s) + \boldsymbol \sigma_v(u,v)v''(s) \\ &= (\boldsymbol \sigma_{uu}(u,v)u' + \boldsymbol \sigma_{uv}(u,v)v')u' + \boldsymbol \sigma_u(u,v)u'' \\ &+ (\boldsymbol \sigma_{uv}(u,v)u' + \boldsymbol \sigma_{vv}(u,v)v')v' + \boldsymbol \sigma_v(u,v)v'' \\ \end{aligned}$$

由于 $\boldsymbol n$ 和 $\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v$ 都正交，所以

$$\begin{aligned} \kappa_n(s) &= \boldsymbol \gamma''(s) \cdot \boldsymbol n(\boldsymbol \gamma(s)) \\ &= (\boldsymbol \sigma_{uu}(u,v) \cdot \boldsymbol n(u,v))u'(s)^2 + 2(\boldsymbol \sigma_{uv}(u,v) \cdot \boldsymbol n(u,v))u'(s)v'(s) + (\boldsymbol \sigma_{vv}(u,v) \cdot \boldsymbol n(u,v))v'(s)^2 \\ &= Lu'(s)^2 + 2Mu'(s)v'(s) + Nv'(s)^2 \end{aligned}$$

如果令 $\overline{\boldsymbol \gamma}(s) = {}^t(u(s), v(s))$，则

$$\kappa_n(s) = II_{\overline{\boldsymbol \gamma}(s)}\boldsymbol (\gamma'(s))$$

此时称 $\overline{\boldsymbol \gamma}$ 为 $\boldsymbol \gamma$ 所对应的地图上的曲线

如果 $\boldsymbol \gamma$ 不是弧长参数化的，即 $\boldsymbol \gamma' = \frac{d\boldsymbol \gamma}{dt}$
则

$$s = \int_{t_0}^t |\boldsymbol \gamma'(t)| dt$$

$$\frac{ds}{dt} = |\boldsymbol \gamma'(t)| ,\quad \frac{d}{ds} = \frac{1}{|\boldsymbol \gamma'(t)|} \frac{d}{dt}$$

由此可得法曲率

$$\kappa_n = \frac{1}{|\boldsymbol \gamma'(t)|} \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{|\boldsymbol \gamma'(t)|} \frac{d\boldsymbol \gamma}{dt} \right) \cdot \boldsymbol n(\boldsymbol \gamma) = \frac{1}{|\boldsymbol \gamma'(t)|^2} \frac{d^2\boldsymbol \gamma}{dt^2} \cdot \boldsymbol n(\boldsymbol \gamma)$$

且

$$\frac{d^2\boldsymbol \gamma}{dt^2} \cdot \boldsymbol n(\boldsymbol \gamma) = II_{\overline{\boldsymbol \gamma}(t)}\boldsymbol (\gamma'(t))$$

同时

$$\begin{aligned} |\boldsymbol \gamma'(t)|^2 &= |\boldsymbol \sigma_u u' + \boldsymbol \sigma_v v'|^2 \\ &= (\boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \sigma_u)u'^2 + 2(\boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \sigma_v)u'v' + (\boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \sigma_v)v'^2 \\ &= E u'^2 + 2F u'v' + G v'^2 \\ &= I_{\overline{\boldsymbol \gamma}(t)}\boldsymbol (\gamma'(t)) \end{aligned}$$

所以法曲率的计算也可由第一第二基本量的比值给出

$$\kappa_n = \frac{II_{\overline{\boldsymbol \gamma}(t)}\boldsymbol (\gamma'(t))}{I_{\overline{\boldsymbol \gamma}(t)}\boldsymbol (\gamma'(t))}$$