# 回转角

令 $D \subset \mathbb R^2$ 为开集
取 $D$ 上的 Riemannian 度规 $g$

$(\xi, \eta)_{\boldsymbol q} = g_{\boldsymbol q}(\xi, \eta), \quad \|\xi\|_{\boldsymbol q} = \sqrt{(\xi, \xi)_{\boldsymbol q}}$

对于 $D$ 上的各点 $\boldsymbol q \in D$ ，取 $T_{\boldsymbol q} D$ 上的正交基 $\{\binom{1}{0}, \binom{0}{1}\}$ ，关于 Riemannian 度规 $g$ 正交化后得到正交基 $\{\boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q), \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q)\} \quad$

命题
取 $C^\infty$ 曲线 $\boldsymbol \gamma : [a, b] \to D$
对于任意非零映射 $\boldsymbol \xi : [a, b] \to \mathbb R^2, \quad \boldsymbol \xi \neq 0,\ \forall t \in [a, b]$
均存在唯一的 $C^\infty$ 实值函数 $\varphi : [a, b] \to \mathbb R$ ，使得

$\frac{\boldsymbol \xi(t)}{\|\boldsymbol \xi(t)\|_{\boldsymbol \gamma(t)}} = \cos \varphi(t) \, \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol \gamma(t)) + \sin \varphi(t) \, \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol \gamma(t)),\quad t \in [a,b]$

证明

$\varphi$ 实际上是从 $\boldsymbol \varepsilon_1$ 方向测出的角度

条件等价于

$\underbrace{\left( \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol \gamma(t)), \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol \gamma(t)) \right)^{-1}}_{C^\infty \text{ function on } S^1} \frac{\boldsymbol \xi(t)}{\|\boldsymbol \xi(t)\|_{\boldsymbol \gamma(t)}} = \begin{pmatrix} \cos \varphi(t) \\ \sin \varphi(t) \end{pmatrix}$

取符合该条件的 $\varphi(t)$ 即可
$\square$

若 $\boldsymbol \gamma$ 为正则曲线，并指定 $\boldsymbol \xi = \boldsymbol \gamma'$ （显然非零），
那么 $\varphi$ 称为曲线 $\boldsymbol \gamma$ 在度规 $g$ 下的 方向角 (Direction Angle)「接角」
方向角 $\varphi(t)$ 描述了在 $t$ 处，速度向量 $\boldsymbol \gamma'(t)$ 相对于基底 $\{\boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol \gamma(t)), \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol \gamma(t))\}$ 的方向

排除掉 $2\pi$ 带来的周期性，方向角是唯一的

以下考虑闭合图形性质
现在，指定曲线 $\boldsymbol \gamma$ 为分段正则单纯闭曲线，令 $\Omega$ 为其围成的区域且 $\overline \Omega \subset D$
让曲线相对于区域 $\Omega$ 保持正向移动
令其被划分为数个正则曲线段

$\boldsymbol \gamma_i : [t_{i-1}, t_i] \to D, \quad i = 1, 2, \ldots, n$

并取各自的方向角

$\varphi_i : [t_{i-1}, t_i] \to \mathbb R, \quad i = 1, 2, \ldots, n$

那么，对于满足

$\varphi_{i+1}(t_i) - \varphi_i(t_i) - \theta_i \in 2\pi \mathbb Z$

的 $\theta_i \in [-\pi, \pi]$ ，称其为曲线在点 $\boldsymbol \gamma(t_i)$ 处的 外角 (Exterior Angle)「外角」
（若 $i = n$ ，则视为 $i+1 = 1$ ）

实际上，外角 $\theta_i$ 描述了速度曲线 $\boldsymbol \gamma_i'$ 到 $\boldsymbol \gamma_{i+1}'$ 的角度

注意到当外角取值为 $\pm \pi$ 时，并不能唯一确定其符号。所以规定

若曲线 $\boldsymbol \gamma_{i+1}'$ 指向区域 $\Omega$ 内，也就是说曲线在该点处 “向内转 / 向左转 / 向正向转”，则 $\theta_i = +\pi$
若曲线 $\boldsymbol \gamma_{i+1}'$ 指向区域 $\Omega$ 外，也就是说曲线在该点处 “向外转 / 向右转 / 向反向转”，则 $\theta_i = -\pi$

现在想象沿曲线的起点前进，对于每一个正则的线段 $\boldsymbol \gamma_i$ ，其具有一个速度向量的角度变化
从时间点 $t_{i-1}$ 到 $t_i$ ，该变化量为

$\underbrace{\varphi_i(t_i) - \varphi_i(t_{i-1})}_{\text{每段光滑转过的角度}} + \underbrace{\theta_i}_{\text{在顶点处的突变}}$

统计全程的变化量，可以得到

$\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma) := \sum_{i=1}^n (\varphi_i(t_i) - \varphi_i(t_{i-1}) + \theta_i)$

称 $\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma)$ 为曲线 $\boldsymbol \gamma$ 在度规 $g$ 下的 回转角 (Rotation Angle)「回転角」

针对任意曲线，有以下结论

命题

对于 Euclidean 度规 $g^\circ$ 和任意 Riemannian 度规 $g$ 都有 $\mathrm{Rot}_{g^\circ}(\boldsymbol \gamma) = \mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma)$
增加分割点不会改变回转角
对于闭曲线，将 $\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma)$ 的出发点更改为某一个分割点也不会改变回转角

证明

(1)
根据定义， $\varphi_{i+1}(t_i) - \varphi_i(t_i) - \theta_i \in 2\pi \mathbb Z$ ，所以

$\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma) \in 2\pi \mathbb Z$

由于 $\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma)$ 不依 $\varphi_i$ 的具体取值而只依其差值，所以如果取一个 Riemannian 度规

$g^s = (1 - s) g^\circ + s g, \quad s \in [0, 1]$

那么 $\mathrm{Rot}_{g^s}(\boldsymbol \gamma)$ 随 $s$ 连续变化且只能取 $2\pi \mathbb Z$ 中的值，所以 $\mathrm{Rot}_{g^s}(\boldsymbol \gamma)$ 在 $s$ 上不变
特别地，取 $s = 0, 1$ 即得结论

(2)
对于分割

$a = t_0 \lt t_1 \lt \cdots \lt t_{i-1} \lt t_i \lt t_{i+1} \lt \cdots \lt t_n = b$

即使添加类似的点 $c$ ，使得

$t_{i-1} \lt c \lt t_i$

因为在 $\boldsymbol \gamma(c)$ 处的外角为 $0$ ，所以

$\begin{aligned} \varphi_i(t_i) - \varphi_i(t_{i-1}) + \theta_i &= (\varphi_i(t_i) - \varphi_i(c) + 0) \\ &+ (\varphi_i(c) - \varphi_i(t_{i-1}) + \theta_i) \end{aligned}$

所以回转角不变

(3)
因为是闭曲线，所以这样的行为仅仅是在代数层面上的循环交换
$\square$

依照上述结论，可以得到如下重要定理

定理 Hopf 转角定理
若 $\boldsymbol \gamma : [a, b] \to D$ 为分段正则单纯闭曲线，则

$\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma) = 2\pi$

证明

由上述命题，可以假设 $\theta_n = 0$ ，也就是在起点处光滑
取非常小的分割，并取一个能光滑地近似原曲线的正则闭曲线 $\widetilde{\boldsymbol \gamma} : [a, b] \to D$
取其方向角 $\widetilde \varphi : [a, b] \to \mathbb R$ ，那么

$\widetilde \varphi(t_{i+1}) - \widetilde \varphi(t_i) = \theta_i = \varphi_{i+1}(t_i) - \varphi_i(t_i)$

所以

$\mathrm{Rot}_g(\widetilde{\boldsymbol \gamma}) = \sum_{i=1}^n (\widetilde \varphi(t_i) - \widetilde \varphi(t_{i-1})) = \sum_{i=1}^n \theta_i = \mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma)$

又因为 $\mathrm{Rot}_g(\widetilde{\boldsymbol \gamma}), \mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma) \in 2\pi \mathbb Z$ ，所以

$\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma) = \mathrm{Rot}_g(\widetilde{\boldsymbol \gamma}) = \widetilde \varphi(b) - \widetilde \varphi(a)$

因为 $\widetilde{\boldsymbol \gamma}$ 是一个以类似圆周运动的方式绕区域 $\Omega$ 连续移动的闭曲线，所以
可以取一个圆周曲线 $\boldsymbol \gamma_r$

$\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma) = \mathrm{Rot}_g(\widetilde{\boldsymbol \gamma}) = \mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma_r) = 2\pi$

$\square$

示例
取 Euclidean 度规 $g$ ，考虑曲线

$\boldsymbol \gamma(t) = \binom{\cos t}{\sin t}, \quad t \in [0, 2\pi]$

计算在各个交点处的方向角，外角
并验证其回转角为 $2\pi$

证明

由于 Euclidean 度规在各点都一致
可以简单地取 Euclidean 度规下的正交归一基 $\boldsymbol \varepsilon_1 = \binom{1}{0}, \quad \boldsymbol \varepsilon_2 = \binom{0}{1} \quad$
由于曲线全段光滑，只需取分点

$0 = t_0 \lt t_1 = 2\pi$

对曲线微分

$\boldsymbol \gamma'(t) = \binom{-\sin t}{\cos t} = \binom{\cos(t + \frac{\pi}{2})}{\sin(t + \frac{\pi}{2})}$

所以显然可以得到方向角

$\varphi_1(t) = t + \frac{\pi}{2}, \quad t \in [0, 2\pi]$

计算回转角

$\mathrm{Rot}_g(\boldsymbol \gamma) = \varphi_1(2\pi) - \varphi_1(0) = (2\pi + \frac{\pi}{2}) - \frac{\pi}{2} = 2\pi$

$\square$

# 三角形的 Gauss–Bonnet 定理

令 $(S,\boldsymbol n)$ 为带有单位法向量场的光滑曲面
取正向局部参数化 $\boldsymbol \sigma : D \to \mathbb R^3$

取三条单纯正则闭曲线围成的领域 $\Omega \subset S$

当 $\overline \Omega \subset D$ 时，称 $\triangle = \boldsymbol \sigma(\overline \Omega) \subset S$ 为 $S$ 上的 三角形 (triangle)「三角形」

请抛弃对 Euclidean 几何的 "常识"：三角形的边并非平直的线段

习惯上，取从曲面 $S$ 的表面的视角，逆时针的顺序规定顶点 $A, B, C$ 和边 $AB, BC, CA$

接下来，取边 $AB, BC, CA$ 上的弧长参数化曲线

$\boldsymbol x_i = \boldsymbol \gamma_i(s) : [a_i, b_i] \to S, \quad i = 1, 2, 3$

与定义域上对应的曲线

$\overline{\boldsymbol \gamma_i}:[a_i, b_i] \to D, \quad \boldsymbol \gamma_i(t) = \boldsymbol \sigma(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)), \quad i = 1, 2, 3$

对于每个顶点 $M = \boldsymbol \gamma(t)$ ，其同时被两条边 $\boldsymbol \gamma_i, \boldsymbol \gamma_{i+1}$ 所经过
取切线 $\boldsymbol \gamma_i'(t), \boldsymbol \gamma_{i+1}'(t)$ 所夹成的，处于三角形内部的角度为三角形的 内角 (Interior Angle)「内角」，记为 $\angle M$

令 $\kappa_i:[a_i, b_i] \to \mathbb R$ 为 $\boldsymbol \gamma_i$ 的测地曲率

定理 Gauss–Bonnet 定理（三角形版）
令曲面 $S$ 的 Gaussian 曲率为 $K$
取曲面上的三角形 $\triangle$ ，并记其三条边 $\boldsymbol \gamma_i$ 测地曲率分别为 $\kappa_i$ ，内角分别为 $\angle A, \angle B, \angle C$ ，则有

$\underbrace{\iint_{\triangle} K \, dA}_{\text{Gaussian 曲率的面积分}} + \underbrace{\sum_{i=1}^3 \int_{a_i}^{b_i} \kappa_i(s) \, ds}_{\text{测地曲率的线积分}} = \underbrace{\angle A + \angle B + \angle C}_{\text{内角和}} - \pi$

证明

取由参数化 $\boldsymbol \sigma$ 诱导的 Riemannian 度规 $g$ ，则

$g_{\boldsymbol q}(\xi, \eta) = \left( d\boldsymbol \sigma_{\boldsymbol q}(\xi), d\boldsymbol \sigma_{\boldsymbol q}(\eta) \right)_{\mathbb R^3}, \quad \boldsymbol q \in D, \quad \xi, \eta \in T_{\boldsymbol q} D$

取曲线 $\overline{\boldsymbol \gamma_i}$ 关于度规 $g$ 的方向角 $\varphi_i : [a_i, b_i] \to \mathbb R$
令 $\theta_i$ 为 $\Omega$ 在边 $\overline{\boldsymbol \gamma_i}$ 处关于 $g$ 的外角

$d\boldsymbol \sigma_{\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)}\left( \overline{\boldsymbol \gamma_i}'(s) \right) = \frac{du}{ds} \boldsymbol \sigma_u + \frac{dv}{ds} \boldsymbol \sigma_v = \boldsymbol \gamma_i'(s) \qquad \left(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s) = \binom{u(s)}{v(s)}\right)$

对于标准基 $\{\boldsymbol e_1 = \binom{1}{0}, \boldsymbol e_2 = \binom{0}{1}\}$ ，有

$d_{\overline{\boldsymbol \gamma_i}}(\boldsymbol e_1) = 1 \cdot \boldsymbol \sigma_u(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) + 0 \cdot \boldsymbol \sigma_v(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = \boldsymbol \sigma_u(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$

所以，方向角 $\varphi_i$ 实际上是在切空间 $T_{\boldsymbol \gamma_i(s)} S$ 中，由 $\boldsymbol \sigma_u(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$ 到 $\boldsymbol \gamma_i'(s)$ 的角度
那么，外角 $\theta_i$ 则为同样在切空间 $T_{\boldsymbol \gamma_i(s)} S$ 中，由 $\boldsymbol \gamma_i'(s)$ 到 $\boldsymbol \gamma_{i+1}'(s)$ 的角度（标号视为模 $3$ ）

进一步，根据 Hopf 命题，有

$2\pi = \theta_1 + \theta_2 + \theta_3 + \sum_{i=1}^3 \left( \varphi_i(b_i) - \varphi_i(a_i) \right)$

所以

$\angle A + \angle B + \angle C - \pi = \sum_{i=1}^3 ( \varphi_i(b_i) - \varphi_i(a_i) )$

由于

$\varphi_i(b_i) - \varphi_i(a_i) = \int_{a_i}^{b_i} \varphi_i'(s) \, ds$

接下来计算 $\varphi_i'(s)$ 。以下计算中标号 $i$ 固定不变，请关注 $j$ 的表现
令 $\{ \boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \boldsymbol \varepsilon_3 \}$ 为关于 $\boldsymbol \sigma$ 的活动标架，

则

$\boldsymbol \gamma_i'(s) = \cos \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) + \sin \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$

即， $\boldsymbol \gamma_i'(s)$ 是将 $\boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$ 旋转 $\varphi_i(s)$ 得到的。所以

$\boldsymbol \gamma_i''(s) = -\varphi_i'(s) \sin \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) + \cos \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_1'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) + \varphi_i'(s) \cos \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) + \sin \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$

由于 $\boldsymbol \varepsilon_i \cdot \boldsymbol \varepsilon_j = \delta_{ij}$ ，所以

$\boldsymbol \varepsilon_i' \cdot \boldsymbol \varepsilon_j + \boldsymbol \varepsilon_i \cdot \boldsymbol \varepsilon_j' = 0$

因此，有

$\boldsymbol \gamma_i''(s) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = -\varphi_i'(s) \sin \varphi_i(s) + \sin \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$

$\boldsymbol \gamma_i''(s) \cdot \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = \varphi_i'(s) \cos \varphi_i(s) + \cos \varphi_i(s) \, \underbrace{\boldsymbol \varepsilon_1'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))}_{= -\boldsymbol \varepsilon_2' \cdot \boldsymbol \varepsilon_1}$

整理上述结果...

$\begin{cases} \boldsymbol \gamma_i''(s) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = (-\varphi_i'(s) + \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))) \sin \varphi_i(s) \\ \boldsymbol \gamma_i''(s) \cdot \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = (\varphi_i'(s) + \boldsymbol \varepsilon_1'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))) \cos \varphi_i(s) \end{cases}$

另一边，由测地曲率的定义，有

$\boldsymbol v_i(s) = \boldsymbol n(\boldsymbol \gamma_i(s)) \times \boldsymbol \gamma_i'(s) = -\sin \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) + \cos \varphi_i(s) \, \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$

$\boldsymbol \gamma_i''(s) = \kappa_i(s) \boldsymbol v_i(s) + \text{Normal component}$

那么可以得到

$\begin{cases} \boldsymbol \gamma_i''(s) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = -\kappa_i(s) \sin \varphi_i(s) \\ \boldsymbol \gamma_i''(s) \cdot \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = \kappa_i(s) \cos \varphi_i(s) \end{cases}$

比较上述两组等式，得到

$\begin{cases} (\kappa_i(s) - \varphi_i'(s) + \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))) \sin \varphi_i(s) = 0 \\ (\kappa_i(s) - \varphi_i'(s) + \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))) \cos \varphi_i(s) = 0 \end{cases}$

所以得到

$\kappa_i(s) = \varphi_i'(s) - \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) = \varphi_i'(s) + \boldsymbol \varepsilon_1'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_2(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s))$

因此，有

$\begin{aligned} \sum_{i=1}^3 ( \varphi_i(b_i) - \varphi_i(a_i) ) &= \sum_{i=1}^3 \int_{a_i}^{b_i} \varphi_i'(s) \, ds \\ &= \sum_{i=1}^3 \int_{a_i}^{b_i} \left( \kappa_i(s) + \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \right) ds \\ &= \sum_{i=1}^3 \int_{a_i}^{b_i} \kappa_i(s) \, ds + \sum_{i=1}^3 \int_{a_i}^{b_i} \boldsymbol \varepsilon_2'(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \cdot \boldsymbol \varepsilon_1(\overline{\boldsymbol \gamma_i}(s)) \, ds \\ &= \sum_{i=1}^3 \int_{a_i}^{b_i} \kappa_i(s) \, ds + \oint_{\partial \Omega} \frac{d\boldsymbol \varepsilon_2 \cdot \boldsymbol \varepsilon_1}{\omega_2^1} \\ &= \sum \int \kappa_i(s) \, ds + \iint_{\Omega} d\omega_2^1 \end{aligned}$

根据结构方程，有

$d\omega_2^1 = K \sqrt{EG - F^2} \, du \wedge dv = K \|\boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v\| \, du \wedge dv = K \, dA$

所以

$\iint_{\Omega} d\omega_2^1 = \iint_{\triangle} K \, dA$

综上所述，得证
$\square$

特别地，称三角形 $\triangle$ 为 测地三角形 (geodesic triangle)「测地三角形」，当且仅当其三边均为弧长参数化下的测地线时

针对测地三角形

定理 Gauss–Bonnet 定理（测地三角形版）
令曲面 $S$ 的 Gaussian 曲率为 $K$
取曲面上的测地三角形 $\triangle$ ，并记其内角分别为 $\angle A, \angle B, \angle C$ ，则有

$\iint_{\triangle} K \, dA = \angle A + \angle B + \angle C - \pi$

# 闭曲面 Gauss–Bonnet 定理

称紧的正则曲面为闭曲面，即存在有限的开覆盖

以下令 $S$ 为闭曲面

定义
对于 $S$ 上的三角形 $\triangle_1, \triangle_2, \ldots, \triangle_n$ ，若

$\displaystyle\bigcup_{i=1}^n \triangle_i = S$
$i \neq j, \triangle_i \cap \triangle_j \neq \emptyset \implies \triangle_i \cap \triangle_j$ 为 $\triangle_i, \triangle_j$ 的一个公共顶点或一条公共边

则称 $\{\triangle_i\}_{i=1}^n$ 为 $S$ 的三角剖分

对任意的闭曲面 $S$ ，均存在基于测地三角形的三角剖分（不予证明）

示例 球面的三角剖分

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对于球面 $S^2$ ，如果按照这种方式分为 $4$ 个三角形

那么， $\triangle_1$ 和 $\triangle_2$ 之间有 $AC, AD$ 两条公共边，所以这不是一个合法的三角剖分
实际上，合法的三角剖分应该如下图分为八个三角形：

上半球面正面： $\triangle AEC, \triangle ACF$
上半球面背面： $\triangle AFD, \triangle ADE$
下半球面正面： $\triangle BCE, \triangle BFC$
下半球面背面： $\triangle BFD, \triangle BDE$

示例 环面的三角剖分

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沿着环面上两个垂直的测地线方向切割（如下图的黄线，粉线）

可以将环面改写为如下矩阵形式，注意对边上的点是同一个点
如图可以将环面分为 $18$ 个三角形
注意：也可以划分为更安全的 $32$ 个三角形，但是不能划分为 $8$ 个三角形

可以验证该划分是合法的三角剖分

示例 扭结的三角剖分

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扭结面也可以沿着两个垂直的测地线方向切割（如下图的黄线，粉线）
分为 $18$ 个三角形
可以看出，由于分割方式完全与环面相同，所以三叶扭结同胚与环面

扭结的矢量图真的很难画

定义
取 $S$ 上的三角剖分 $\triangle_1, \triangle_2, \ldots, \triangle_n$ ，定义

$\triangle_1, \triangle_2, \ldots, \triangle_n$ 的顶点全体为 $V$
$\triangle_1, \triangle_2, \ldots, \triangle_n$ 的边全体为 $E$
$\triangle_1, \triangle_2, \ldots, \triangle_n$ 的三角形全体为 $F$ （面全体）

则称

$\chi(S) = \#V - \#E + \#F$

为 $S$ 的 Euler 示性数 (Euler characteristic)「オイラー数」

拓扑几何中有以下结论（不予证明）

$S_1 \cong S_2 \implies \chi(S_1) = \chi(S_2)$

示例

基于示例中球面 $S^2$ 的八个三角剖分，可以数出有 $6$ 个顶点， $12$ 条边， $8$ 个面，所以球面的欧拉示性数为

$\chi(S^2) = 6 - 12 + 8 = 2$

基于示例，环面 $T^2$ 和三叶扭结的欧拉示性数为

$\chi(T^2) = 9 - 27 + 18 = 0$

命题 Gauss–Bonnet 定理（闭曲面版）
令 $(S, \boldsymbol n)$ 为闭曲面，则有

$\underbrace{\iint_{S} K \, dA}_{\text{整个曲面上的 Gaussian 曲率面积分}} = 2\pi \chi(S)$

证明

取 $S$ 上的三角剖分 $\{\triangle_i\}_{i=1}^n$
则

$\iint_{S} K \, dA = \sum_{i=1}^n \iint_{\triangle_i} K \, dA = \sum_{i=1}^n \left( \alpha_i + \beta_i + \gamma_i - \pi \right)$

其中， $\alpha_i, \beta_i, \gamma_i$ 分别为三角形 $\triangle_i$ 的三个内角
由于每个顶点处的内角之和为 $2\pi$ ，所以

$\sum_{i=1}^n \left( \alpha_i + \beta_i + \gamma_i \right) = 2\pi \#V$

显然三角剖分的数量 $n$ 即为面数 $\#F$ ，所以

$\sum_{i=1}^n \pi = \pi \#F$

最后，由于每条边被两个三角形共享，所以统计所有三角形的三条边时，每条边会且仅会被重复计算两次，那么

$3\#F = 2 \#E$

所以

$2\pi (-\#E + \#F) = -\pi \#F$

综上所述，

$\iint_{S} K \, dA = 2\pi \#V - 2\pi \#E + 2\pi \#F = 2\pi \chi(S)$

$\square$

# Gauss–Bonnet 指数定理

回顾：对于正则曲面 $S$
$X: S \to \mathbb R^3$ 为切向量场，当且仅当

${}^\forall \boldsymbol p \in S: X(\boldsymbol p) \in T_{\boldsymbol p} S$
${}^\exists U: \text{Open}, U \subset S, {}^\exists \widetilde X : U \to \mathbb R^3$ ，使得 $\widetilde X|_S = X$ 并且 $\widetilde X$ 为 $C^\infty$

通常将 $X(\boldsymbol p)$ 视为是一个以 $\boldsymbol p$ 为起点的箭头，记作向量 X_

定义
取满足 $X_{\boldsymbol p} = \boldsymbol 0$ 的点 $\boldsymbol p \in S$ ，称其为 $X$ 的 零点 (zero point)「零点」
称其为 孤立零点 (isolated zero point)「孤立零点」，当且仅当

${}^\exists \varepsilon > 0, {}^\forall \boldsymbol x \in S: 0 \lt \|\boldsymbol x - \boldsymbol p| \lt \varepsilon \implies X_{\boldsymbol x} \neq \boldsymbol 0$

不孤立等价于：在其任意小的邻域内均存在其他零点

示例
取球面 $S = S^2(r)$ ，对于点 $\boldsymbol p = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \in S$ ，定义

$X(\boldsymbol p) = \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix}$

则 $X$ 为 $S$ 上的切向量场
并且其零点为 $\boldsymbol p = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ r \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -r \end{pmatrix}$ ，均为孤立零点

验证

显然 $X(\boldsymbol p)$ 光滑，并且

$\mathrm{grad}(x^2 + y^2 + z^2 - r^2) \cdot X(\boldsymbol p) = 2\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \implies X(\boldsymbol p) \in T_{\boldsymbol p} S$

零点：

$X_{\boldsymbol p} = \boldsymbol 0 \implies \begin{pmatrix} -y \\ x \\ 0 \end{pmatrix} = \boldsymbol 0 \implies x = 0, y = 0 \implies z = \pm r$

$\square$

现在定义指数的概念
令 $(S, \boldsymbol n)$ 为正向正则曲面
令 $\boldsymbol p$ 为 $X$ 的孤立零点
其 旋转指数 (index of rotation)「回転指数」 $\mathrm{ind}_{\boldsymbol p} (X)$ 定义如下：
在 $\boldsymbol p$ 的某个小邻域上，以 $S$ 方向取一个曲线 $\boldsymbol \gamma : [a, b] \to S$ ，使得

$\boldsymbol \gamma$ 是单纯闭曲线
$\boldsymbol \gamma$ 内部仅包含零点 $\boldsymbol p$
$\boldsymbol \gamma$ 按照正向局部参数化 $\boldsymbol \sigma$

此时根据方向角的定理，可以取到一个连续函数

$\psi : [a, b] \to \mathbb R$

使得 $\psi(t)$ 为从 $\boldsymbol \sigma_u(u(t), v(t))$ 旋转到 $X_{\boldsymbol \gamma(t)}$ 的角度
由于 $\boldsymbol \gamma(b) = \boldsymbol \gamma(a)$ ，所以

$\psi(b) - \psi(a) = 2\pi\mathbb Z$

那么，定义

$\mathrm{ind}_{\boldsymbol p} X = \frac{\psi(b) - \psi(a)}{2\pi}$

即， $\mathrm{ind}_{\boldsymbol p} X$ 表示在 $\boldsymbol \gamma$ 上， $X$ 绕 $\boldsymbol p$ 旋转的圈数

指数 $\mathrm{ind}_{\boldsymbol p} X$ 不依赖于 $\boldsymbol \sigma, \boldsymbol \gamma, \psi$ 的选取
在非零点处也可以定义指数，显然为 $0$

定理 Gauss–Bonnet 指数定理
令 $(S, \boldsymbol n)$ 为正向闭曲面
对于零点全部孤立的切向量场 $X$ ，有

$\sum_{\boldsymbol p: X_{\boldsymbol p} = \boldsymbol 0} \mathrm{ind}_{\boldsymbol p} (X) = \chi(S) = \frac{1}{2\pi} \iint_{S} K \, dA$

证明（略）

注意：

在该条件下，零点个数必然有限

# 回转角

# 三角形的 Gauss–Bonnet 定理

# 闭曲面 Gauss–Bonnet 定理

# Gauss–Bonnet 指数定理

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