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在 R3\mathbb R^3 空间中，我们不仅研究固定的向量，更关注随位置变化的向量（向量场）和标量（标量场）。
为了描述这些场在空间中的变化率，我们需要引入一个形式上的向量算子：Nabla 算子 ∇\nabla。

∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)=i∂∂x+j∂∂y+k∂∂z\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) = \boldsymbol i \frac{\partial}{\partial x} + \boldsymbol j \frac{\partial}{\partial y} + \boldsymbol k \frac{\partial}{\partial z}

通过将 ∇\nabla 与标量函数或向量函数进行 “数乘”、“内积” 和 “外积” 运算，我们分别得到了梯度、散度和旋度。

# 梯度 (Gradient)

梯度作用于标量场，结果为向量场。

定义
设 f(x,y,z)f(x, y, z) 是 R3\mathbb R^3 上的平滑标量函数。
定义 ff 的 梯度 (Gradient)「勾配」 为：

gradf=∇f=(∂f∂x,∂f∂y,∂f∂z)\mathrm{grad} f = \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right)

几何意义

  1. 方向导数：梯度与任意单位向量 n\boldsymbol n 的内积，等于函数 ff 沿该方向的变化率（方向导数）。

    Dnf=∇f⋅n=∥∇f∥cos⁡θD_{\boldsymbol n} f = \nabla f \cdot \boldsymbol n = \|\nabla f\| \cos \theta

  2. 最速上升方向：∇f\nabla f 指向 ff 增长最快的方向，其模长 ∥∇f∥\|\nabla f\| 为该方向的最大变化率。
  3. 法向量：∇f\nabla f 垂直于等值面 f(x,y,z)=Cf(x, y, z) = C。这在计算曲面的法向量时非常有用。

# 散度 (Divergence)

散度作用于向量场，结果为标量场。

定义
设 F(x,y,z)=(P,Q,R)\boldsymbol F(x, y, z) = (P, Q, R) 是 R3\mathbb R^3 上的平滑向量场。
定义 F\boldsymbol F 的 散度 (Divergence)「発散」 为 ∇\nabla 与 F\boldsymbol F 的形式内积：

divF=∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\mathrm{div} \boldsymbol F = \nabla \cdot \boldsymbol F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}

物理意义
散度描述了向量场在某一点的 “通量源密度”。

  • ∇⋅F>0\nabla \cdot \boldsymbol F > 0：该点为源 (Source)，流体从该点流出。
  • ∇⋅F<0\nabla \cdot \boldsymbol F < 0：该点为汇 (Sink)，流体汇聚于该点。
  • ∇⋅F=0\nabla \cdot \boldsymbol F = 0：该点无源无汇。若区域内处处为 0，称该场为无源场 (Solenoidal field)。

一个重要的二阶算子是 拉普拉斯算子 (Laplacian)「ラプラス作用素」，记作 Δ\Delta。它是梯度的散度：

Δf=div(gradf)=∇⋅∇f=∂2f∂x2+∂2f∂y2+∂2f∂z2\Delta f = \mathrm{div}(\mathrm{grad} f) = \nabla \cdot \nabla f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}

# 旋度 (Curl)

旋度作用于向量场，结果为向量场（仅在 R3\mathbb R^3 中定义）。

定义
设 F(x,y,z)=(P,Q,R)\boldsymbol F(x, y, z) = (P, Q, R) 是 R3\mathbb R^3 上的平滑向量场。
定义 F\boldsymbol F 的 旋度 (Curl / Rotation)「回転」 为 ∇\nabla 与 F\boldsymbol F 的形式向量积：

rotF=∇×F=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zPQR∣=(∂R∂y−∂Q∂z, ∂P∂z−∂R∂x, ∂Q∂x−∂P∂y)\mathrm{rot} \boldsymbol F = \nabla \times \boldsymbol F = \begin{vmatrix} \boldsymbol i & \boldsymbol j & \boldsymbol k \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)

物理意义
旋度描述了向量场在某一点附近的微观旋转趋势。

  • 旋度向量的方向是旋转轴的方向（右手定则）。
  • 旋度向量的模长表示旋转的强度（角速度的两倍）。
  • 若 ∇×F=0\nabla \times \boldsymbol F = \boldsymbol 0，称该场为无旋场 (Irrotational field) 或保守场。

# 向量分析恒等式

在推导微分几何公式（如 Frenet 标架的运动方程）时，熟练运用以下恒等式至关重要。
设 f,gf, g 为标量场，F,G\boldsymbol F, \boldsymbol G 为向量场。

命题
1. 二阶导数性质（零化性质）

  • 梯度的旋度为零（保守场无旋）：

    ∇×(∇f)=0\nabla \times (\nabla f) = \boldsymbol 0

  • 旋度的散度为零（螺线管场无源）：

    ∇⋅(∇×F)=0\nabla \cdot (\nabla \times \boldsymbol F) = 0

2. 乘积法则 (Leibniz Laws)

  • ∇(fg)=f∇g+g∇f\nabla(fg) = f \nabla g + g \nabla f
  • ∇⋅(fF)=∇f⋅F+f(∇⋅F)\nabla \cdot (f \boldsymbol F) = \nabla f \cdot \boldsymbol F + f (\nabla \cdot \boldsymbol F)
  • ∇×(fF)=∇f×F+f(∇×F)\nabla \times (f \boldsymbol F) = \nabla f \times \boldsymbol F + f (\nabla \times \boldsymbol F)
  • ∇⋅(F×G)=G⋅(∇×F)−F⋅(∇×G)\nabla \cdot (\boldsymbol F \times \boldsymbol G) = \boldsymbol G \cdot (\nabla \times \boldsymbol F) - \boldsymbol F \cdot (\nabla \times \boldsymbol G)

3. 向量拉普拉斯公式
这是一个连接旋度、梯度和散度的重要公式：

∇×(∇×F)=∇(∇⋅F)−ΔF\nabla \times (\nabla \times \boldsymbol F) = \nabla(\nabla \cdot \boldsymbol F) - \Delta \boldsymbol F

其中 ΔF=(ΔP,ΔQ,ΔR)\Delta \boldsymbol F = (\Delta P, \Delta Q, \Delta R) 是对分量分别求拉普拉斯。

# 积分定理：几何与分析的桥梁

虽然这是微分几何的预备知识，但必须提到这三个定理，它们建立了 “区域内部的微分” 与 “边界上的积分” 之间的联系。

  1. Gauss 散度定理（体积分 ↔\leftrightarrow 面积分）：

    ∭V(∇⋅F) dV=∬∂VF⋅n dS\iiint_V (\nabla \cdot \boldsymbol F) \, dV = \iint_{\partial V} \boldsymbol F \cdot \boldsymbol n \, dS

    几何直观：体积内源的总强度等于流出边界的总通量。

  2. Stokes 定理（面积分 ↔\leftrightarrow 线积分）：

    ∬S(∇×F)⋅n dS=∮∂SF⋅dr\iint_S (\nabla \times \boldsymbol F) \cdot \boldsymbol n \, dS = \oint_{\partial S} \boldsymbol F \cdot d\boldsymbol r

    几何直观：曲面上的微观旋转累积等于边界上的宏观环量。

  3. 梯度定理（线积分 ↔\leftrightarrow 端点值）：

    ∫ab∇f⋅dr=f(b)−f(a)\int_{\boldsymbol a}^{\boldsymbol b} \nabla f \cdot d\boldsymbol r = f(\boldsymbol b) - f(\boldsymbol a)

    几何直观：保守场做功与路径无关。

注
这些算子 ∇,∇⋅,∇×\nabla, \nabla \cdot, \nabla \times 是高度依赖于坐标系的。
上述公式均为笛卡尔坐标系下的表达。在今后研究曲面几何时，我们会使用一般曲线坐标系，届时需要引入协变导数来推广这些概念。