# Riemannian 度规

以下令开集 $D \subset \mathbb R^2$
取 $D$ 上的定点 $\boldsymbol q = \binom{u}{v} \in D$ ，构造平面上的切空间 $T_{\boldsymbol q}D = \mathbb R^2$
取正交归一标准基底 $\boldsymbol e_1 = \binom{1}{0}, \quad \boldsymbol e_2 = \binom{0}{1} \quad$

如果疑惑为什么需要构造一个的切空间

目前看到的 $D$ 只是参数平面（比如一张平铺的图纸）。但在随后，这个 $D$ 会通过映射 $\boldsymbol{\sigma}$ 贴到一个弯曲的曲面 $S$ 上。
在参数平面 $D$ 上，向量仅仅是 $\begin{pmatrix} du \\ dv \end{pmatrix}$ 。这个向量被映射到曲面 $S$ 上后，变成了三维空间中的切向量 $du \cdot \boldsymbol{\sigma}_u + dv \cdot \boldsymbol{\sigma}_v$ 。

我们在 $D$ 上定义黎曼度规，实际上是把曲面 $S$ 上的弯曲性质，“拉回（Pullback）” 到了平坦的 $D$ 上来研究。通过在 $D$ 上定义一个非标准的度规（即第一基本形式），我们可以不用去三维空间，仅仅在二维平面 $D$ 上通过计算 $g_{ij}$ 就能完全掌握曲面的弯曲程度。

之所以觉得多余，是因为目前 $D$ 还是平的。一旦引入 $g_{\boldsymbol{q}}$ （黎曼度规），这就意味着：虽然底下的坐标网格（ $D$ ）是平直的 $\mathbb{R}^2$ ，但我们在这个网格上赋予的 “长度概念” 已经变得不再均匀了。这就是为什么必须强调 $g$ 是关于点 $\boldsymbol{q}$ 的函数，且作用在特定的切空间 $T_qD$ 上。

定义
对于 $\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta \in T_{\boldsymbol q}D$
若如下定义的函数 $g$

$g(\boldsymbol q, \boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) \in \mathbb R$

满足

对任意 $\boldsymbol q \in D$ ， $g_{\boldsymbol q}$ 成为 $T_{\boldsymbol q}D$ 上的内积，即满足：正定，对称，线性
$g$ 关于 $\boldsymbol q$ 成为 $D$ 上的 $C^\infty$ 光滑函数

则称 $g$ 为 Riemannian 度规 (Riemannian Metric)「リーマン計量」

若 $g$ 为 Riemannian 度规

$g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = g_{\boldsymbol q}(\xi_1 \boldsymbol e_1 + \xi_2 \boldsymbol e_2, \eta_1 \boldsymbol e_1 + \eta_2 \boldsymbol e_2) = \sum_{i,j=1}^2 \xi_i \eta_j g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_i, \boldsymbol e_j)$

其中

$\boldsymbol \xi = \binom{\xi_1}{\xi_2}, \quad \boldsymbol \eta = \binom{\eta_1}{\eta_2}$

由此有基于 Riemannian 度规的基本量定义（注意 $\boldsymbol q = \binom{u}{v}$ ，与内积的对称性）

$\begin{cases} E(\boldsymbol q) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_1) \\ F(\boldsymbol q) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_2, \boldsymbol e_1) \\ G(\boldsymbol q) = g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_2, \boldsymbol e_2) \end{cases}$

那么

$g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = (\xi_1, \xi_2) \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_1 \\ \eta_2 \end{pmatrix} = {}^t\boldsymbol \xi \begin{pmatrix} E & F \\ F & G \end{pmatrix} \boldsymbol \eta$

因为 $E,F,G$ 在 $D$ 上光滑，所以由内积的正定性得到：对于任意 $\boldsymbol q \in D$ ，

$\begin{pmatrix} E(\boldsymbol q) & F(\boldsymbol q) \\ F(\boldsymbol q) & G(\boldsymbol q) \end{pmatrix}$

都为正定对称矩阵： $EG - F^2 \gt 0, E \gt 0$

反过来，如果 $D$ 上的函数 $E,F,G$ 满足上述正定条件且光滑，那么

$g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = {}^t\boldsymbol \xi \begin{pmatrix} E(\boldsymbol q) & F(\boldsymbol q) \\ F(\boldsymbol q) & G(\boldsymbol q) \end{pmatrix} \boldsymbol \eta$

成为 $D$ 上的 Riemannian 度规

示例
简单地令 $g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = \boldsymbol \xi \cdot \boldsymbol \eta$ 为 Euclidean 内积
那么 $g$ 成为 $D$ 上的 Riemannian 度规，称为 Euclidean 度量

示例
令

$\mathbf H = \left\{ \binom{u}{v} \in \mathbb R^2 \mid v > 0 \right\},\quad g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = \frac{\boldsymbol \xi \cdot \boldsymbol \eta}{v^2}$

那么 $g$ 成为 $\mathbf H$ 上的 Riemannian 度规，称为 Poincaré 度量

证明

计算即得

$g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = {}^t\boldsymbol \xi \begin{pmatrix} \frac{1}{v^2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{v^2} \end{pmatrix} \boldsymbol \eta$

$EG - F^2 = \frac{1}{v^4} \gt 0, E = \frac{1}{v^2} \gt 0$

# 基于曲面的参数化导出 Riemannian 度规

实际应用中，往往需要从曲面的参数化中导出 Riemannian 度规

令 $S$ 为 $\mathbb R^3$ 中的正则曲面，参数化 $\boldsymbol \sigma: D \to S$ ，定义

$g_{\boldsymbol q}^{\boldsymbol \sigma}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = (d\boldsymbol \sigma)_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi) \cdot (d\boldsymbol \sigma)_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \eta) = (\boldsymbol \sigma_u \xi_1 + \boldsymbol \sigma_v \xi_2) \cdot (\boldsymbol \sigma_u \eta_1 + \boldsymbol \sigma_v \eta_2)$

利用第一基本量，可以写作

$g_{\boldsymbol q}^{\boldsymbol \sigma}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta) = E(\boldsymbol q) \xi_1 \eta_1 + F(\boldsymbol q)(\xi_1 \eta_2 + \xi_2 \eta_1) + G(\boldsymbol q) \xi_2 \eta_2 = {}^t\boldsymbol \xi \begin{pmatrix} E(\boldsymbol q) & F(\boldsymbol q) \\ F(\boldsymbol q) & G(\boldsymbol q) \end{pmatrix} \boldsymbol \eta$

基于第一基本量的性质，可以得到 $EG - F^2 \gt 0, E \gt 0$
所以 $g = g^{\boldsymbol \sigma}$ 成为 $D$ 上的 Riemannian 度规

这样就构造出了一个 Riemannian 度规，借助该度规，可以定义内积与范数

$\langle \boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta \rangle _{\boldsymbol q} := g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \eta), \quad \|\boldsymbol \xi\|_{\boldsymbol q} := \sqrt{g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol \xi, \boldsymbol \xi)}$

虽然标准基底 $\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2$ 已经是正交归一，但是在 Riemannian 度规下，其并不一定还具有那么良好的计算性质，需要获取一个真正的正交归一基底
基于 Riemannian 度规，利用 Gram-Schmidt 正交化，构造出 Cartan 标架

$\boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) = \frac{\boldsymbol e_1}{\|\boldsymbol e_1\|_{\boldsymbol q}}, \quad \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q) = \frac{\boldsymbol e_2 - \langle \boldsymbol e_2, \boldsymbol \varepsilon_1 \rangle_{\boldsymbol q} \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q)}{\left\|\boldsymbol e_2 - \langle \boldsymbol e_2, \boldsymbol \varepsilon_1 \rangle_{\boldsymbol q} \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q)\right\|_{\boldsymbol q}}$

命题

$\boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) = \frac{1}{\sqrt{E(\boldsymbol q)}} \boldsymbol e_1, \quad \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q) = \frac{1}{\sqrt{EG - F^2}} \left(-\frac{F}{\sqrt{E}} \boldsymbol e_1 + \sqrt{E} \boldsymbol e_2\right)$

证明

由定义可得

$\|\boldsymbol e_1\|_{\boldsymbol q} = \sqrt{g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_1)} = \sqrt{E(\boldsymbol q)}$

$\begin{aligned} \langle \boldsymbol e_2, \boldsymbol \varepsilon_1 \rangle_{\boldsymbol q} &= \frac{1}{\|\boldsymbol e_1\|_{\boldsymbol q}} g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_2, \boldsymbol e_1) = \frac{F(\boldsymbol q)}{\sqrt{E(\boldsymbol q)}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \left\|\boldsymbol e_2 - \langle \boldsymbol e_2, \boldsymbol \varepsilon_1 \rangle_{\boldsymbol q} \boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q)\right\|_{\boldsymbol q}^2 &= g_{\boldsymbol q}\left(\boldsymbol e_2 - \frac{F}{\sqrt{E}} \cdot \frac{\boldsymbol e_1}{\sqrt{E}}, \boldsymbol e_2 - \frac{F}{\sqrt{E}} \cdot \frac{\boldsymbol e_1}{\sqrt{E}}\right) \\ &= g_{\boldsymbol q}\left(\boldsymbol e_2 - \frac{F}{E} \boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2 - \frac{F}{E} \boldsymbol e_1\right) \\ &= G - 2 \frac{F^2}{E} + \frac{F^2}{E} = \frac{EG - F^2}{E} \end{aligned}$

$\square$

完成在 $T_{\boldsymbol q}D$ 上的 Cartan 标架构造（正交归一基底）后，可以应用结构方程的结论，即令矩阵

$A = (\boldsymbol \varepsilon_1(\boldsymbol q) \ \boldsymbol \varepsilon_2(\boldsymbol q))^{-1}$

则

$\binom{\theta^1}{\theta^2} = A \binom{du}{dv}$

且解结构方程算出联络 $\omega$ 后，曲率可以由下式计算

$d \omega = K \cdot \theta^1 \wedge \theta^2 = K \cdot \det A \cdot du \wedge dv$

示例
给定 Poincaré 度量，计算其 Gauss 曲率

解

正交归一基

$\boldsymbol \varepsilon_1 = \frac{\boldsymbol e_1}{\sqrt{g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_1)}} = \frac{v}{\sqrt{E}} = \binom{v}{0}, \quad \boldsymbol \varepsilon_2 = \frac{\boldsymbol e_2}{\sqrt{g_{\boldsymbol q}(\boldsymbol e_2, \boldsymbol e_2)}} = \frac{v}{\sqrt{G}} = \binom{0}{v}$

过渡矩阵

$A = (\boldsymbol \varepsilon_1 \ \boldsymbol \varepsilon_2)^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{v} & 0 \\ 0 & \frac{1}{v} \end{pmatrix}$

新坐标

$\binom{\theta^1}{\theta^2} = A \binom{du}{dv} = \begin{pmatrix} \frac{1}{v} & 0 \\ 0 & \frac{1}{v} \end{pmatrix} \binom{du}{dv} = \binom{\frac{du}{v}}{\frac{dv}{v}}$

微分形

$\begin{cases} d \theta^1 = \frac{1}{v^2} du \wedge dv \\ d \theta^2 = 0 du \wedge dv \end{cases}$

令联络 $\omega = f du + g dv$

$\begin{cases} -\omega \wedge \theta^2 = f \cdot \frac{1}{v} du \wedge dv \\ \omega \wedge \theta^1 = -g \cdot \frac{1}{v} du \wedge dv \end{cases}$

对比结构方程，解得

$\begin{cases} \frac{1}{v^2} = f \cdot \frac{1}{v} \\ 0 = -g \cdot \frac{1}{v} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} f = \frac{1}{v} \\ g = 0 \end{cases}$

所以 $\omega = \frac{1}{v} du$

$d \omega = -\frac{1}{v^2} du \wedge dv$

同时，根据第二结构方程

$d \omega = K \cdot \theta^1 \wedge \theta^2 = K \cdot \det A \cdot du \wedge dv = K \cdot \frac{1}{v^2} du \wedge dv$

所以

$K = -1$

# Riemannian 度规

# 基于曲面的参数化导出 Riemannian 度规

【微分几何】结构方程

【数理统计】数据分析