$$\begin{aligned} F_B(\lambda) &= \det(B - \lambda I) \\ &= \det(P^{-1} A P - \lambda I) \\ &= \det(P^{-1} A P - \lambda P^{-1} P) \\ &= \det(P^{-1} (A - \lambda I) P) \\ &= \det(P^{-1}) \det(A - \lambda I) \det(P) \\ &= \det(A - \lambda I) \\ &= F_A(\lambda) \end{aligned}$$

$\square$

($\Rightarrow$)
假设 $A$ 可对角化，则存在可逆矩阵 $P$，使得

$$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} =: D$$

等价于等式

$$A \boldsymbol p_i = \lambda_i \boldsymbol p_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

由于 $P$ 可逆，所以各个 $\boldsymbol p_i \neq \boldsymbol 0$，这意味着各个 $\boldsymbol p_i$ 均为矩阵 $A$ 的特征向量
根据 $P$ 的正则性，可知 $\boldsymbol p_1, \boldsymbol p_2, \ldots, \boldsymbol p_n$ 线性无关

($\Leftarrow$)
假设存在 $n$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol p_i$，满足

$$A \boldsymbol p_i = \lambda_i \boldsymbol p_i, \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

其中各个 $\lambda_i$ 为矩阵 $A$ 的特征值

将其改写为矩阵形式

$$A \begin{pmatrix} \boldsymbol p_1 & \boldsymbol p_2 & \cdots & \boldsymbol p_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol p_1 & \boldsymbol p_2 & \cdots & \boldsymbol p_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$$

由于 $\boldsymbol p_1, \boldsymbol p_2, \ldots, \boldsymbol p_n$ 线性无关，所以矩阵 $P = \begin{pmatrix} \boldsymbol p_1 & \boldsymbol p_2 & \cdots & \boldsymbol p_n \end{pmatrix}$ 可逆
左乘 $P^{-1}$，得到

$$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}$$

$\square$

设 $\boldsymbol p_i$ 为特征值 $\lambda_i$ 对应的特征向量
基于归纳法证明它们线性无关

当 $k = 1$ 时，显然 $\boldsymbol p_1$ 非零，所以线性无关
假设当 $k = m$ 时结论成立，考虑 $k = m + 1$ 的情况
设存在系数 $c_1, c_2, \ldots, c_{m+1}$，使得

$$c_1 \boldsymbol p_1 + c_2 \boldsymbol p_2 + \cdots + c_{m+1} \boldsymbol p_{m+1} = \boldsymbol 0$$

两边同时左乘 $A$，得到

$$c_1 \lambda_1 \boldsymbol p_1 + c_2 \lambda_2 \boldsymbol p_2 + \cdots + c_{m+1} \lambda_{m+1} \boldsymbol p_{m+1} = \boldsymbol 0$$

将第一式乘以 $\lambda_{m+1}$ 并与第二式相减，得到

$$c_1 (\lambda_1 - \lambda_{m+1}) \boldsymbol p_1 + c_2 (\lambda_2 - \lambda_{m+1}) \boldsymbol p_2 + \cdots + c_m (\lambda_m - \lambda_{m+1}) \boldsymbol p_m = \boldsymbol 0$$

根据归纳假设可知，$\boldsymbol p_1, \boldsymbol p_2, \ldots, \boldsymbol p_m$ 线性无关，所以

$$c_i (\lambda_i - \lambda_{m+1}) = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, m$$

由于 $\lambda_i \neq \lambda_{m+1}$，所以 $c_i = 0$，代入第一式可知 $c_{m+1} = 0$
由此，$\boldsymbol p_1, \boldsymbol p_2, \ldots, \boldsymbol p_{m+1}$ 线性无关
$\square$

注意可对角化等价于存在 $n$ 个线性无关的特征向量
设每个特征值 $\lambda_i$ 对应的特征空间 $V_{\lambda_i}$ 的维度为 $d_i$，则每个特征空间中均存在 $d_i$ 个线性无关的特征向量
由于不同特征值对应的特征向量线性无关（参考上述命题），所以总共存在

$$\sum_{i=1}^r d_i$$

个线性无关的特征向量
所以矩阵 $A$ 可对角化的充分必要条件为

$$\sum_{i=1}^r d_i = n$$

$\square$

($\Rightarrow$)
根据上述命题，矩阵 $A$ 可对角化等价于

$$\sum_{i=1}^r \dim V_{\lambda_i} = n$$

由于各个特征空间中的特征向量线性无关，并且一共存在 $n$ 个线性无关的特征向量，所以

$$V = V_{\lambda_1} + V_{\lambda_2} + \cdots + V_{\lambda_r}$$

所以

$$V = V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_2} \oplus \cdots \oplus V_{\lambda_r}$$

($\Leftarrow$)
根据直和的定义可知

$$\dim V = \sum_{i=1}^r \dim V_{\lambda_i} = n$$

所以矩阵 $A$ 可对角化
$\square$

设矩阵

$$B = {}^t(xE - A)$$

这是各个元素均为 $x$ 的多项式的矩阵，且

$$\det B = F_A(x)$$

令 $\widetilde B$为矩阵 $B$ 的余子矩阵，则有

$$\widetilde B B = F_A(x) E_n$$

设 $B(A)$ 为将矩阵 $A$ 代入矩阵 $B$ 中的结果，则

$$B(A) = \begin{pmatrix} A - a_{11} E & -a_{21} E & \cdots & -a_{n1} E \\ -a_{12} E & A - a_{22} E & \cdots & -a_{n2} E \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ -a_{1n} E & -a_{2n} E & \cdots & A - a_{nn} E \end{pmatrix}$$

用同样的方法定义 $\widetilde B(A)$，则矩阵积可以由分割表示为

$$\widetilde B(A) B(A) = \begin{pmatrix} F_A(A) & O & \cdots & O \\ O & F_A(A) & \cdots & O \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ O & O & \cdots & F_A(A) \end{pmatrix}$$

将等式两边乘以 $\mathbb R^n$ 的标准正交归一基，得到

$$\widetilde B(A) B(A) \begin{pmatrix} \boldsymbol e_1 \\ \boldsymbol e_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol e_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_A(A) \boldsymbol e_1 \\ F_A(A) \boldsymbol e_2 \\ \vdots \\ F_A(A) \boldsymbol e_n \end{pmatrix}$$

另一边，单独对 $B(A)$ 作用在 $\boldsymbol e_i$ 上，得到

$$B(A) \begin{pmatrix} \boldsymbol e_1 \\ \boldsymbol e_2 \\ \vdots \\ \boldsymbol e_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} =(A - a_{11} E) \boldsymbol e_1 - a_{21} E \boldsymbol e_2 - \cdots - a_{n1} E \boldsymbol e_n \\ -a_{12} E \boldsymbol e_1 + (A - a_{22} E) \boldsymbol e_2 - \cdots - a_{n2} E \boldsymbol e_n \\ \vdots \\ -a_{1n} E \boldsymbol e_1 - a_{2n} E \boldsymbol e_2 - \cdots + (A - a_{nn} E) \boldsymbol e_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol 0 \\ \boldsymbol 0 \\ \vdots \\ \boldsymbol 0 \end{pmatrix}$$

所以

$$F_A(A) \boldsymbol e_i = \boldsymbol 0, \quad i = 1, 2, \ldots, n$$

这等价于 $F_A(A) = O$
$\square$