# 拓扑空间

定义
令 $X \neq \emptyset, \mathcal O \subset \mathcal{P}(X)$ ，若 $\mathcal O$ 满足

$\emptyset,X \in \mathcal O \quad$
$O_1,O_2 \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ O_1 \cap O_2 \in \mathcal O$
对任意添字集 $\Lambda$ ，有 $O_{\lambda} \in \mathcal O \ \Longrightarrow \ \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda} \in \mathcal O$

则称 $\mathcal O$ 为 $X$ 的 拓扑 (topology)「位相」 或 开集系 (open set system)「開集合系」
称整体 $(X,\mathcal O)$ 为 拓扑空间 (topological space)「位相空間」
称 $\mathcal O$ 内的元为 $X$ 的 开集 (open set)「開集合」

简单来说，拓扑空间是一套规定，或者说是一个身份证明，描述了所有集合 $X$ 的子集中，哪些符合要求，可以称为 “开集”

不同于已经学习过的实数空间中的拓扑结构，开集这个概念在拓扑空间中更多的是一种身份，角色定位。实数拓扑中的定义是，若一个集合包含了它所有点的某个邻域，那么它就是开集。这实际上是度量拓扑的一个示例，具体内容会在后面讲解。
现在只需要简单理解一件事：“开集” 这个概念是一个身份标签，而不是基于集合本身的性质来定义的

如果只关注 $X$ 上有拓扑构造而不关注具体是什么，可以简称为 $X$ ，忽略 $\mathcal O$

以下是两个只依靠集合本身就可以定义的特殊拓扑示例

示例

称 $\mathcal O = \mathcal{P}(X)$ 为 $X$ 的 离散拓扑 (discrete topology)「離散位相」 $\quad$
称 $\mathcal O = \{\emptyset,X\}$ 为 $X$ 的 密着拓扑 (trivial topology)「密着位相」 或者称为平庸拓扑 (indiscrete topology)

与开集相对，也有闭集系和闭集的概念
闭集同样不是基于集合本身的性质，而是通过补集来定义的

若 $F^c \in \mathcal O$ ，则称 $F$ 为 $X$ 的 闭集 (closed set)「閉集合」
$(X,\mathcal O)$ 上的闭集全体称为 闭集系 (closed set system)「閉集合系」，记作 $\mathcal F$ ，并且它会满足：

$\emptyset,X \in \mathcal F$
$F_1,F_2 \in \mathcal F \ \Longrightarrow \ F_1 \cap F_2 \in \mathcal F$
对任意添字集 $\Lambda$ ，有 $F_{\lambda} \in \mathcal F \ \Longrightarrow \ \bigcup\limits_{\lambda \in \Lambda} F_{\lambda} \in \mathcal F$

拓扑结构这个概念本身比较抽象，对于初学者来说或许有一定难度。
许多教材书籍选择在引入拓扑结构之前，先从熟知的实数空间开始引入度量拓扑，也就是用已经习惯的分析学知识慢慢导入。

但是笔者在经历过这样的学习过程后认为：这样的学习方法反而会一定程度导致对拓扑结构的误解，认为拓扑只是 “距离” 的一种推广。
实际上，拓扑结构描述的是集合中元素之间的 “连通性”，这不简单的等同于 “距离”。

所以，在笔记顺序上，选择直接介绍拓扑结构的定义，再将度量拓扑作为一个特殊的拓扑结构来介绍，或许更为合理。

于是为了先能够对抽象的拓扑结构有一个直观理解，作以下补充说明：
首先，拓扑结构至少是一个二级结构，也就说，拓扑中的” 元 “是原本讨论的集合 $X$ 的子集
二级结构的一个非常常见的例子就是幂集 $\mathcal P(X)$

首先从抽象角度说明。拓扑分析集合 $X$ 中各个元素之间的” 连通性 “，或者说得通俗一些：可访问性。
如果两个集合中的元 $x,y$ 之间是连通的，那么包含他们的子集 $\{x,y\}$ 作为一个开集的角色存在于拓扑结构中。对多个元素同理。
所以拓扑结构实际上是从幂集中挑选出一部分子集，作为开集，来描述集合中各个元素之间的连通关系

可以考虑如下的生活中的例子：
取集合 $X$ 为各个车站，定义拓扑为，互相可以连通的车站集合
那么幂集就是所有可能的连通情况
实际上几乎是没有车站之间完全覆盖到所有连通情况的，例如欧洲的铁路系统与日本的铁路系统就一般不是互相连通

# 拓扑空间中的基本概念

内点，外点等概念，在实数中间的分析学中已经给出过定义和介绍
但是其更为本质的定义，实际上依赖于拓扑结构的开集角色

令 $(X,\mathcal O)$ 为拓扑空间， $A \subset X$

$a \in X$ 是 $A$ 的 内点 (Interior Point)「内点」 \stackrel{def}

${}^\exists O \in \mathcal O,\quad s.t. \quad a \in O,\ O \subset A$

$a \in X$ 是 $A$ 的 外点 (Exterior Point)「外点」 \stackrel{def}

${}^\exists O \in \mathcal O,\quad s.t. \quad a \in O,\ O \cap A = \emptyset$

$a \in X$ 是 $A$ 的 边界点 (Boundary Point)「边界点」 \stackrel{def}

${}^\exists O \in \mathcal O,\quad s.t. \quad a \in O \implies O \not\subset A,\ O \cap A \neq \emptyset$

$a \in X$ 是 $A$ 的 触点 (Adherent Point)「触点」 \stackrel{def}

${}^\forall O \in \mathcal O,\quad s.t. \quad a \in O \implies O \cap A \neq \emptyset$

基于点的定义，有关于集合的二级概念

称 $A$ 的内点全体为 $A$ 的 内部 (Interior)「内部」，记作 $A^i$
称 $A$ 的外点全体为 $A$ 的 外部 (Exterior)「外部」，记作 $A^e$
称 $A$ 的边界点全体为 $A$ 的 边界 (Frontier/Boundary)「边界」，记作 $A^f$
称 $A$ 的触点全体为 $A$ 的 闭包 (Closure)「閉包」，记作 $\overline A$

进一步，可以有开集和闭集的等价定义

$A$ 是 $X$ 的 开集 (Open Set)「開集合」 $\stackrel{def}{\iff} A = A^i$
$A$ 是 $X$ 的 闭集 (Closed Set)「閉集合」 $\stackrel{def}{\iff} A = \overline A$

至此，开集有通过内部和通过拓扑的两种定义方式，反过来也可以通过拓扑来定义内部和闭包

$A^i := \bigcup \{ O \in \mathcal O \mid O \subset A \} ,\quad \overline A := \bigcap \{ F \in \mathcal F \mid A \subset F \} \quad$

命题
令 $(X,\mathcal O)$ 为拓扑空间， $A \subset X$

$A^i \subset A \subset \overline A$

证明

任取 $a \in A^i$ ，由定义 $\exists O \in \mathcal O,\ s.t.\ a \in O,\ O \subset A$ ，所以 $a \in A$ ，故 $A^i \subset A$
任取 $a \in A$ ，由定义 $\forall F \in \mathcal F,\ s.t.\ A \subset F$ ，所以 $a \in F$ ，故 $A \subset \overline A$ $\quad \square$

拓扑空间中点的邻域的定义同样也依赖开集

对于点 $x \in X$

$N \subset X$ 是点 $x$ 的 邻域 (Neighborhood)「邻域」 $\stackrel{def}{\iff} x \in N^i$
称点 $x$ 的邻域全体构成的集合为点 $x$ 的 邻域系 (Neighborhood System)「邻域系」，记作 $\mathcal N_X(x)$ ，如果不需要强调所处空间 $X$ ，可以记作 $\mathcal N(a)$

注意邻域系是一个二级结构
邻域系将在下一节学习连续映射时发挥重要作用

# 拓扑空间

# 拓扑空间中的基本概念

【点集拓扑】开基

【点集拓扑】紧性