Home 数学 线性代数

# 线性映射

# 矩阵表示

令 V,WV, W 分别为域 KK 上的线性空间，且 dim⁡V=n,dim⁡W=m\dim V = n, \dim W = m
取 VV 的一组基底 A={v1,v2,…,vn}\mathscr A = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n\}，WW 的一组基底 B={w1,w2,…,wm}\mathscr B = \{\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m\}
取线性映射 T:V→WT: V \to W

将起始空间 VV 中的基底通过 TT 映射到 WW 中，可以将其写作基于 B\mathscr B 的坐标（线性组合）形式

T(vj)=a1jw1+a2jw2+⋯+amjwm,j=1,2,…,nT(\boldsymbol v_j) = a_{1j} \boldsymbol w_1 + a_{2j} \boldsymbol w_2 + \cdots + a_{mj} \boldsymbol w_m, \quad j = 1, 2, \ldots, n

统合所有 VV 中基底的映射结果，可以得到

(T(v1),T(v2),…,T(vn))=(w1,w2,…,wm)(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)(T(\boldsymbol v_1), T(\boldsymbol v_2), \ldots, T(\boldsymbol v_n)) = (\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

其中 aija_{ij} 指示了经由 TT 映射后，VV 中第 jj 个基底在 WW 中第 ii 个基底方向上的分量

称此处出现的矩阵

T=(a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn)T = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}

为线性映射 TT 在基底 A,B\mathscr A, \mathscr B 下的矩阵表示

对于线性映射，直接将映射符号作为其矩阵表示的写法是一种惯例，用于方便地看出线性映射本质上是如何通过矩阵乘法来使得空间变形的
但是使用的过程中需要自己明确：何时应为矩阵表示，何时应为线性映射

示例
考虑 R2\mathbb R^2 到 R2\mathbb R^2 的线性映射 RR，基底令为标准基底 E={e1,e2}\mathscr E = \{\boldsymbol e_1, \boldsymbol e_2\}，取矩阵表示

R(θ)=(sinθ−cosθcosθsinθ)R(\theta) = \begin{pmatrix} sin \theta & -cos \theta \\ cos \theta & sin \theta \end{pmatrix}

此线性映射表示将 R2\mathbb R^2 中的向量绕原点逆时针旋转 θ\theta 角度

由于线性映射将基底进行变换，原本空间中的坐标表示也将发生改变，记基底 E\mathscr E 下向量 v\boldsymbol v 的坐标为 [v]E[\boldsymbol v]_{\mathscr E}
则对于 v=(xy)\boldsymbol v = \binom{x}{y}，有 [\boldsymbol v]_{\mathscr E} = \binom{x}

经过线性映射 T:V→WT: V \to W，原先在 VV 中基底 A\mathscr A 下的坐标 [v]A[\boldsymbol v]_{\mathscr A} 将变为在 WW 中基底 B\mathscr B 下的坐标，即

命题

[T(v)]B=T[v]A[T(\boldsymbol v)]_{\mathscr B} = T [\boldsymbol v]_{\mathscr A}

证明

由坐标的定义

v=(v1,v2,…,vn)[v]A\boldsymbol v = (\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n)[\boldsymbol v]_{\mathscr A}

将等式两边通过线性映射 TT 映射，可以得到（注意坐标里面的值是常数，提出来）

T(v)=(T(v1),T(v2),…,T(vn))[v]A=(w1,w2,…,wm)T⋅[v]AT(\boldsymbol v) = (T(\boldsymbol v_1), T(\boldsymbol v_2), \ldots, T(\boldsymbol v_n)) [\boldsymbol v]_{\mathscr A} = (\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m) T \cdot [\boldsymbol v]_{\mathscr A}

同时，T(v)T(\boldsymbol v) 在基底 B\mathscr B 下的坐标定义为

T(v)=(w1,w2,…,wm)[T(v)]BT(\boldsymbol v) = (\boldsymbol w_1, \boldsymbol w_2, \ldots, \boldsymbol w_m) [T(\boldsymbol v)]_{\mathscr B}

即得

[T(v)]B=T[v]A[T(\boldsymbol v)]_{\mathscr B} = T [\boldsymbol v]_{\mathscr A}

注意坐标变换的乘法方向为左乘

在 VV 和 WW 的基底决定后，矩阵表示 TT 将被确定
但是 VV 和 WW 的基底取法繁多，不同的基底下结果也会不同，但是之间存在着联系

取线性表换 P:V→VP: V \to V
从空间 VV 中，取两组不同的基底 A={v1,v2,…,vn}\mathscr A = \{\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n\} 和 \mathscr A' = \

通过互相进行线性结合表示，可以得到

(v1′,v2′,…,vn′)=(v1,v2,…,vn)P(\boldsymbol v_1', \boldsymbol v_2', \ldots, \boldsymbol v_n') = (\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n) P

(v1,v2,…,vn)=(v1′,v2′,…,vn′)Q(\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n) = (\boldsymbol v_1', \boldsymbol v_2', \ldots, \boldsymbol v_n') Q

这两个不同的式子，其中 P,QP, Q 均为 nn 阶方阵

简单验证可以得到 Q = P^

此时称 PP 为从基底 A\mathscr A 到基底 A′\mathscr A' 的 过渡矩阵

重心注意在 (v1′,v2′,…,vn′)=(v1,v2,…,vn)P(\boldsymbol v_1', \boldsymbol v_2', \ldots, \boldsymbol v_n') = (\boldsymbol v_1, \boldsymbol v_2, \ldots, \boldsymbol v_n) P 这个式子上，等式右侧是过渡前的原始基底，左侧是过渡后的新基底
通过在右侧乘以过渡矩阵，得以转换为新的基底表示
同样的，坐标变换也有

命题
令 PP 为从基底 A\mathscr A 到基底 A′\mathscr A' 的过渡矩阵，则有

[v]A′=P−1[v]A[\boldsymbol v]_{\mathscr A'} = P^{-1} [\boldsymbol v]_{\mathscr A}

注意基底的变换和坐标的变换是反向的

联合起来有以下重要结论

命题
令线性变换 T:V→VT: V \to V
VV 中取两组基底 A,A′\mathscr A, \mathscr A'，WW 中取两组基底 B,B′\mathscr B, \mathscr B'
分别令 PP 为从基底 A\mathscr A 到基底 A′\mathscr A' 的过渡矩阵，QQ 为从基底 B\mathscr B 到基底 B′\mathscr B' 的过渡矩阵
若令 TT 在基底 A,B\mathscr A, \mathscr B 下的矩阵表示
那么 TT 在基底 A′,B′\mathscr A', \mathscr B' 下的矩阵表示为

T′=Q−1TPT' = Q^{-1} T P