进入本章内容前，请充分复习线性代数中线性变换与矩阵表示的相关内容

# 结构方程

以下令正则曲面 $(S,\boldsymbol n)$ 正向参数化 $\boldsymbol \sigma: D \to S$
固定点 $\boldsymbol p = \boldsymbol \sigma(u,v) \in S$

对切空间 $T_{\boldsymbol p}S$ 进行代数式分析，基于 Gram–Schmidt 正交化构造正交归一基底 $\mathscr A = \{\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2, \boldsymbol \varepsilon_3\} \quad$

$$\boldsymbol \varepsilon_1 = \frac{\boldsymbol \sigma_u}{\left|\boldsymbol \sigma_u\right|}, \quad \boldsymbol \varepsilon_2 = \frac{\boldsymbol \sigma_v - (\boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \varepsilon_1) \boldsymbol \varepsilon_1}{\left|\boldsymbol \sigma_v - (\boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \varepsilon_1) \boldsymbol \varepsilon_1\right|}, \quad \boldsymbol \varepsilon_3 = \boldsymbol n$$

称 $\mathscr A$ 为伴随 $\boldsymbol \sigma$ 的 活动标架 (Moving Frame)「動標構」

Carton Darboux 在曲率计算研究中，引入活动标架用于将复杂的曲率计算转为简单的代数计算，此标架也称 Carton 标架

以下通过坐标转换，获取 Carton 标架下的坐标

由于 $\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v \perp \boldsymbol n$，其在 $\boldsymbol \varepsilon_3$ 方向的投影为 $0$，所以有

$$\begin{cases} \boldsymbol \sigma_u = a_1^1 \boldsymbol \varepsilon_1 + a_1^2 \boldsymbol \varepsilon_2 + 0 \cdot \boldsymbol \varepsilon_3 \\ \boldsymbol \sigma_v = a_2^1 \boldsymbol \varepsilon_1 + a_2^2 \boldsymbol \varepsilon_2 + 0 \cdot \boldsymbol \varepsilon_3 \end{cases} \Longrightarrow [\boldsymbol \sigma_u]_{\mathscr A} = \begin{pmatrix} a_1^1 \\ a_1^2 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad [\boldsymbol \sigma_v]_{\mathscr A} = \begin{pmatrix} a_2^1 \\ a_2^2 \\ 0 \end{pmatrix}$$

其中 $a_1^j = \boldsymbol \sigma_u \cdot \boldsymbol \varepsilon_j, \quad a_2^j = \boldsymbol \sigma_v \cdot \boldsymbol \varepsilon_j \quad (j = 1,2)$
$a$ 的下标指示偏导方向编号，上标指示基底方向编号

由于重点在于分析二维切空间中的表现，去掉垂直于切空间的方向，令

$$A = \begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 \\ a_1^2 & a_2^2 \end{pmatrix}$$

则 $A$ 成为二维空间内两种基底的过渡矩阵

$$(\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v) = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2) A$$

并且此时

$$\boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v = \det(A) \boldsymbol e_1 \times \boldsymbol e_2 = \det(A) \boldsymbol n \\ \left|\boldsymbol \sigma_u \times \boldsymbol \sigma_v\right| = \det(A) = \sqrt{EG - F^2}$$

进一步，为了获取 Carton 标架下的坐标，在 $T_{\boldsymbol p}S$ 上定义构造坐标函数 $du,dv$ 与微分形式，令 $\theta^j = a_1^j du + a_2^j dv \quad (j = 1,2)$，则

$$\begin{pmatrix} \theta^1 \\ \theta^2 \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$$

这其实是坐标变换，由于 $A$ 是 $(\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2)$ 到 $(\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v)$ 的过渡矩阵
所以等式右边是 $(\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v)$ 下的坐标经过坐标函数映射后的结果
等式左边是 Carton 标架下的坐标

此时全微分

$$d\boldsymbol \sigma = \boldsymbol \sigma_u \, du + \boldsymbol \sigma_v \, dv = (\boldsymbol \sigma_u, \boldsymbol \sigma_v) \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix} = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2) A \begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix} = (\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2) \begin{pmatrix} \theta^1 \\ \theta^2 \end{pmatrix} = \theta^1 \boldsymbol e_1 + \theta^2 \boldsymbol e_2$$

$\theta^j$ 具有以下计算性质

活动标架的关键是 活动，对于曲面上的点 $\boldsymbol p$，在其沿曲面移动时，活动标架会 不同程度的移动
依此，曲面研究的重点：曲率 转化为活动标架的变化情况

定义 联络：$\omega_i^j = d \boldsymbol \varepsilon_i \cdot \boldsymbol \varepsilon_j \quad (i,j = 1,2,3)$
显然 $\omega_i^j$ 指示两个活动标架之间的变化关系，并且存在固定方向，非对称性继承于楔积

$$d\boldsymbol \varepsilon_i = \omega_i^1 \boldsymbol \varepsilon_1 + \omega_i^2 \boldsymbol \varepsilon_2 + \omega_i^3 \boldsymbol \varepsilon_3$$

联络具有以下性质

借助 $T_{\boldsymbol p}S$ 形算子 $\Sigma_{\boldsymbol p}: T_{\boldsymbol p}S \to T_{\boldsymbol p}S$，定义 $b_{ij} = \boldsymbol \varepsilon_i \cdot \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_j) \quad (i,j = 1,2)$，构造矩阵

$$B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$$

依据形算子的自伴性有：$b_{ij} = b_{ji}, \quad {}^tB = B$
由于 $\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_i)$ 也处于基底 $(\boldsymbol \varepsilon_1, \boldsymbol \varepsilon_2)$ 所在的切空间内，取内积得到坐标 $\Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol \varepsilon_i) = b_{1j} \boldsymbol \varepsilon_1 + b_{2j} \boldsymbol \varepsilon_2$

进一步

$$\left( \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol e_1), \Sigma_{\boldsymbol p}(\boldsymbol e_2) \right) = (\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2) B$$

所以 $B$ 是线性映射 $\Sigma_{\boldsymbol p}$ 关于基底 $(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2)$ 的矩阵表示，$B$ 的特征值 $\lambda_{1,2}$ 即为主曲率

$$K = \det(B), \quad H = \frac{1}{2} \mathrm{tr}(B), \quad \kappa_{1,2} = \lambda_{1,2}$$

至此，曲率计算已完全转变为矩阵计算

特别地，联络的计算性质如下

并且得到以下结构方程

# Riemannian 度规

回到常见的 $\mathbb R^2$

以下令开集 $D \subset \mathbb R^2$
定点 $\boldsymbol q = \binom{u}{v} \in D$
切空间 $T_{\boldsymbol q}D = \mathbb R^2$
正交归一标准基底 $\boldsymbol e_1 = \binom{1}{0}, \quad \boldsymbol e_2 = \binom{0}{1} \quad$

若 $g$ 为 Riemannian 度规

$$g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = g_{\boldsymbol q}(\xi_1 \boldsymbol e_1 + \xi_2 \boldsymbol e_2, \eta_1 \boldsymbol e_1 + \eta_2 \boldsymbol e_2) = \sum_{i,j=1}^2 \xi_i \eta_j g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_i, \boldsymbol e_j)$$

其中

$$\boldsymbol \xi = \binom{\xi_1}{\xi_2}, \quad \boldsymbol \eta = \binom{\eta_1}{\eta_2}$$

由此有基于 Riemannian 度规的基本量（注意 $\boldsymbol q = \binom{u}{v}$，与内积的对称性）

$$\begin{cases} E(\boldsymbol q) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_1) \\ F(\boldsymbol q) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_2, \boldsymbol e_1) \\ G(\boldsymbol q) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_2, \boldsymbol e_2) \end{cases}$$

那么

$$g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = (\xi_1, \xi_2) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix} = {}^t\boldsymbol \xi \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \boldsymbol \eta$$

因为 $E,F,G$ 在 $D$ 上光滑，所以由内积的正定性得到：对于任意 $\boldsymbol q \in D$，

$$\begin{pmatrix} E(\boldsymbol q) & F(\boldsymbol q) \\ F(\boldsymbol q) & G(\boldsymbol q) \end{pmatrix}$$

都为正定对称矩阵：$EG - F^2 \gt 0, E \gt 0$

反过来，如果 $D$ 上的函数 $E,F,G$ 满足上述正定条件且光滑，那么

$$g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = {}^t\boldsymbol \xi \begin{pmatrix} E(\boldsymbol q) & F(\boldsymbol q) \\ F(\boldsymbol q) & G(\boldsymbol q) \end{pmatrix} \boldsymbol \eta$$

成为 $D$ 上的 Riemannian 度规

实际应用中，往往需要从曲面的参数化中导出 Riemannian 度规

令 $S$ 为 $\mathbb R^3$ 中的正则曲面，参数化 $\boldsymbol \sigma: D \to S$，定义

$$g_{\boldsymbol q}^{\boldsymbol \sigma}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = (d\boldsymbol \sigma)_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi) \cdot (d\boldsymbol \sigma)_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \eta) = (\boldsymbol \sigma_u \xi_1 + \boldsymbol \sigma_v \xi_2) \cdot (\boldsymbol \sigma_u \eta_1 + \boldsymbol \sigma_v \eta_2)$$

利用第一基本量，也可以写作

$$g_{\boldsymbol q}^{\boldsymbol \sigma}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = E(\boldsymbol q) \xi_1 \eta_1 + F(\boldsymbol q)(\xi_1 \eta_2 + \xi_2 \eta_1) + G(\boldsymbol q) \xi_2 \eta_2 = {}^t\boldsymbol \xi \begin{pmatrix} E(\boldsymbol q) & F(\boldsymbol q) \\ F(\boldsymbol q) & G(\boldsymbol q) \end{pmatrix} \boldsymbol \eta$$

基于第一基本量的性质，可以得到 $EG - F^2 \gt 0, E \gt 0$
所以 $g$ 成为 $D$ 上的 Riemannian 度规

以下令 $g$ 为 $D$ 上的 Riemannian 度规，定义内积与范数

$$\langle \boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta \rangle _{\boldsymbol q} := g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta), \quad \|\boldsymbol \xi\|_{\boldsymbol q} := \sqrt{g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \xi)}$$

此时，将 $\partial_1, \partial_2 \in D$ 关于内积 $(\cdot)_{\boldsymbol q}$ 正交归一化，得到 $T_{\boldsymbol q}D$ 上的正交归一基底，实为 活动标架 的二维版本

$$\boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) = \frac{\boldsymbol e_1}{\|\boldsymbol e_1\|_{\boldsymbol q}} = \frac{1}{\sqrt{E(\boldsymbol q)}} \boldsymbol e_1, \quad \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q) = \frac{\boldsymbol e_2 - (\boldsymbol e_2, \boldsymbol \varepsilon_1)_{\boldsymbol q} \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q)}{\left\|\boldsymbol e_2 - (\boldsymbol e_2, \boldsymbol \varepsilon_1)_{\boldsymbol q} \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q)\right\|_{\boldsymbol q}} = \frac{1}{\sqrt{EG - F^2}} \left(-\frac{F}{\sqrt{E}} \boldsymbol e_1 + \sqrt{E} \boldsymbol e_2\right)$$

因此，对于任意 $\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta \in T_{\boldsymbol q}D$，有唯一表示

$$\begin{cases} \boldsymbol \xi = \xi_1 \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) + \xi_2 \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q)\\ \boldsymbol \eta = \eta_1 \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) + \eta_2 \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q) \end{cases}$$

且内积与范数为

$$\langle \boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta \rangle_ {\boldsymbol q} = \langle \xi_1 \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) + \xi_2 \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q),\ \eta_1 \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) + \eta_2 \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q) \rangle_{\boldsymbol q} = \xi_1 \eta_1 + \xi_2 \eta_2$$

$$\|\boldsymbol \xi\|_{\boldsymbol q} = \sqrt{\langle \boldsymbol \xi, \boldsymbol \xi \rangle_{\boldsymbol q}} = \sqrt{\xi_1^2 + \xi_2^2}$$

即在活动标架下，内积与欧氏内积相同
注意：在 $g = g^{\boldsymbol \sigma}$ 时，$d \boldsymbol \sigma_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \varepsilon_i) = \boldsymbol e_i$

取活动标架下的坐标 $\binom{\theta^1}{\theta^2},\ \theta^j = a_1^j du + a_2^j dv$，对于过度矩阵 $A$

$$(\boldsymbol e_1 \ \boldsymbol e_2) = (\boldsymbol \varepsilon_1 \ \boldsymbol \varepsilon_2) A \Longrightarrow A = (\boldsymbol \varepsilon_1 \ \boldsymbol \varepsilon_2)^{-1}$$

$$\binom{\theta^1}{\theta^2} = A \binom{du}{dv}$$

所以，活动标架下的线性结合得以转为微分形式

$$\theta^1 \boldsymbol \varepsilon_1 + \theta^2 \boldsymbol \varepsilon_2 = (\boldsymbol \varepsilon_1 \ \boldsymbol \varepsilon_2) \binom{\theta^1}{\theta^2} = A^{-1} A \binom{du}{dv} = \binom{du}{dv}$$

特别地，由于分析对象是二维空间，仅考虑前两个活动标架的联络 $\omega_2^1$

利用 $\omega_2^1$，可以得到 Riemannian 度规下的 Gauss 曲率定义
由 $d \omega_2^1 = K \theta^1 \wedge \theta^2$ 导出的 $K$ 称为 $g$ 的 Gauss 曲率
当 $g = g^{\boldsymbol \sigma}$ 时，$K$ 即为曲面 $S$ 在点 $\boldsymbol \sigma(\boldsymbol q)$ 处的 Gauss 曲率