Home 数学 点集拓扑

# 连续映射

拓扑空间中的映射连续性的定义依赖于邻域的概念

定义
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，映射 f:X→Yf:X \to Y

  • ff 在 a∈Xa \in X 连续 ⟺def\stackrel{def}{\iff} ∀B∈NY(f(x))s.t.f−1(B)∈NX(x)\forall B \in \mathcal{N}_Y(f(x)) \ s.t. \ f^{-1}(B) \in \mathcal{N}_X(x)
  • ff 在 XX 上连续 ⟺def\stackrel{def}{\iff} ∀V∈OYs.t.f−1(V)∈OX\forall V \in \mathcal O_Y \ s.t. \ f^{-1}(V) \in \mathcal O_X

注意：此处定义中，映射全体连续性的定义不是在所有的点上连续，虽然这依然等价
也有部分教材依旧使用 “在所有点上连续” 的定义方式

令 (X,dX),(Y,dY)(X,d_X),(Y,d_Y) 为拓扑空间，FX,FY\mathcal F_X,\mathcal F_Y 为各自的闭集系，映射 f:X→Yf:X \to Y，a∈Xa \in X，以下全部等价

  1. ff 连续
  2. ff 在任意的点 a∈Xa \in X 处连续
  3. ∀F∈FYs.t.f−1(F)∈FX\forall F \in \mathcal F_Y \ s.t. \ f^{-1}(F) \in \mathcal F_X
证明

(1) ⇒\Rightarrow (2)
∀B∈NY(f(x))⊂OYs.t.f−1(B)∈NX(x)⊂OX\forall B \in \mathcal{N}_Y(f(x)) \subset \mathcal O_Y s.t. f^{-1}(B) \in \mathcal{N}_X(x) \subset \mathcal O_X
(2) ⇒\Rightarrow (1)
任取 V∈OYV \in \mathcal O_Y，以及 VV 内一点 xx，则有 V∈NY(f(x))V \in \mathcal{N}_Y(f(x))
根据条件得到 f−1(V)∈NX(x)⊂OXf^{-1}(V) \in \mathcal{N}_X(x) \subset \mathcal O_X
(1) ⇔\Leftrightarrow (3)
由以下等价关系链可得

(1)⇔∀V∈OY:f−1(V)∈OX⇔∀Vc∈FX:f−1(Vc)∈FX\text{(1)} \Leftrightarrow \forall V \in \mathcal O_Y : f^{-1}(V) \in \mathcal O_X \Leftrightarrow \forall V^c \in \mathcal F_X : f^{-1}(V^c) \in \mathcal F_X

□\square

合成映射的连续性

令 (X,OX),(Y,OY),(Z,OZ)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y),(Z,\mathcal O_Z) 为拓扑空间，f:X→Yf:X \to Y，g:Y→Zg:Y \to Z

f,g连续⟹g∘f连续f,g \text{ 连续 } \Longrightarrow g \circ f \text{ 连续}

证明

任取 W∈OZW \in \mathcal O_Z，则有

(g∘f)−1(W)=f−1(g−1(W))(g \circ f)^{-1}(W) = f^{-1}(g^{-1}(W))

因为 gg 连续，所以 g−1(W)∈OYg^{-1}(W) \in \mathcal O_Y，又因为 ff 连续，所以 f−1(g−1(W))∈OXf^{-1}(g^{-1}(W)) \in \mathcal O_X
所以 g∘fg \circ f 连续
□\square

特别地，如果两个拓扑空间之间可以找到双向连续的映射，那么这两个空间在拓扑研究中有 “等价” 的表现。

定义
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间
若 ff 双射且 f,f−1f,f^{-1} 都连续，则称 f:X→Yf:X \to Y 为 同胚映射 (Homeomorphism)「同相写像」。
此时称 (X,OX)(X,\mathcal O_X) 与 (Y,OY)(Y,\mathcal O_Y) 同胚，记作 (X,OX)≅(Y,OY)(X,\mathcal O_X) \cong (Y,\mathcal O_Y)

注意 ≅\cong 成为等价关系（满足自反、对称、传递），此处证明略

连续映射实际上是满足 开集原象开
但是反过来，开集映射过去不一定是开集
满足此方向的映射被称为开映射

定义
令 (X,OX),(Y,OY)(X,\mathcal O_X),(Y,\mathcal O_Y) 为拓扑空间，f:X→Yf:X \to Y，若

∀U∈OXs.t.f(U)∈OY\forall U \in \mathcal O_X \ s.t. \ f(U) \in \mathcal O_Y

则称 ff 为 开映射 (Open Mapping)「開写像」。