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# 回转角

令 D⊂R2D \subset \mathbb R^2 为开集
取 DD 上的 Riemannian 度规 gg

(ξ,η)q=gq(ξ,η),∥ξ∥q=(ξ,ξ)q(\xi, \eta)_{\boldsymbol q} = g_{\boldsymbol q}(\xi, \eta), \quad \|\xi\|_{\boldsymbol q} = \sqrt{(\xi, \xi)_{\boldsymbol q}}

对于 DD 上的各点 q∈D\boldsymbol q \in D，取 TqDT_{\boldsymbol q} D 上的正交基 {(10),(01)}\{\binom{1}{0}, \binom{0}{1}\}，关于 Riemannian 度规 gg 正交化后得到正交基 \

命题
取 C∞C^\infty 曲线 γ:[a,b]→D\boldsymbol \gamma : [a, b] \to D
对于任意非零映射 ξ:[a,b]→R2,ξ≠0,∀t∈[a,b]\boldsymbol \xi : [a, b] \to \mathbb R^2, \quad \boldsymbol \xi \neq 0,\ \forall t \in [a, b]
均存在唯一的 C∞C^\infty 实值函数 φ:[a,b]→R\varphi : [a, b] \to \mathbb R，使得

ξ(t)∥ξ(t)∥γ(t)=cos⁡φ(t)ε1(γ(t))+sin⁡φ(t)ε2(γ(t)),t∈[a,b]\frac{\boldsymbol \xi(t)}{\|\boldsymbol \xi(t)\|_{\boldsymbol \gamma(t)}} = \cos \varphi(t) \, \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol \gamma(t)) + \sin \varphi(t) \, \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol \gamma(t)),\quad t \in [a,b]

证明

条件等价于

(ε1(γ(t)),ε2(γ(t)))−1⏟C∞function onS1ξ(t)∥ξ(t)∥γ(t)=(cos⁡φ(t)sin⁡φ(t))\underbrace{\left( \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol \gamma(t)), \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol \gamma(t)) \right)^{-1}}_{C^\infty \text{ function on } S^1} \frac{\boldsymbol \xi(t)}{\|\boldsymbol \xi(t)\|_{\boldsymbol \gamma(t)}} = \begin{pmatrix} \cos \varphi(t) \\ \sin \varphi(t) \end{pmatrix}

取符合该条件的 φ(t)\varphi(t) 即可

若 γ\boldsymbol \gamma 为正则曲线，并假定 ξ=γ′\boldsymbol \xi = \boldsymbol \gamma'
，则 φ\varphi 称为曲线 γ\boldsymbol \gamma 在度规 gg 下的 [回转角 (turning angle)「接角」]

这个回转角实际上是从 ε1\boldsymbol \varepsilon_1 方向测出的角度
示意图
turningangle

排除掉 2π2\pi 带来的周期性，回转角是唯一的

但是在值为 ±π\pm \pi 时，符号由如下规则决定
turningangle_sign

以下命题揭示了从时间点 ti−1t_{i-1} 到 tit_i 下速度向量的角变化量

命题 Hopf

∑i=1n(φi(ti)−φi(ti−1)+θi)=2π\sum_{i=1}^n \left( \varphi_i(t_i) - \varphi_i(t_{i-1}) + \theta_i \right) = 2\pi