令距离拓扑空间 $(X,\mathcal O_d),\ x,y \in X,\ x \neq y$。
取 $\varepsilon := \frac{d(x,y)}{2} > 0$。
此时显然

$$x \in N(x,\varepsilon),\ y \in N(y,\varepsilon)$$

现验证不交，假设 $z \in N(x,\varepsilon) \cap N(y,\varepsilon)$，则

$$d(x,y) \leq d(x,z) + d(z,y) < \varepsilon + \varepsilon = d(x,y)$$

从而矛盾，故 $N(x,\varepsilon) \cap N(y,\varepsilon) = \emptyset$，即度量空间满足 Hausdorff 公理
$\square$

令 $(X,d)$ 为距离空间，对于任意 $x \in X$，取

$$\mathcal B(x) := \{N(x,\frac{1}{n}) \mid n \in \mathbb N\}$$

则显然其至多可数，现验证其为邻域基
任取 $U \in \mathcal N(x)$，则根据邻域的定义，存在 $\varepsilon \gt 0$，使得 $N(x,\varepsilon) \subset U$。
取自然数 $n$，使得 $\frac{1}{n} \lt \varepsilon$，则有

$$N(x,\frac{1}{n}) \subset N(x,\varepsilon) \subset U$$

则 $\mathcal B(x)$ 成为 $x$ 的至多可数邻域基
$\square$

令 $(X,d)$ 为度量空间，则已知其为 Hausdorff 空间，自然满足 $T_1$ 公理，需证明其满足 $T_4$ 公理
取不交闭集 $A,B \subset X$，则 $A \subset B^c \in \mathcal O_d$

对于任意 $a \in A$，度量空间中的开集性质给出

$${}^\exists \varepsilon_a \gt 0,\quad s.t.\quad N(a,\varepsilon_a) \subset B^c \implies N(a,\varepsilon_a) \cap B = \emptyset$$

同样，对于任意 $b \in B$，

$${}^\exists \delta_b \gt 0,\quad s.t.\quad N(b,\delta_b) \subset A^c \implies N(b,\delta_b) \cap A = \emptyset$$

令

$$\begin{cases} U := \bigcup\limits_{a \in A} N(a,\dfrac{\varepsilon_a}{2}) \in \mathcal O_d \\ V := \bigcup\limits_{b \in B} N(b,\dfrac{\delta_b}{2}) \in \mathcal O_d \end{cases}$$

则显然 $A \subset U,\ B \subset V$，现验证 $U \cap V = \emptyset$。
取任意 $c \in U \cap V$，则存在 $a \in A,\ b \in B$，使得

$$c \in N(a,\dfrac{\varepsilon_a}{2}) \cap N(b,\dfrac{\delta_b}{2})$$

则由三角不等式，有

$$d(a,b) \leq d(a,c) + d(c,b) < \frac{\varepsilon_a}{2} + \frac{\delta_b}{2} \leq \max{\{\varepsilon_a, \delta_b\}}$$

但此时有

$$\begin{cases} N(a,\varepsilon_a) \cap B = \emptyset \implies d(a,b) \geq \varepsilon_a \\ N(b,\delta_b) \cap A = \emptyset \implies d(a,b) \geq \delta_b \end{cases}$$

从而 $d(a,b) \geq \max{\{\varepsilon_a, \delta_b\}}$，与上式矛盾，故 $U \cap V = \emptyset$，即度量空间满足正规空间的定义
$\square$

证明纲要

• 第二可数公理给出至多可数的开基，并用自然数列控制编号
• 正规空间满足 $T_4$，通过 Urysohn 引理构造出一列连续函数族 $\{f_n:X \to [0,1]\} \quad$
• 利用该函数族构造出 $d:X \times X \to \mathbb R$，并验证其为度量函数
• 验证 $\mathcal O_d = \mathcal O$

设 $(X,\mathcal O)$ 为满足第二可数公理的正规空间，以下开始证明

开基编号
由于 $(X,\mathcal O)$ 满足第二可数公理，故存在至多可数的开基 $\mathcal B$
现在，取开基元 $U, V \in \mathcal B$，使其满足

$$\overline U \subset V$$

由于 $\mathcal B$ 至多可数，故满足上述条件的全体组合

$$M := \{ (U, V) \mid U,V \in \mathcal B \setminus \{\emptyset, X\},\ \overline U \subset V \}$$

也是至多可数的

建立其与自然数集 $\mathbb N$ 之间的双射编号关系，即改写为

$$M = \{(U_n, V_n) \mid n \in \mathbb N,\ U_n, V_n \in \mathcal B \setminus \{\emptyset, X\},\ \overline{U_n} \subset V_n \}$$

此时，对各个序号 $n$，$\overline{U_n}, V_n^c$ 都为不交的非空闭集

应用 Urysohn 引理
由于 $(X,\mathcal O)$ 为正规空间，所以满足 $T_4$ 公理，进入 Urysohn 引理的射程范围内
对于不交的非空闭集 $\overline{U_n}, V_n^c$，根据 Urysohn 引理，存在实连续映射

$$f_n:X \to [0,1], \quad s.t. \quad f_n(\overline{U_n}) = \{0\},\ f_n(V_n^c) = \{1\}$$

构造度量函数
定义映射

$$d:X \times X \to \mathbb R,\quad s.t.\quad d(x,y) := \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(x) - f_n(y)|}{2^n}$$

以下证明 $d$ 为度量函数

任取 $x,y,z \in X$
由绝对值的定义，显然有 $d(x,y) \geq 0$
现在验证 $d(x,y) = 0 \iff x = y$
若 $x = y$，则显然 $d(x,y) = 0$

(Hausdorff 包含链)
设 $x \neq y$，由于正规空间 $\implies$ Hausdorff 空间，所以对于异点 $x,y$

$${}^\exists H_x, H_y \in \mathcal O,\quad s.t.\quad x \in H_x,\ y \in H_y,\ H_x \cap H_y = \emptyset$$

由于 $\mathcal B$ 为开基，所以对于 $x \in H_x$

$${}^\exists B_1 \in \mathcal B,\quad s.t.\quad x \in B_1 \subset H_x$$

(Regular 包含链)
此时，有 $x \not\in B_1^c$
由于正规空间 $\implies$ 正则空间，所以满足 $T_3$ 公理，对于点 $x$ 与闭集 $B_1^c$ 的分离性

$${}^\exists R_x, R_{B_1^c} \in \mathcal O,\quad s.t.\quad x \in R_x,\ B_1^c \subset R_{B_1^c},\ R_x \cap R_{B_1^c} = \emptyset$$

由于 $\mathcal B$ 为开基，所以对于 $x \in R_x$

$${}^\exists B_2 \in \mathcal B,\quad s.t.\quad x \in B_2 \subset R_x$$

统合结果
此时存在包含链，注意仅 $R_{B_1^c}^c$ 为闭集，也注意 $B_1^c \subset R_{B_1^c} \implies R_{B_1^c}^c \subset B_1$

$$x \in B_2 \subset R_x \subset (R_{B_1^c})^c \subset B_1 \subset H_x$$

所以，对于包含关系 $\overline{B_2} \subset B_1$，存在序号 $m \in \mathbb N$，使得 $(U_m,V_m) = (B_2, B_1)$

回顾函数列 $f_m$ 的定义，对于我们最开始规定的 $x \neq y$，有

• $x \in U_m \subset \overline{U_m}$，所以 $f_m(x) = 0$
• $y \not\in V_m \implies y \in V_m^c$，所以 $f_m(y) = 1$

那么，距离

$$d(x,y) = \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(x) - f_n(y)|}{2^n} \geq \frac{1}{2^m} > 0$$

所以 $x \neq y \implies d(x,y) > 0$
取对偶得到 $d(x,y) = 0 \implies x = y$

综上所述，$d$ 满足度量函数的第一条定义

接下来验证对称性与三角不等式

$$d(y,x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(y) - f_n(x)|}{2^n} = \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(x) - f_n(y)|}{2^n} = d(x,y)$$

$$\begin{aligned} d(x,z) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(x) - f_n(z)|}{2^n} \\ &\leq \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(x) - f_n(y)| + |f_n(y) - f_n(z)|}{2^n} \\ &= \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(x) - f_n(y)|}{2^n} + \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(y) - f_n(z)|}{2^n} \\ &= d(x,y) + d(y,z) \end{aligned}$$

所以，$d$ 满足度量函数的三条定义，成为度量函数

验证拓扑相等
最后证明 $\mathcal O_d = \mathcal O$

($\mathcal O \subset \mathcal O_d$)
取 $O \in \mathcal O$
对于任意点 $a \in O$，其与闭集 $O^c$ 的分离性由 $T_3$ 公理给出：

$${}^\exists O_a, O_{O^c} \in \mathcal O,\quad s.t.\quad a \in O_a,\ O^c \subset O_{O^c},\ O_a \cap O_{O^c} = \emptyset$$

由于 $\mathcal B$ 为开基，所以对于 $a \in O_a$

$${}^\exists O_1 \in \mathcal B,\quad s.t.\quad a \in O_1 \subset O_a$$

进一步，再对于 $a$ 与闭集 $B_a^c$ 的分离性，给出

$${}^\exists O_a', O_{O_1^c}' \in \mathcal O,\quad s.t.\quad a \in O_a',\ O_1^c \subset O_{O_1^c}',\ O_a' \cap O_{O_1^c}' = \emptyset$$

由于 $\mathcal B$ 为开基，所以对于 $a \in O_a'$

$${}^\exists O_2 \in \mathcal B,\quad s.t.\quad a \in O_2 \subset O_a'$$

此时具有包含链，注意 $O_1^c \subset O_{O_1^c}' \implies (O_{O_1^c}')^c \subset O_1$

$$a \in O_2 \subset O_a' \subset (O_{O_1^c}')^c \subset O_1 \subset O_a$$

所以，对于包含关系 $\overline{O_2} \subset O_1$，存在序号 $\ell \in \mathbb N$，使得 $(U_\ell,V_\ell) = (O_2, O_1)$

现在考虑度量空间中的邻域 $N(a, \frac{1}{2^\ell})$

对于任意 $b \in V_\ell^c$，有 $f_\ell(b) = 1$
而 $a \in U_\ell \subset \overline{U_\ell}$，所以 $f_\ell(a) = 0$
那么，距离

$$d(a,b) = \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(a) - f_n(b)|}{2^n} \geq \frac{|f_\ell(a) - f_\ell(b)|}{2^\ell} = \frac{1}{2^\ell}$$

所以，任意 $b \in V_\ell^c$ 都不在邻域 $N(a, \frac{1}{2^\ell})$ 中，即 $N(a, \frac{1}{2^\ell}) \subset V_\ell$

而 $V_\ell = O_1 \subset O_a \subset O$，所以 $N(a, \frac{1}{2^\ell}) \subset O$
综上所述，任意点 $a \in O$ 都存在邻域 $N(a, \frac{1}{2^\ell})$ 包含于 $O$ 中
根据度量拓扑的定义，得到 $O \in \mathcal O_d$

($\mathcal O_d \subset \mathcal O$)
取 $O' \in \mathcal O_d$，任取点 $x \in O'$，度量拓扑的定义给出

$${}^\exists \varepsilon \gt 0,\quad s.t.\quad N(x,\varepsilon) \subset O'$$

首先，取满足

$$\sum_{n \gt k} \frac{1}{2^n} < \frac{\varepsilon}{2}$$

的 $k \in \mathbb N$，然后对点 $x$ 定义

$$O_i(x) := \{ y \in X \mid |f_i(x) - f_i(y)| < \frac{\varepsilon}{2k} \},\quad i = 1,2,\ldots,k$$

由于各个 $f_i$ 都为连续映射，所以各个 $x \in O_i(x) \in \mathcal O$
定义

$$O(x) := \bigcap_{i=1}^k O_i(x)$$

由于有限交运算，$O(x) \in \mathcal O$ 也成立

此时，对于任意 $y \in O(x)$，有

$$\begin{aligned} d(x,y) &= \sum_{n=1}^\infty \frac{|f_n(x) - f_n(y)|}{2^n} \\ &= \sum_{n=1}^k \frac{|f_n(x) - f_n(y)|}{2^n} + \sum_{n \gt k} \frac{|f_n(x) - f_n(y)|}{2^n} \\ &< \sum_{n=1}^k \frac{\varepsilon}{2k} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon \end{aligned}$$

所以

$$O(x) \subset N(x,\varepsilon)$$

度量拓扑的定义给出，$N(x,\varepsilon) \subset O'$，所以对于任意点 $x \in O'$

$${}^\exists O(x) \in \mathcal O,\quad s.t.\quad x \in O(x) \subset O'$$

所以 $x$ 为 $O'$ 的内点，依据拓扑空间的定义，得到 $O' \in \mathcal O$

综上！满足第二可数公理的正规空间一定可以度量化
$\square$

假设

$${}^\exists x,y \in X,\ x \neq y,\quad s.t.\quad \lim\limits_{n \to \infty} x_n = x,\ \lim\limits_{n \to \infty} x_n = y$$

取

$$\varepsilon := \frac{d(x,y)}{2} > 0$$

则由极限的定义，分别可以知道

$$\begin{cases} {}^\exists N_1 \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall n > N_1,\ d(x_n,x) < \varepsilon \\ {}^\exists N_2 \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall n > N_2,\ d(x_n,y) < \varepsilon \end{cases}$$

那么对于任意 $m > \max{\{N_1,N_2\}}$，由三角不等式，有

$$d(x,y) \leq d(x,x_m) + d(x_m,y) < \varepsilon + \varepsilon = d(x,y)$$

从而矛盾，故极限唯一
$\square$

假设极限为 $x \in X$，即

$$\lim\limits_{n \to \infty} x_n = x$$

任取 $\varepsilon > 0$，由极限的定义

$${}^\exists N \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall n > N,\ d(x_n,x) < \frac{\varepsilon}{2}$$

此时，对于任意 $m,n > N$，由三角不等式，有

$$d(x_n,x_m) \leq d(x_n,x) + d(x_m,x) < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$$

所以 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N}$ 为 Cauchy 列
$\square$

证明纲要

• 考虑 Cauchy 列全体构成的集合 $C(X, \mathcal O_d)$，证明距离 $\{d(x_n,y_n)\}_{n \in \mathbb N}$ 收敛
• 定义等价关系 $\sim := d(x_n,y_n) \to 0$，基于这个等价关系构造商集 $X^* := C(X, \mathcal O_d) / \sim$
• 在 $X^*$ 上构造函数 $d^*:(x,y) \mapsto \lim d(x_n,y_n)$，证明其为度量函数，由此得到度量空间 $(X^*, d^*)$
• 构造映射 $i:X \to X^*$，并证明其为等距映射
• 证明 $i(X)$ 在 $X^*$ 中稠密
• 证明 $(X^*, d^*)$ 是完备的
• 任取两种不同的完备化，证明其中间存在双射的等距映射

取任意度量空间 $(X,d)$ 即对应的距离拓扑空间 $(X,\mathcal O_d)$

证明距离收敛
令 $C(X, \mathcal O_d)$ 为 $(X,\mathcal O_d)$ 上所有 Cauchy 列构成的集合
此时，取任意 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N}, \{y_n\}_{n \in \mathbb N} \in C(X, \mathcal O_d)$
任取 $\varepsilon \gt 0$，由于 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N}, \{y_n\}_{n \in \mathbb N}$ 都为 Cauchy 列，所以

$$\begin{cases} {}^\exists N_1 \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall m,n \gt N_1,\ d(x_n,x_m) < \frac{\varepsilon}{2} \\ {}^\exists N_2 \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall m,n \gt N_2,\ d(y_n,y_m) < \frac{\varepsilon}{2} \end{cases}$$

那么对于任意 $m, n \gt \max{\{N_1,N_2\}}$，由三角不等式，有

$$d(x_n,y_n) \leq d(x_n,x_m) + d(x_m,y_m) + d(y_m,y_n) < \frac{\varepsilon}{2} + d(x_m,y_m) + \frac{\varepsilon}{2}$$

移项得到

$$d(x_n,y_n) - d(x_m,y_m) < \varepsilon$$

同理可得

$$d(x_m,y_m) - d(x_n,y_n) < \varepsilon$$

综上 $|d(x_n,y_n) - d(x_m,y_m)| < \varepsilon$，所以 $\{d(x_n,y_n)\}_{n \in \mathbb N}$ 为实数空间中的 Cauchy 列
而实数空间为完备的度量空间，所以 $\{d(x_n,y_n)\}_{n \in \mathbb N}$ 收敛

定义等价关系
定义

$${}^\forall \{x_n\}_{n \in \mathbb N}, \{y_n\}_{n \in \mathbb N} \in C(X, \mathcal O_d),\quad \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \sim \{y_n\}_{n \in \mathbb N} \iff \lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,y_n) = 0$$

以下验证 $\sim$ 为等价关系，取任意 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N}, \{y_n\}_{n \in \mathbb N}, \{z_n\}_{n \in \mathbb N} \in C(X, \mathcal O_d)$

• 自反性：显然 $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,x_n) = 0$，所以 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N} \sim \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \quad$
• 对称性：若 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N} \sim \{y_n\}_{n \in \mathbb N}$，则 $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,y_n) = 0$，由度量函数的对称性，有 $\lim\limits_{n \to \infty} d(y_n,x_n) = 0$，所以 $\{y_n\}_{n \in \mathbb N} \sim \{x_n\}_{n \in \mathbb N} \quad$
• 传递性：若 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N} \sim \{y_n\}_{n \in \mathbb N}$ 且 $\{y_n\}_{n \in \mathbb N} \sim \{z_n\}_{n \in \mathbb N}$，则 $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,y_n) = 0$ 且 $\lim\limits_{n \to \infty} d(y_n,z_n) = 0$，由度量函数的三角不等式，有

$$d(x_n,z_n) \leq d(x_n,y_n) + d(y_n,z_n)$$

取极限得到 $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,z_n) = 0$，所以 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N} \sim \{z_n\}_{n \in \mathbb N} \quad$

从而，$\sim$ 为等价关系，构造商集

$$X^* := C(X, \mathcal O_d) / \sim$$

以下记 $\left[\{x_n\}_{n \in \mathbb N}\right]$ 为 $\{x_n\}_{n \in \mathbb N}$ 在商集 $X^*$ 中的等价类

构造度量函数
定义映射

$$d^*:X^* \times X^* \to \mathbb R,\quad s.t.\quad d^*\left(\left[\{x_n\}_{n \in \mathbb N}\right], \left[\{y_n\}_{n \in \mathbb N}\right]\right) := \lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,y_n)$$

需要验证

• $d^*$ 是 Well-defined 的
• $d^*$ 满足度量函数的三条定义

(Well-defined)
任取 $\left[\{x_n\}_{n \in \mathbb N}\right] = \left[\{x_n'\}_{n \in \mathbb N}\right],\ \left[\{y_n\}_{n \in \mathbb N}\right] = \left[\{y_n'\}_{n \in \mathbb N}\right]$，只需证明 $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,y_n) = \lim\limits_{n \to \infty} d(x_n',y_n')$

令 $\lim\limits_{n \to \infty} d(x_n,y_n) = K$，则对于任意 $\varepsilon \gt 0$，，极限和等价类的定义给出

$$\begin{cases} {}^\exists N_0 \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall n \gt N_0,\ |d(x_n,y_n) - K| < \dfrac{\varepsilon}{3} \\ {}^\exists N_1 \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall n \gt N_1,\ d(x_n,x_n') < \dfrac{\varepsilon}{3} \\ {}^\exists N_2 \in \mathbb N,\ s.t.\ {}^\forall n \gt N_2,\ d(y_n,y_n') < \dfrac{\varepsilon}{3} \end{cases}$$

那么，对于任意 $n \gt \max{\{N_0,N_1,N_2\}}$，由三角不等式，有

$$d(x_n',y_n') \leq \underbrace{d(x_n',x_n)}_{\lt \frac{\varepsilon}{3}} + \underbrace{d(x_n,y_n)}_{< K + \frac{\varepsilon}{3}} + \underbrace{d(y_n,y_n')}_{\lt \frac{\varepsilon}{3}} \lt K + \varepsilon$$

又因为

$$d(x_n,y_n) \leq d(x_n,y_n') + \underline{d(x_n',y_n')} + d(x_n',y_n)$$