(1)
根据行列式的定义式，可以将该行拆分为两部分，分别计算

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol b_i + \boldsymbol c_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} &= \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{j=1}^n a_{j, \sigma(j)} \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \left( a_{1, \sigma(1)} \cdots (b_{i, \sigma(i)} + c_{i, \sigma(i)}) \cdots a_{n, \sigma(n)} \right) \\ &= \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \left( a_{1, \sigma(1)} \cdots b_{i, \sigma(i)} \cdots a_{n, \sigma(n)} \right) + \sum_{\sigma \in S_n} \mathrm{sgn}(\sigma) \left( a_{1, \sigma(1)} \cdots c_{i, \sigma(i)} \cdots a_{n, \sigma(n)} \right) \\ &= \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol b_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol c_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} \end{aligned}$$

(2)
取 $\boldsymbol a_i = \boldsymbol a_j$，则对于任意置换 $\sigma \in S_n$，都存在另一个置换 $\sigma' \in S_n$，使得

$$\sigma' = \sigma \circ (i, j)$$

则有

$$\mathrm{sgn}(\sigma') = -\mathrm{sgn}(\sigma)$$

并且

$$\prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} = \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma'(k)}$$

因此在行列式的定义式中，任意一项都可以找到另一项与之相消，所以行列式的值为零。
$\square$

(1)
由于该行全为零，所以任意一个置换下的乘积中，都会包含一个零因子，因此行列式的值为零。

(2)
由于矩阵为上三角矩阵，所以对于任意置换 $\sigma \in S_n$，如果存在某个 $i > j$，使得 $\sigma(i) = j$，则有 $a_{i, \sigma(i)} = a_{i, j} = 0$，因此该置换下的乘积为零。
因此，只有当 $\sigma$ 为恒等置换时，乘积才可能非零，此时乘积为主对角线元素的乘积。

$$\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} = a_{11} a_{22} \cdots a_{nn}$$

且 $\mathrm{sgn}(\sigma) = +1$，因此行列式的值为主对角线元素的乘积。
$\square$

(1)
该性质等同于多重线性中的第二条性质。

(2)
注意以下具有相同行的行列式为零

$$\begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i + \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j + \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} = 0$$

利用线性性质拆解

$$\begin{aligned} 0 &= \underbrace{\begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix}}_{0} + \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} + \underbrace{\begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix}}_{0} \end{aligned}$$

因此有

$$\begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix}$$

(3)
同样利用线性性质拆解

$$\begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j + k \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix} + k \underbrace{\begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix}}_{0} = \begin{vmatrix} \boldsymbol a_1 \\ \vdots \\ \boldsymbol a_i \\ \vdots \\ \boldsymbol a_j \\ \vdots \\ \boldsymbol a_n \end{vmatrix}$$

$\square$

由于行列式的定义涉及对矩阵元素的排列和符号的计算，而转置操作仅仅是将矩阵的行和列互换，不改变元素的排列顺序和符号，因此行列式的值保持不变，即

$$|{}^t\!A| = |A|$$

$\square$

根据行列式的定义式，只有当置换 $\sigma$ 满足 $\sigma(1) = 1$ 时，乘积才可能非零，此时乘积为

$$\prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} = a_{11} \prod_{i=2}^n a_{i, \sigma(i)}$$

且 $\mathrm{sgn}(\sigma)$ 与置换 $\sigma$ 在 $\{2, 3, \ldots, n\}$ 上的限制 $\sigma'$ 相同，因此行列式可以写为

$$\begin{aligned} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} &= \sum_{\substack{\sigma \in S_n \\ \sigma(1) = 1}} \mathrm{sgn}(\sigma) \prod_{i=1}^n a_{i, \sigma(i)} \\ &= \sum_{\sigma' \in S_{n-1}} \mathrm{sgn}(\sigma') a_{11} \prod_{i=2}^n a_{i, \sigma'(i)} \\ &= a_{11} \begin{vmatrix} a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{aligned}$$

$\square$

由于 $P$ 为正则矩阵，所以存在一系列基本矩阵使得

$$P = P_k P_{k-1} \cdots P_1$$

注意对于三种基本矩阵

• $|P_i(c)A| = c |A| = |P_i(c)| \cdot |A|$
• $|P_{ij}A| = -|A| = |P_{ij}| \cdot |A|$
• $|P_{ij}(c)A| = |A| = |P_{ij}(c)| \cdot |A|$

因此重复该过程，有

$$|P| = |P_k| \cdot |P_{k-1}| \cdots |P_1|$$

那么对

$$PA = P_k P_{k-1} \cdots P_1 A$$

两边取行列式，得到

$$|PA| = |P_k| \cdot |P_{k-1}| \cdots |P_1| \cdot |A| = |P| \cdot |A|$$

$\square$

假设基于行基本变换使得 $A$ 化为简约行阶梯形矩阵 $R$，即

$$R = PA$$

由上述结论

$$|R| = |P| \cdot |A|$$

显然如果 $A$ 正则，那么 $|R| = |E_n| = 1$，所以 $|A| \neq 0$
如果 $A$ 不正则，那么 $|R| = 0$，所以 $|A| = 0$
$\square$

由于 $AA^{-1} = E_n$，所以

$$|A| \cdot |A^{-1}| = |E_n| = 1$$

因此有

$$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$$

$\square$

若 $A$ 正则，退化为前述命题
假设 $A$ 不正则，则 $|A| = 0$
假设 $AB$ 是正则的，那么存在其逆矩阵 $C$ 满足

$$(AB)C = E_n = A(BC)$$

因此 $A$ 也是正则的，与假设矛盾
所以 $AB$ 也不正则，因此 $|AB| = 0 = |A| \cdot |B|$
$\square$

取列向量分割

$$A = (\boldsymbol a_1, \boldsymbol a_2, \dots, \boldsymbol a_n)$$

因为 $A$ 正则，所以方程组具有唯一解，可写为

$$\boldsymbol b = x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n$$

通过行列式的性质得到

$$\begin{aligned} |A_i| &= |\boldsymbol a_1, \dots, \boldsymbol a_{i-1}, \boldsymbol b, \boldsymbol a_{i+1}, \dots, \boldsymbol a_n| \\ &= |\boldsymbol a_1, \dots, \boldsymbol a_{i-1}, x_1 \boldsymbol a_1 + x_2 \boldsymbol a_2 + \cdots + x_n \boldsymbol a_n, \boldsymbol a_{i+1}, \dots, \boldsymbol a_n| \\ &= x_i |\boldsymbol a_1, \dots, \boldsymbol a_n| \\ &= x_i |A| \end{aligned}$$

因此

$$x_i = \frac{|A_i|}{|A|}$$

$\square$