进入本章内容前，请充分复习线性代数中线性变换与矩阵表示的相关内容

截至目前，微分几何对于曲面的研究主要是通过偏微分的组合，反复对曲面的参数化进行运算，从而分析曲面上的点在各个方向上的变化表现，从而得到曲率等重要性质

但是，除了分析式的运算以外，微分几何也可以利用线性代数作为工具进行分析
本节详细介绍代数式的计算如何在曲面研究中发挥重要作用

# Cartan 标架与联络

本节分析对象为切空间
以下令正则曲面 $(S,\boldsymbol n)$ 正向参数化 $\boldsymbol \sigma: D \to S$
固定曲面上一点 $\boldsymbol p = \boldsymbol \sigma(u,v) \in S$
取其切空间 $T_{\boldsymbol p}S$ 进行代数式分析

注意以下符号约定

• $\mathbb R^3$ 中的标准正交归一基底 $\mathscr E = \{\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2, \boldsymbol e_3\} \quad$
• 基于偏微分的线性独立性质得到的一组普通偏微分基底 $\mathscr B = \{\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v, \boldsymbol n\} \quad \quad$
• 基于 Gram-Schmidt 正交化构造的 $\mathbb R^3$ 中的正交归一基底 Cartan 标架 $\mathscr A = \{\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \boldsymbol \varepsilon_3\} \quad$
• 降低至二维时，记号上 $\mathscr A = \{\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2\}, \mathscr B = \{\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v\} \quad$

由于切空间可以视为二维线性空间，并且显然 $\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v$ 构成 $T_{\boldsymbol p}S$ 的一组基底（非正交归一）
回忆线性代数中构造正交归一基底的方法：Gram–Schmidt 正交化
为了更好地研究切空间上的表现，基于 Gram–Schmidt 正交化构造正交归一基底 $\mathscr A = \{\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \boldsymbol \varepsilon_3\} \quad$

注意法向量 $\boldsymbol n$ 时刻垂直于切空间，且已归一化，所以直接令其为第三个基底即可

$$\boldsymbol \varepsilon_1 = \frac{\boldsymbol \sigma_u}{\left|\boldsymbol \sigma_u\right|}, \quad \boldsymbol \varepsilon_2 = \frac{\boldsymbol \sigma_v - (\boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \varepsilon_1) \boldsymbol \varepsilon_1}{\left|\boldsymbol \sigma_v - (\boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \varepsilon_1) \boldsymbol \varepsilon_1\right|}, \quad \boldsymbol \varepsilon_3 = \boldsymbol n$$

此时，$\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2$ 构成 $T_{\boldsymbol p}S$ 上的正交归一基底，且 $\boldsymbol \varepsilon_3$ 与切空间正交

称 $\mathscr A$ 为伴随 $\boldsymbol \sigma$ 的 活动标架 (Moving Frame)「動標構」

Cartan Darboux 在曲率计算研究中，引入活动标架用于将复杂的曲率计算转为简单的代数计算，此标架也称 Cartan 标架

以下通过坐标转换，获取切空间中的任意向量 Cartan 标架下的新坐标

由于 $\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v \perp \boldsymbol n$，所以其在 $\boldsymbol \varepsilon_3$ 方向的投影为 $0$，所以有

$$\begin{cases} \boldsymbol \sigma_u = a_1^1 \boldsymbol \varepsilon_1 + a_1^2 \boldsymbol \varepsilon_2 + 0 \cdot \boldsymbol \varepsilon_3 \\ \boldsymbol \sigma_v = a_2^1 \boldsymbol \varepsilon_1 + a_2^2 \boldsymbol \varepsilon_2 + 0 \cdot \boldsymbol \varepsilon_3 \end{cases} \implies [\boldsymbol \sigma_u]_{\mathscr A} = \begin{pmatrix} a_1^1 \\ a_1^2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad [\boldsymbol \sigma_v]_{\mathscr A} = \begin{pmatrix} a_2^1 \\ a_2^2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

其中 $a_1^j = \boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \varepsilon_j, \quad a_2^j = \boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \varepsilon_j \quad (j = 1,2)$
$a$ 的下标指示偏导方向编号，上标指示基底方向编号

这表明，法向量方向的分量对于切空间的研究毫无帮助
去除掉第三成分，只考虑二维切空间上的表现，令矩阵

$$A = \begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 \\ a_1^2 & a_2^2 \end{pmatrix}$$

则 $A$ 此时满足

$$(\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v) = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2) A$$

这意味着，$A$ 是从基底 $\mathscr A = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2)$ 到基底 $\mathscr B = (\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v)$ 的过渡矩阵

并且此时

$$\begin{cases} \boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v = \det A \cdot \boldsymbol e_1 \times \boldsymbol e_2 = \det A \cdot \boldsymbol n \\ \|\boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v\| = \det A\end{cases}$$

回忆线性代数的知识，对于从表示从基底 $(\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2)$ 到基底 $(\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v)$ 的过渡矩阵 $A$，有如下坐标变换公式

$$[\boldsymbol v]_{\mathscr A} = A [\boldsymbol v]_{\mathscr B}$$

完成上述准备后，在切空间上构造坐标函数 $du, dv$
坐标函数会提取向量的标准坐标，也就是说对于二维向量 $\boldsymbol v = \binom{v_1}{v_2} \in T_{\boldsymbol p}S$，有

$$\begin{pmatrix} du(\boldsymbol v) \\ dv(\boldsymbol v) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$$

现在来分析参数 $\boldsymbol \sigma$ 的变化，也就是全微分。根据全微分的定义可以得到

$$d\boldsymbol \sigma = \boldsymbol \sigma_u \, du + \boldsymbol \sigma_v \, dv = (\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v) \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$$

在线性代数中，这意味着

$$[d\boldsymbol \sigma]_{\mathscr B} = \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$$

将其转变到 Cartan 标架下进行分析，利用坐标变换获取其在 Cartan 标架下的坐标

$$[d\boldsymbol \sigma]_{\mathscr A} = A [d\boldsymbol \sigma]_{\mathscr B} = A \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$$

定义其第一，第二成分分别为 $\theta^1, \theta^2$，即

$$\begin{pmatrix} \theta^1 \\ \theta^2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$$

此时 $\theta^j = a_1^j du + a_2^j dv \quad (j = 1,2)$

$\theta^j$ 是阶段性的成果，现在先来看看其运算性质

• 继承于楔积，自身与自身的运算为 $0$
• 互换顺序时，符号取反
• 与过度矩阵的行列式相关联

现在回到曲面研究，讨论 Cartan 标架（活动标架）的威力

顾名思义，活动标架的关键是 活动，对于曲面上的点 $\boldsymbol p$，在其沿曲面移动时，三个活动标架会 不同程度的变化
依此，曲面研究的重点：曲率 转化为各个活动标架的变化情况

为了分析活动标架变化的相对性，定义 联络 (Connection) 如下

$$\omega_i^j = d \boldsymbol \varepsilon_i \cdot \boldsymbol \varepsilon_j \quad (i,j = 1,2,3)$$

显然 $\omega_i^j$ 指示两个活动标架 $\boldsymbol \varepsilon_i, \boldsymbol \varepsilon_j$ 之间的变化关系，并且 存在固定方向，非对称性继承于楔积

联络的结构可以由下式看出

$$d\boldsymbol \varepsilon_i = \omega_i^1 \boldsymbol \varepsilon_1 + \omega_i^2 \boldsymbol \varepsilon_2 + \omega_i^3 \boldsymbol \varepsilon_3$$

简单来说，联络 $\omega_i^j$ 指示 $\boldsymbol \varepsilon_i$ 在变化过程中，沿 $\boldsymbol \varepsilon_j$ 方向的分量变化速度

联络具有以下性质

• 自己与自己的联络为 $0$
• 联络方向互换时，符号取反

接下来想办法引入曲率。考虑从 $T_{\boldsymbol p}S$ 的形算子 $\Sigma_{\boldsymbol p}: T_{\boldsymbol p}S \to T_{\boldsymbol p}S$ 入手

由于 $\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_i)$ 也处于基底 $\mathscr A = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2)$ 所在的切空间内，所以可以将其写为 $\mathscr A$ 下的坐标形式

$$[\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_i)]_{\mathscr A} = \begin{pmatrix} b_{1i} \\ b_{2i}\end{pmatrix}$$

取内积计算得到坐标

$$b_{ij} = \boldsymbol \varepsilon_i \cdot \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_j)$$

将坐标整理为矩阵形式

$$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$$

依据形算子的自伴性有：

• $b_{ij} = b_{ji} \quad$
• ${}^tB = B$

整理上述结果，可以得到

$$\left( \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_1), \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_2) \right) = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2) B$$

在线性代数中，这同样表示：$B$ 是一个从基底 $(\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2)$ 到基底 $(\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_1), \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_2))$ 的过渡矩阵
或者换句话说，$B$ 是 线性映射 $\Sigma_{\boldsymbol p}$ 关于基底 $(\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2)$ 的 矩阵表示

那么根据形算子的性质就可以得到曲率

$$K = \det(B), \quad H = \frac{1}{2} \mathrm{tr}(B), \quad \kappa_{1,2} = \lambda_{1,2}$$

至此，曲率计算已完全由线性代数的矩阵计算取代！

# 结构方程

实际上，通过讨论联络与形算子矩阵系数 $b_{ij}$ 之间的计算关系，在实际的曲率计算中，不需要计算出 $b_{ij} \quad$

首先，在引入 $b_{ij}$ 后，联络的第三个方向的系数可以表示为形算子矩阵的线性组合

于是可以得到计算曲率所用到的最核心的工具：结构方程