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# 正则曲线

几何中的曲线在分析角度本质上是一个向量函数。
从 R\mathbb R 中取区间 II，用 tt 表示区间中的变量
那么曲线就可以表示为

c:I→Rn, t↦c(t)\boldsymbol c: I \to \mathbb{R}^n,\ t \mapsto \boldsymbol c(t)

  • 若 n=2n = 2，则称为平面曲线
  • 若 n=3n = 3，则称为空间曲线

记像 C:=c(I)⊂RnC := \boldsymbol c(I) \subset \mathbb{R}^n，那么 CC 就是这条曲线在空间中的轨迹

可以将曲线理解为一个路径，或者说是运动轨迹
参数 tt 可以理解为时间
随着时间的增加，向量 c(t)\boldsymbol c(t) 的终点会在空间中描绘出这条曲线，或者也可以说有一个小质点在沿着这个曲线运动
既然谈到运动，自然会有速度。但是速度的讨论存在前提

定义
令 c\boldsymbol c 为 Rn\mathbb R^n 中的光滑曲线，称 c\boldsymbol c 为 正则曲线 (Regular Curve)「正則曲線」，当且仅当

∀t∈I: c′(t)≠0{}^\forall t \in I:\ \boldsymbol c'(t) \neq \boldsymbol 0

对于正则曲线 c\boldsymbol c，称曲线 c′(t)\boldsymbol c'(t) 为曲线 c\boldsymbol c 的 切向量 (tangent vector)「接ベクトル」，或者叫 速度向量 (velocity vector)「速度ベクトル」

并定义

Tc(t)c:={λc′(t)∣λ∈R}T_{\boldsymbol c(t)}\boldsymbol c := \{\lambda \boldsymbol c'(t) \mid \lambda \in \mathbb{R}\}

为曲线 c\boldsymbol c 在点 c(t)\boldsymbol c(t) 处的 切空间 (tangent space)。

虽然切向量本身是 Rn\mathbb R^n 中的向量（以原点为起点的），但是往往在研究过程中，会将它平移到曲线的那个点上作为起点，视为几何向量
切向量与切空间

那在作为路径的理解上，可以将正则曲线简单翻译为：一条连续并且是真的能靠一辆车开出来的路径
（在非正则点上，也就是 c′(t)=0\boldsymbol c'(t) = \boldsymbol 0，路径会有很尖锐的瞬间变化，车是开不出来的）

注意：正则曲线并不要求单射，所以允许路径自交

那么考虑一下要如何计算曲线的长度

数学分析中已经非常熟悉了积分的概念：将一个量分割成无数个小份，然后将这些小份加起来
曲线的长度也可以用同样的思路来计算

想象一下在曲线上的一个点，它具有一个速度，那么在极短时间 Δt\Delta t 内，这个点大致会移动的距离就是

Δs≈∣c′(t)∣Δt\Delta s \approx |\boldsymbol c'(t)| \Delta t

如果的时间间隔 Δt\Delta t 足够小，那么移动的方向误差就会无关紧要
此时 Δs→ds\Delta s \to ds，对其积分就可以得到

定义
对于可微曲线 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c: [a,b] \to \mathbb{R}^n，称

L(c)=∫ds=∫ab∣c′(t)∣dtL(\boldsymbol c) = \int ds = \int_a^b |\boldsymbol c'(t)| dt

为曲线 c\boldsymbol c 的 长度 (length)

# 弧长参数化

拥有了曲线的长度，等价于拥有了宏观的曲线信息，这使得我们可以通过换元来实现更加平滑的移动

令正则曲线 c:[a,b]→Rn\boldsymbol c:[a,b] \to \mathbb{R}^n，长度 ℓ=L(c)\ell = L(\boldsymbol c)
定义映射 ss 为

s:[a,b]→[0,ℓ],s(t)=∫at∣c′(τ)∣dτs: [a,b] \to [0,\ell],\quad s(t) = \int_a^t |\boldsymbol c'(\tau)| d\tau

称 ss 为曲线 c\boldsymbol c 的 弧长参数 (arc length parameter)。
正则性给出 ss 单调递增，所以存在反函数

t:[0,ℓ]→[a,b],t(s)=s−1(s)t: [0,\ell] \to [a,b],\quad t(s) = s^{-1}(s)

此时称新的曲线

c~:[0,ℓ]→Rn,c~(s)=(c∘t)(s)\widetilde{\boldsymbol c}: [0,\ell] \to \mathbb{R}^n,\quad \widetilde{\boldsymbol c}(s) = (\boldsymbol c \circ t)(s)

为曲线 c\boldsymbol c 的 弧长参数化 (arc length parameterization)。

弧长参数化不会改变曲线的图形性质，这意味着 c~([0,ℓ])=c([a,b])\widetilde{\boldsymbol c}([0,\ell]) = \boldsymbol c([a,b])

执行弧长参数化的意义在于控制曲线的速度，即 c~′(s)\widetilde{\boldsymbol c}'(s)
通过链式法则可以计算出：

dc~ds(s)=d(c∘t)ds(s)=dcdt(t(s))⋅dtds(s)=c′(t(s))⋅1∣c′(t(s))∣\begin{aligned} \frac{d\widetilde{\boldsymbol c}}{ds}(s) &= \frac{d(\boldsymbol c \circ t)}{ds}(s) \\ &= \frac{d\boldsymbol c}{dt}(t(s)) \cdot \frac{dt}{ds}(s) \\ &= \boldsymbol c'(t(s)) \cdot \frac{1}{|\boldsymbol c'(t(s))|} \end{aligned}

取模长得到

∣c~′(s)∣=∣c′(t(s))∣∣c′(t(s))∣=1|\widetilde{\boldsymbol c}'(s)| = \frac{|\boldsymbol c'(t(s))|}{|\boldsymbol c'(t(s))|} = 1

这意味着，经过弧长参数化之后的曲线，速度恒定为 11
这使得曲线上走过的长度也可以非常直观地由 ss 给出

L(c~∣[0,s0])=∫0s0∣c~′(s)∣ds=∫0s01ds=s0L(\widetilde{\boldsymbol c}|_{[0,s_0]}) = \int_0^{s_0} |\widetilde{\boldsymbol c}'(s)| ds = \int_0^{s_0} 1 ds = s_0

今后对于曲线的所有的性质的研究，基本上都是基于弧长参数化的曲线

示例
考虑曲线

c(t)=(1−t21+t22t1+t20),t∈R\boldsymbol c(t) = \begin{pmatrix} \dfrac{1-t^2}{1+t^2} \\[8pt] \dfrac{2t}{1+t^2} \\[8pt] 0 \end{pmatrix},\quad t \in \mathbb R

计算其弧长参数化

解

计算切向量

c′(t)=(−2t(1+t2)22(1+t2)−4t2(1+t2)20)=(−2t(1+t2)22(1−t2)(1+t2)20)\boldsymbol c'(t) = \begin{pmatrix} -\dfrac{2t}{(1+t^2)^2} \\[8pt] \dfrac{2(1+t^2) - 4t^2}{(1+t^2)^2} \\[8pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\dfrac{2t}{(1+t^2)^2} \\[8pt] \dfrac{2(1 - t^2)}{(1+t^2)^2} \\[8pt] 0 \end{pmatrix}

弧长参数

s(t)=∫0t∣c′(τ)∣dτ=∫0t21+τ2dτ=2arctan⁡ts(t) = \int_0^t |\boldsymbol c'(\tau)| d\tau = \int_0^t \frac{2}{1+\tau^2} d\tau = 2 \arctan t

反函数

t(s)=tan⁡s2t(s) = \tan \frac{s}{2}

代入得到弧长参数化

c~(s)=c(t(s))=(1−tan⁡2s21+tan⁡2s22tan⁡s21+tan⁡2s20)=(cos⁡ssin⁡s0)\tilde{\boldsymbol c}(s) = \boldsymbol c(t(s)) = \begin{pmatrix} \dfrac{1 - \tan^2 \frac{s}{2}}{1 + \tan^2 \frac{s}{2}} \\[8pt] \dfrac{2 \tan \frac{s}{2}}{1 + \tan^2 \frac{s}{2}} \\[8pt] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos s \\ \sin s \\ 0 \end{pmatrix}

□\square

# 极坐标表示下的曲线

在平面上，取坐标变换

{x=rcos⁡θy=rsin⁡θ\begin{cases} x = r \cos \theta \\ y = r \sin \theta \end{cases}

那么曲线 c\boldsymbol c 可以表示为

c:I→R2, θ↦(r(θ)cos⁡θr(θ)sin⁡θ)\boldsymbol c: I \to \mathbb R^2,\ \theta \mapsto \begin{pmatrix} r(\theta) \cos \theta \\ r(\theta) \sin \theta \end{pmatrix}

考虑正则条件，对其求导得到

c′(θ)=(r′(θ)cos⁡θ−r(θ)sin⁡θr′(θ)sin⁡θ+r(θ)cos⁡θ)\boldsymbol c'(\theta) = \begin{pmatrix} r'(\theta) \cos \theta - r(\theta) \sin \theta \\ r'(\theta) \sin \theta + r(\theta) \cos \theta \end{pmatrix}

设 c′(θ)=0\boldsymbol c'(\theta) = \boldsymbol 0，不难看出该方程等价于旋转正交矩阵 R(θ)∈SO(2)R(\theta) \in \mathrm{SO}(2) 的作用

(cos⁡θ−sin⁡θsin⁡θcos⁡θ)(r′(θ)r(θ))=0\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r'(\theta) \\ r(\theta) \end{pmatrix} = \boldsymbol 0

因此，只要 r(θ)r(\theta) 不恒等于 00，那么曲线 c\boldsymbol c 就是正则的

计算模长

∥c′(θ)∥=(r′(θ))2+r(θ)2\|\boldsymbol c'(\theta)\| = \sqrt{(r'(\theta))^2 + r(\theta)^2}

因此曲线的长度为

L(c)=∫ab(r′(θ))2+r(θ)2dθL(\boldsymbol c) = \int_a^b \sqrt{(r'(\theta))^2 + r(\theta)^2} d\theta