Home 数学 点集拓扑

# 生成

定义
令 O1,O2\mathcal O_1, \mathcal O_2 为集合 XX 上的两个拓扑
若 O1⊂O2\mathcal O_1 \subset \mathcal O_2，则称 O2\mathcal O_2 比 O1\mathcal O_1 强，记作 O2≻O1\mathcal O_2 \succ \mathcal O_1。
反之称 O1\mathcal O_1 比 O2\mathcal O_2 弱，记作 O1≺O2\mathcal O_1 \prec \mathcal O_2。

拓扑之间的比较关系除了 “强弱”，也常用 “粗细”，“大小” 等词汇来描述

定义
令 X≠∅X \neq \emptyset，S⊂P(X)\mathcal S \subset \mathcal{P}(X)
称包含有 S\mathcal S 的最小的拓扑为由 S\mathcal S 生成 的拓扑，记作 O(S)\mathcal O(\mathcal S)。

即，对于选取的子集系 S\mathcal S

  • 首先规定 S\mathcal S 中的元为开集
  • 其次为了满足拓扑的定义，补充更多的开集，直到满足拓扑的三条公理为止
  • 最终得到的拓扑即为由 S\mathcal S 生成的拓扑 O(S)\mathcal O(\mathcal S)

# 开基

一个通用的思维策略是，通过研究一部分具有代表性的对象来研究整个空间，例如等价类的完全代表系，或者生成群的生成元。
在拓扑空间中，这样的对象称为准开基或者开基。可以通过生成的概念来找寻这样的对象。

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，S⊂O\mathcal S \subset \mathcal O，如果 O\mathcal O 是由 S\mathcal S 生成的拓扑，则称 S\mathcal S 为 O\mathcal O 的 准开基 (Subbasis)「準開基」。

注意此时给出的 S\mathcal S 只是要求为拓扑的一个子集，这意味着它不一定是一个拓扑结构
虽然它可以作为 “拓扑结构中最能概况全体结构” 的某一个对象，但是它并不保有拓扑结构，只是满足了一个门槛，所以叫 准 开基。

实际上如果能找到一个性质更好的对象，使得可以通过它一览拓扑结构全貌的同时，还保有拓扑结构（也就是说它自己就是一个拓扑），那么会更好的反映出拓扑结构的性质。
所以开基的定义如下。

定义
令 B⊂O\mathcal B \subset \mathcal O，如果对于任意 O∈OO \in \mathcal O，都存在一个集合列 {Uλ∣λ∈Λ}⊂B\{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \subset \mathcal B，使得 O=⋃λ∈ΛUλO = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda，则称 B\mathcal B 为 O\mathcal O 的 开基 (Basis)「開基」。

注意如果 B\mathcal B 是拓扑 O\mathcal O 的一个开基，那等价于 O=O(B)\mathcal O = \mathcal O(\mathcal B)，所以 B\mathcal B 自动成为准开基，这也意味着开基的定义更严格。

一般来说，开基的证明使用以下等价条件。

命题
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，B⊂O\mathcal B \subset \mathcal O，以下等价：

  1. B\mathcal B 是 O\mathcal O 的开基
  2. 对任意 O∈OO \in \mathcal O 以及 x∈Ox \in O，存在 B∈BB \in \mathcal B，使得 x∈B,B⊂Ox \in B, B \subset O
证明

(1)⇒(2)(1) \Rightarrow (2)
取 O\mathcal O 的开基 B\mathcal B，对于任意 O∈OO \in \mathcal O，有 {Uλ∣λ∈Λ}⊂B\{ U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda \} \subset \mathcal B 使得 O=⋃λ∈ΛUλO = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda。
所以对于任意 x∈O=⋃λ∈ΛUλx \in O = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda，存在某个 Uλ∈BU_\lambda \in \mathcal B 使得 x∈Uλx \in U_\lambda，则 Uλ⊂OU_\lambda \subset O。
(2)⇒(1)(2) \Rightarrow (1)
对任意 O∈O,x∈OO \in \mathcal O, x \in O，根据假设，∃Bx∈B,Bx⊂O\exists B_x \in \mathcal B, B_x \subset O。
则 x∈⋃x∈OBxx \in \bigcup_{x \in O} B_x，另一边由于各个 BxB_x 都包含于 OO，所以并集也包含于 OO。
得到 O=⋃x∈OBx□O = \bigcup_{x \in O} B_x \quad \square

通过研究开基，尤其是拓扑空间本身无限，但是开基有限的时候，可以知道许多拓扑空间的性质。

同样的，因为在研究点的周边性质，以及映射的连续性的时候，需要经常考虑邻域系，所以也可以引入 邻域基 (Neighborhood basis)「近傍基」。

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，点 x∈Xx \in X 的邻域系为 N(x)\mathcal N(x)，如果 B(x)⊂N(x)\mathcal B(x) \subset \mathcal N(x) 满足：对任意 N∈N(x)N \in \mathcal N(x)，存在 B∈B(x)B \in \mathcal B(x)，使得 B⊂NB \subset N，则称 B(x)\mathcal B(x) 为 xx 的 邻域基 (Neighborhood basis)「近傍基」「基本近傍系」。

开基和邻域基之间存在强关联，这也是此处将邻域基记作 B(x)B(x) 的原因。

命题
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，B\mathcal B 为 O\mathcal O 的开基，那么如果设包含 x∈Xx \in X 的 B\mathcal B 中的元（是集合）全体为 B(x)\mathcal B(x)，则 B(x)\mathcal B(x) 是 xx 的邻域基。

证明

令 B\mathcal B 为 O\mathcal O 的开基，定 B(x)={B∈B∣x∈B}\mathcal B(x) = \{B \in \mathcal B \mid x \in B\}。
任取 B∈B(x)B \in \mathcal B(x)，由于 x∈B∈B⊂O⇒x∈B=Bix \in B \in \mathcal B \subset \mathcal O \Rightarrow x \in B = B^i，所以 B∈N(x)B \in \mathcal N(x)，得到 B(x)⊂N(x)\mathcal B(x) \subset \mathcal N(x)。
再任取 N∈N(x)N \in \mathcal N(x)，由于邻域的定义，可知 N∈ON \in \mathcal O，结合开基的条件有
存在 B0∈B:x∈B0,B0⊂NB_0 \in \mathcal B: x \in B_0, B_0 \subset N，所以 B0∈B(x)B_0 \in \mathcal B(x)，得到 B(x)\mathcal B(x) 满足邻域基的条件 □\quad \square

通过研究准开基，可以拥有一种侧面研究映射的方式。

命题
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，S\mathcal S 为 OY\mathcal O_Y 的准开基，映射 f:X→Yf:X \to Y，以下等价：

  1. ff 连续
  2. ∀S∈Ss.t.f−1(S)\forall S \in \mathcal S \ \text{s.t.} \ f^{-1}(S) 为 XX 上的开集
证明

(1)⇒(2)(1) \Rightarrow (2) 由 S⊂OY\mathcal S \subset \mathcal O_Y 定义显然。
(2)⇒(1)(2) \Rightarrow (1)
令 S′:={V∈P(Y)∣f−1(V)∈OX}\mathcal S' := \{V \in \mathcal P(Y) \mid f^{-1}(V) \in \mathcal O_X \}，则根据条件有 S⊂S′\mathcal S \subset \mathcal S'。
由准开基的定义，可以知道 OY\mathcal O_Y 是包含 S\mathcal S 的最小拓扑，所以如果能证明 S′\mathcal S' 也是一个拓扑，就能证明 S′=OY\mathcal S' = \mathcal O_Y，根据 S′\mathcal S' 的定义，即可获得连续性（开集原像开）。
(O1) 首先 f−1(∅)=∅∈OX,f−1(Y)=X∈OXf^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathcal O_X, f^{-1}(Y) = X \in \mathcal O_X，所以 ∅,Y∈S′\emptyset, Y \in \mathcal S'。
(O2) 令 S1,S2∈S′S_1, S_2 \in \mathcal S'，则 f−1(S1∩S2)=f−1(S1)∩f−1(S2)∈OXf^{-1}(S_1 \cap S_2) = f^{-1}(S_1) \cap f^{-1}(S_2) \in \mathcal O_X，所以 S1∩S2∈S′S_1 \cap S_2 \in \mathcal S'。
(O3) 取 {Sλ∣λ∈Λ}⊂S′\{S_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\} \subset \mathcal S'，则 f−1(⋃λ∈ΛSλ)=⋃λ∈Λf−1(Sλ)∈OXf^{-1}(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f^{-1}(S_\lambda) \in \mathcal O_X，所以 ⋃λ∈ΛSλ∈S′\bigcup_{\lambda \in \Lambda} S_\lambda \in \mathcal S'。
综上有 S′\mathcal S' 也是一个拓扑 □\quad \square

命题
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，B\mathcal B 为 OX\mathcal O_X 的开基，开映射 f:X→Yf:X \to Y，

  • ∀U∈Bs.t.f(U)∈OY\forall U \in \mathcal B \ \text{s.t.} \ f(U) \in \mathcal O_Y
证明

任取 O∈OXO \in \mathcal O_X，由开基得 ∃{Uλ∣λ∈Λ}⊂B\exists \{U_\lambda \mid \lambda \in \Lambda\} \subset \mathcal B 使得 O=⋃λ∈ΛUλO = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda，且各个 Uλ∈OYU_\lambda \in \mathcal O_Y。
所以 f(O)=f(⋃λ∈ΛUλ)=⋃λ∈Λf(Uλ)∈OY□f(O) = f(\bigcup_{\lambda \in \Lambda} U_\lambda) = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} f(U_\lambda) \in \mathcal O_Y \quad \square

# 可数公理

处理无穷个对象往往是难以操作的，但是实际上，很多无穷开集组成的拓扑空间，本质上是由有限个基本单位组成的。
所以我们给出两条用于衡量拓扑空间 “可数性” 的准则

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间

  • 若 XX 的任意点均存在一个至多可数的邻域基，则称 (X,O)(X,\mathcal O) 满足 第一可数公理 (First Countability Axiom)「第一可數公理」
  • 若 O\mathcal O 存在一个至多可数的开基，则称 (X,O)(X,\mathcal O) 满足 第二可数公理 (Second Countability Axiom)「第二可數公理」

二者具有强弱关系，即第二可数公理是比第一可数公理更强的条件

命题

第二可数公理⟹第一可数公理\text{第二可数公理} \implies \text{第一可数公理}

证明

证明方针：利用开基构造邻域基
由于满足第二可数公理，所以有至多可数的开基

B(x)={B∈B∣x∈B}\mathcal B(x) = \{ B \in \mathcal B \mid x \in B \}

取开基中包含点 xx 的集合构成邻域基

B(x)={B∈B∣x∈B}\mathcal B(x) = \{ B \in \mathcal B \mid x \in B \}

此时，该邻域基的基数不超过 B\mathcal B 的基数，所以至多可数 □\quad \square

定义
令 (X,O)(X,\mathcal O) 为拓扑空间，A⊂XA \subset X
若 A‾=X\overline A = X 则称 AA 为 (X,O)(X,\mathcal O) 的 稠密 (Dense)「稠密」的子集
如果拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O) 具有浓度至多可数稠密的子集，则称 (X,O)(X,\mathcal O) 可分 (Separable)「可分」

想象一个原本充盈的集合 XX 中，我们取一个去掉几个零散点的子集 AA，如果可以用闭包来补上这几个丢失的点，那 AA 就是稠密的

如果 XX 没有这些稠密的集合，就说明有的地方有大面积的空洞，或者有的地方之间有非常强的链接。

命题
满足第二可数公理的拓扑空间可分

证明

令拓扑空间 (X,O)(X,\mathcal O) 满足第二可数公理，则 O\mathcal O 具有至多可数的开基 B={Bn∣n∈N}\mathcal B = \{B_n \mid n \in \mathbb N\}
从各个非空的 BnB_n 中取一点构成集合（利用选择公理） A={xn∈Bn∣Bn∈B,Bn≠∅}A = \{ x_n \in B_n \mid B_n \in \mathcal B, B_n \neq \emptyset \}，则 ∣A∣≤∣N∣|A| \leq |\mathbb N| 至多可数
我们证明 AA 是稠密的。并且 A‾⊂X\overline A \subset X 自明，只需 X⊂A‾X \subset \overline A
任取 x∈X,O∈Ox \in X, O \in \mathcal O，考虑 x∈Ox \in O，由开基得
∃B∈B,x∈B,B⊂O\exists B \in \mathcal B, x \in B, B \subset O，由于 BB 非空得 x∈Ax \in A，所以 O∩A≠∅O \cap A \neq \emptyset，得到 x∈A‾□x \in \overline A \quad \square

反过来一般不成立，但是对于距离空间成立

命题
可分的距离空间满足第二可数公理

证明

取距离空间 (X,d)(X,d) 和诱导的拓扑空间 (X,Od)(X,\mathcal O_d)，可分性给出稠密子集 A={xn∣n∈N}A = \{x_n \mid n \in \mathbb N\} 的存在性
定 B:={N(xn,1m)∣m∈N}\mathcal B := \{N(x_n,\frac{1}{m}) \mid m \in \mathbb N\}，注意 ∣N2∣=∣N∣|\mathbb N^2|=|\mathbb N|，所以 B\mathcal B 为至多可数。我们证明它是 Od\mathcal O_d 的开基
任取 O∈Od,x∈OO \in \mathcal O_d, x \in O，由于 OO 是开集，给出 ∃N(x,ϵ)⊂O(ϵ>0)\exists N(x,\epsilon) \subset O (\epsilon > 0)
取自然数 m0>2ϵm_0 > \frac{2}{\epsilon}，则 N(x,2m0)⊂N(x,ϵ)N(x,\frac{2}{m_0}) \subset N(x,\epsilon)
由于稠密，A‾=X\overline A = X，所以 N(x,1m0)∩A≠∅N(x,\frac{1}{m_0}) \cap A \neq \emptyset，则存在 xn∈A:x∈N(x,1m0)x_n \in A : x \in N(x,\frac{1}{m_0})
从 N(xn,1m0)N(x_n,\frac{1}{m_0}) 中任取 yy，则 d(x,y)≤d(x,xn)+d(xn,y)<1m0+1m0=2m0<ϵd(x,y) \leq d(x,x_n) + d(x_n,y) < \frac{1}{m_0} + \frac{1}{m_0} = \frac{2}{m_0} < \epsilon，所以 N(xn,1m0)⊂N(x,ϵ)⊂ON(x_n,\frac{1}{m_0}) \subset N(x,\epsilon) \subset O
所以 B\mathcal B 是 Od\mathcal O_d 的开基，得到 (X,Od)(X,\mathcal O_d) 满足第二可数公理 □\quad \square