几何中的曲线在分析角度本质上是一个向量函数。
从 $\mathbb{R}$ 中取区间 $I$ ，用 $t$ 表示区间中的变量
那么曲线就可以表示为

$\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^n,\ t \mapsto \boldsymbol c(t)$

# 正则曲线

定义
若对于任意 $t \in I$

$\boldsymbol c'(t) \neq \boldsymbol 0$

则称 $\boldsymbol c$ 为 正则曲线 (regular curve)。

在值域中， $n=2$ 时称为平面曲线， $n=3$ 时称为空间曲线。实际上研究的是任意维度下的曲线

可以将曲线理解为一个路径，或者说是运动轨迹
参数 $t$ 可以理解为时间
随着时间的增加，向量 $\boldsymbol c(t)$ 的终点会在空间中描绘出这条曲线，或者也可以说有一个小质点在沿着这个曲线运动
既然谈到运动，自然会有速度

定义
曲线 $\boldsymbol c$ 的微分

$\boldsymbol c'(t) = \frac{d\boldsymbol c}{dt} = \left(\frac{dx_1}{dt}, \frac{dx_2}{dt}, \cdots, \frac{dx_n}{dt}\right)$

称为曲线 $\boldsymbol c$ 的 * 切向量 (tangent vector)，或者叫 速度向量 (velocity vector)
并且

$T_{\boldsymbol c(t)}\boldsymbol c = \{\lambda \boldsymbol c'(t) \mid \lambda \in \mathbb{R}\}$

称为曲线 $\boldsymbol c$ 在点 $\boldsymbol c(t)$ 处的 切空间 (tangent space)。

虽然切向量本身是 $\mathbb{R}^n$ 中的向量（以原点为起点的），但是往往在研究过程中，会将它平移到曲线的那个点上作为起点，视为几何向量
切空间也是一样的
切向量与切空间

那在作为路径的理解上，可以将正则曲线简单翻译为：一条连续并且是真的能靠一辆车开出来的路径
（在非正则点上，也就是 $\boldsymbol c'(t) = \boldsymbol 0$ ，也叫做奇点，路径会有很尖锐的瞬间变化，车是开不出来的）

注意：正则曲线并不要求单射，所以允许交叉

# 曲线的长度

那么考虑一下要如何计算曲线的长度

数学分析中已经非常熟悉了积分的概念：将一个量分割成无数个小份，然后将这些小份加起来
曲线的长度也可以用同样的思路来计算

想象一下在曲线上的一个点，它具有一个速度，那么在极短时间 $\Delta t$ 内，这个点大致会移动的距离就是

$\Delta s \approx |\boldsymbol c'(t)| \Delta t$

如果的时间间隔 $\Delta t$ 足够小，那么移动的方向误差就会无关紧要
此时 $\Delta s \to ds$ ，对其积分就可以得到

定义
对于可微曲线 $\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb{R}^n$ ，称

$L(\boldsymbol c) = \int_a^b |\boldsymbol c'(t)| dt$

为曲线 $\boldsymbol c$ 的 长度 (length)

现在拥有了曲线的长度，可以进入整个曲线分析最核心的概念了：弧长参数化

弧长参数化本质上是通过赋予曲线一个新的变量，从而使得曲线的变化速率恒定一致

定义
令正则曲线 $\boldsymbol c:[a,b] \to \mathbb{R}^n$
长度 $\ell = L(\boldsymbol c)$
定义映射

$s: [a,b] \to [0,\ell],\quad s(t) = \int_a^t |\boldsymbol c'(t)| dt$

称 $s$ 为曲线 $\boldsymbol c$ 的 弧长参数 (arc length parameter)。
正则性给出 $s$ 单调递增，所以存在反函数

$t: [0,\ell] \to [a,b],\quad t(s) = s^{-1}(t)$

此时称新的曲线

$\tilde{\boldsymbol c}: [0,\ell] \to \mathbb{R}^n,\quad \tilde{\boldsymbol c}(s) = (\boldsymbol c \circ t)(s)$

为曲线 $\boldsymbol c$ 的 弧长参数化 (arc length parameterization)。

弧长参数化具有以下性质

命题
对于弧长参数化的曲线 \tilde

$|\tilde{\boldsymbol c}'(s)| = 1$

且对于任意 $s_0 \in [0,l]$ ，曲线 $\tilde{\boldsymbol c} |_{[0,s_0]}$ 的长度都为 $s_0$

证明

由链式法则，注意求导为对 $s$ 求导

$\tilde{\boldsymbol c}'(s) = \boldsymbol c'(t(s)) \cdot t'(s)$

由反函数求导公式

$t'(s) = \frac{1}{s'(t(s))} = \frac{1}{|\boldsymbol c'(t(s))|}$

所以

$|\tilde{\boldsymbol c}'(s)| = |\boldsymbol c'(t(s))| \cdot |t'(s)| = |\boldsymbol c'(t(s))| \cdot \frac{1}{|\boldsymbol c'(t(s))|} = 1$

另外，对于任意 $s_0 \in [0,\ell]$ ，由长度定义

$L(\tilde{\boldsymbol c}|_{[0,s_0]}) = \int_0^{s_0} |\tilde{\boldsymbol c}'(s)| ds = \int_0^{s_0} 1 ds = s_0$

今后对于曲线的所有的性质的研究，基本上都是基于弧长参数化的曲线

示例
考虑曲线

$\boldsymbol c(t) = \begin{pmatrix} \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\[8pt] \dfrac{2t}{1+t^2} \\[8pt] 0 \end{pmatrix},\quad t \in \mathbb R$

计算其弧长参数化

解

计算切向量

$\boldsymbol c'(t) = \begin{pmatrix} -\dfrac{2t}{(1+t^2)^2} \\[8pt] \dfrac{2(1+t^2) - 4t^2}{(1+t^2)^2} \\[8pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{2t}{(1+t^2)^2} \\[8pt] \dfrac{2(1 - t^2)}{(1+t^2)^2} \\[8pt] 0 \end{pmatrix}$

弧长参数

$s(t) = \int_0^t |\boldsymbol c'(\tau)| d\tau = \int_0^t \frac{2}{1+\tau^2} d\tau = 2 \arctan t$

反函数

$t(s) = \tan \frac{s}{2}$

代入得到弧长参数化

$\tilde{\boldsymbol c}(s) = \boldsymbol c(t(s)) = \begin{pmatrix} \dfrac{1 - \tan^2 \frac{s}{2}}{1 + \tan^2 \frac{s}{2}} \\[8pt] \dfrac{2 \tan \frac{s}{2}}{1 + \tan^2 \frac{s}{2}} \\[8pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos s \\ \sin s \\ 0 \end{pmatrix}$

# 正则曲线

# 曲线的长度

【微分几何】曲面基本形式

【微分几何】拉回与微分形上的积分