只需要证明反方向即可
假设矩阵 $A$ 为对称矩阵，首先证明 $A$ 的特征值均为实数

假设 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，$\boldsymbol p = \begin{pmatrix} p_1 \\ \vdots \\ p_n \end{pmatrix}$ 为对应的特征向量，那么有

$$A \boldsymbol p = \lambda \boldsymbol p$$

对两边取共轭转置，实对称矩阵给出 ${}^t \overline A = A$，所以

$${}^t \overline{\boldsymbol p} {}^t A = \overline \lambda {}^t \overline{\boldsymbol p}$$

从右边乘以 $\boldsymbol p$，得到

$${}^t \overline{\boldsymbol p} A \boldsymbol p = \overline \lambda {}^t \overline{\boldsymbol p} \boldsymbol p$$

注意到 ${}^t \overline{\boldsymbol p} A \boldsymbol p = {}^t \overline{\boldsymbol p} \lambda \boldsymbol p = \lambda {}^t \overline{\boldsymbol p} \boldsymbol p$，所以

$$\lambda {}^t \overline{\boldsymbol p} \boldsymbol p = \overline \lambda {}^t \overline{\boldsymbol p} \boldsymbol p$$

由于 $\boldsymbol p \neq \boldsymbol 0$，所以 ${}^t \overline{\boldsymbol p} \boldsymbol p \gt 0$，所以 $\lambda = \overline \lambda$，即 $\lambda$ 为实数

由于特征值为实数，作为方程的解，特征向量也可以取为实数向量

接下来通过归纳法证明 $A$ 可以被正交矩阵对角化
当 $n = 1$ 时，显然成立
假设当 $n = k$ 时结论成立，考虑 $n = k + 1$ 的情况
设 $\lambda_1$ 为矩阵 $A$ 的一个实特征值，$\boldsymbol p_1$ 为对应的实特征向量
通过 Gram-Schmidt 正交化方法，可以得到 $k$ 个与 $\boldsymbol p_1$ 正交的实向量 $\boldsymbol q_2, \boldsymbol q_3, \ldots, \boldsymbol q_{k+1}$，使得

$$(\boldsymbol p_1, \boldsymbol q_2, \boldsymbol q_3, \ldots, \boldsymbol q_{k+1})$$

构成 $\mathbb R^{k+1}$ 的一组基底
令 $W = \text{span}(\boldsymbol q_2, \boldsymbol q_3, \ldots, \boldsymbol q_{k+1})$，则 $W$ 是 $k$ 维子空间，并且对于任意 $\boldsymbol w \in W$，都有

$$A \boldsymbol w \in W$$

即 $W$ 在 $A$ 下不变
所以，$A$ 在 $W$ 上诱导出线性变换

$$f: W \to W, \quad \boldsymbol w \mapsto A \boldsymbol w$$

根据归纳假设，$f$ 可以被 $k$ 阶正交矩阵对角化
设该正交矩阵为 $Q$，则

$$Q^{-1} f Q = D = \begin{pmatrix} \mu_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mu_3 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mu_{k+1} \end{pmatrix}$$

构造 $(k+1)$ 阶正交矩阵

$$P = \begin{pmatrix} \frac{\boldsymbol p_1}{\|\boldsymbol p_1\|} & & & \\ & & & \\ & Q & \\ & & & \end{pmatrix}$$

则

$$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mu_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mu_{k+1} \end{pmatrix}$$

$\square$

令 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 为矩阵 $A$ 的不同特征值，$\boldsymbol p_1$ 和 $\boldsymbol p_2$ 分别为对应的特征向量，那么有

$$A \boldsymbol p_1 = \lambda_1 \boldsymbol p_1$$

将两边同时与 $\boldsymbol p_2$ 内积，得到

$${}^t \boldsymbol p_2 A \boldsymbol p_1 = \lambda_1 {}^t \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1$$

由于矩阵 $A$ 为对称矩阵，所以 ${}^t \boldsymbol p_2 A = {}^t (A \boldsymbol p_2)$，所以

$${}^t (A \boldsymbol p_2) \boldsymbol p_1 = \lambda_1 {}^t \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1$$

将 $A \boldsymbol p_2 = \lambda_2 \boldsymbol p_2$ 代入上式，得到

$$\lambda_2 {}^t \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1 = \lambda_1 {}^t \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1$$

由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以 ${}^t \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1 = 0$，即 $\boldsymbol p_1$ 与 $\boldsymbol p_2$ 正交
$\square$

只需要证明反方向即可
通过归纳法证明
当 $n = 1$ 时，显然成立
假设当 $n = k$ 时结论成立，考虑 $n = k + 1$ 的情况

设 $\alpha$ 为矩阵 $A$ 的特征值，对于任意 $\boldsymbol b \in V_\alpha$，都有

$$A (A^* \boldsymbol b) = A^* (A \boldsymbol b) = \alpha A^* \boldsymbol b$$

所以 $A^* \boldsymbol b \in V_\alpha$，即特征空间 $V_\alpha$ 在 $A^*$ 下不变

又对于 $\boldsymbol a \in V_\alpha$，有

$$A \boldsymbol a \cdot \boldsymbol b = \boldsymbol a \cdot A^* \boldsymbol b = 0$$

所以 $A \boldsymbol a \in V_\alpha^\perp$，即 $V_\alpha^\perp$ 在 $A$ 下不变

取

• $V_\alpha$ 的正交归一基 \
• $V_\alpha^\perp$ 的正交归一基 $\{\boldsymbol u_{m+1}, \boldsymbol u_{m+2}, \ldots, \boldsymbol u_n\}$

那么

$$\begin{pmatrix} A \boldsymbol u_1 & A \boldsymbol u_2 & \cdots & A \boldsymbol u_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \boldsymbol u_1 & \boldsymbol u_2 & \cdots & \boldsymbol u_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha E_m & O \\ O & B \end{pmatrix}$$

设

$$U := \begin{pmatrix} \boldsymbol u_1 & \boldsymbol u_2 & \cdots & \boldsymbol u_n \end{pmatrix}$$

则 $U$ 为酉矩阵，且

$$U^* A U = \begin{pmatrix} \alpha E_m & O \\ O & B \end{pmatrix}$$

此时

$$\begin{pmatrix} \alpha \overline \alpha E_m & O \\ O & B B^* \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha E_m & O \\ O & B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \overline \alpha E_m & O \\ O & B^* \end{pmatrix} = U^* A A^* U = U^* A^* A U = \begin{pmatrix} \overline \alpha \alpha E_m & O \\ O & B^* B \end{pmatrix}$$

所以 $B^* B = B B^*$，即矩阵 $B$ 为正规矩阵（$n - m$ 阶）
根据归纳假设，矩阵 $B$ 可以被酉矩阵对角化
设该酉矩阵为 $Q$，则

$$Q^{-1} B Q = D = \begin{pmatrix} \mu_{m+1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mu_{m+2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \mu_n \end{pmatrix}$$

构造 $n$ 阶酉矩阵

$$P = \begin{pmatrix} E_m & O \\ O & Q \end{pmatrix} U$$

则

$$P^{-1} A P = \begin{pmatrix} \alpha E_m & O \\ O & D \end{pmatrix}$$

$\square$

令 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 为矩阵 $A$ 的不同特征值，$\boldsymbol p_1$ 和 $\boldsymbol p_2$ 分别为对应的特征向量，那么有

$$A \boldsymbol p_1 = \lambda_1 \boldsymbol p_1$$

将两边同时与 $\boldsymbol p_2$ 内积，得到

$${}^* \boldsymbol p_2 A \boldsymbol p_1 = \lambda_1 {}^* \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1$$

由于矩阵 $A$ 为正规矩阵，所以 ${}^* \boldsymbol p_2 A = {}^* (A^* \boldsymbol p_2)$，所以

$${}^* (A^* \boldsymbol p_2) \boldsymbol p_1 = \lambda_1 {}^* \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1$$

将 $A^* \boldsymbol p_2 = \overline \lambda_2 \boldsymbol p_2$ 代入上式，得到

$$\overline \lambda_2 {}^* \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1 = \lambda_1 {}^* \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1$$

由于 $\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以 ${}^* \boldsymbol p_2 \boldsymbol p_1 = 0$，即 $\boldsymbol p_1$ 与 $\boldsymbol p_2$ 正交
$\square$

$P_i^2 = P_i$
由于 $A$ 是正规矩阵，所以可以被酉矩阵对角化，使得

$$\mathbb C^n = V_{\alpha_1} \oplus V_{\alpha_2} \oplus \cdots \oplus V_{\alpha_r}$$

根据直和的定义，对于任意 $\boldsymbol x \in \mathbb C^n$，唯一存在分解

$$\boldsymbol x = \boldsymbol x_1 + \boldsymbol x_2 + \cdots + \boldsymbol x_r, \quad \boldsymbol x_i \in V_{\alpha_i}$$

定义线性变换

$$f_i: \mathbb C^n \to \mathbb C^n, \quad \boldsymbol x \mapsto \boldsymbol x_i$$

设 $P_i$ 为线性变换 $f_i$ 在标准正交归一基下的矩阵表示，则

$$P_i^2 \boldsymbol x = P_i (P_i \boldsymbol x) = P_i \boldsymbol x_i = \boldsymbol x_i$$

所以 $P_i^2 = P_i$

$P_i^* = P_i$
对于向量 $\boldsymbol y \in \mathbb C^n$，记

$$\boldsymbol y = \boldsymbol y_1 + \boldsymbol y_2 + \cdots + \boldsymbol y_r, \quad \boldsymbol y_j \in V_{\alpha_j}$$

不同特征值对应的特征空间正交，所以

$$P_i \boldsymbol x \cdot \boldsymbol y = \boldsymbol x_i \cdot \boldsymbol y = \boldsymbol x_i \cdot \boldsymbol y_i = \boldsymbol x \cdot \boldsymbol y_i$$

伴随矩阵的定义给出 $P_i \boldsymbol x \cdot \boldsymbol y = \boldsymbol x \cdot P_i^* \boldsymbol y$，所以

$$\boldsymbol x \cdot P_i^* \boldsymbol y = \boldsymbol x \cdot \boldsymbol y_i$$

由于 $\boldsymbol x$ 为任意向量，所以 $P_i^* \boldsymbol y = \boldsymbol y_i$，即 $P_i^* = P_i$

$P_i P_j = O$
对于 $i \neq j$，有

$$P_i P_j \boldsymbol x \cdot \boldsymbol y = P_j \boldsymbol x \cdot P_i^* \boldsymbol y = \boldsymbol x_j \cdot \boldsymbol y_i = 0$$

所以 $P_i P_j = O$

$\sum = E$
因为

$$\boldsymbol x = P_1 \boldsymbol x + P_2 \boldsymbol x + \cdots + P_r \boldsymbol x$$

所以

$$\sum_{i=1}^r P_i = E$$

分解性
由于 $P_i \boldsymbol x \in V_{\alpha_i}$，所以

$$\begin{aligned} (\alpha_1 P_1 + \alpha_2 P_2 + \cdots + \alpha_r P_r) \boldsymbol x &= \alpha_1 P_1 \boldsymbol x + \alpha_2 P_2 \boldsymbol x + \cdots + \alpha_r P_r \boldsymbol x \\ &= A (P_1 \boldsymbol x) + A (P_2 \boldsymbol x) + \cdots + A (P_r \boldsymbol x) \\ &= A (P_1 \boldsymbol x + P_2 \boldsymbol x + \cdots + P_r \boldsymbol x) \\ &= A \boldsymbol x \end{aligned}$$

所以

$$A = \sum_{i=1}^r \alpha_i P_i$$

唯一性
假设存在另一组分解

$$A = \sum_{i=1}^r \alpha_i Q_i$$

设 $W_i := \mathrm{Im} Q_i$，则对于任意 $\boldsymbol w = Q_i \boldsymbol x \in W_i$，都有

$$A \boldsymbol w = A (Q_i \boldsymbol x) = \alpha_i Q_i \boldsymbol x = \alpha_i \boldsymbol w$$

所以 $W_i \subseteq V_{\alpha_i}$
同理可得 $V_{\alpha_i} \subseteq W_i$，所以 $W_i = V_{\alpha_i}$
所以 $Q_i$ 与 $P_i$ 在作用于任意向量时结果相同，即 $Q_i = P_i$
$\square$