对第 $i$ 行展开的证明如下

$$\begin{aligned} |A| &= \sum_{\sigma \in S_n} \text{sgn}(\sigma) \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} \\ &= \sum_{j=1}^n \sum_{\substack{\sigma \in S_n \\ \sigma(i) = j}} \text{sgn}(\sigma) \prod_{k=1}^n a_{k, \sigma(k)} \\ &= \sum_{j=1}^n a_{ij} \sum_{\substack{\sigma \in S_n \\ \sigma(i) = j}} \text{sgn}(\sigma) \prod_{\substack{k=1 \\ k \neq i}}^n a_{k, \sigma(k)} \end{aligned}$$

对于固定的 $j$，考虑映射

$$\begin{aligned} \phi: \{\sigma \in S_n \mid \sigma(i) = j\} &\to S_{n-1} \\ \sigma &\mapsto \sigma' \end{aligned}$$

其中 $\sigma'$ 为将 $\{1, 2, \dots, n\} \setminus \{i\}$ 映射到 $\{1, 2, \dots, n\} \setminus \{j\}$ 的双射，且对于任意 $k \neq i$，有

$$\sigma'(k) = \begin{cases}\sigma(k), & \sigma(k) < j \\ \sigma(k) - 1, & \sigma(k) > j \end{cases}$$

显然 $\phi$ 是一个双射
设 $\sigma' = \phi(\sigma)$，则

$$\text{sgn}(\sigma) = (-1)^{i+j} \text{sgn}(\sigma')$$

因此

$$\begin{aligned} |A| &= \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} \sum_{\sigma' \in S_{n-1}} \text{sgn}(\sigma') \prod_{k=1}^{n-1} a_{k', \sigma'(k')} \\ &= \sum_{j=1}^n a_{ij} (-1)^{i+j} |A_{ij}| \end{aligned}$$

$\square$

考虑乘积 $A \cdot \widetilde A$ 的第 $(i, j)$ 元素，根据矩阵乘法的定义

$$(A \cdot \widetilde A)_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot (-1)^{k+j} |A_{jk}|$$

当 $i = j$ 时，该式变为

$$(A \cdot \widetilde A)_{ii} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot (-1)^{k+i} |A_{ik}| = |A|$$

这正是对第 $i$ 行进行 Laplace 展开的结果，这意味着 $A \cdot \widetilde A$ 的对角线元素均为 $|A|$

当 $i \neq j$ 时，考虑矩阵

$$B = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{j1} & a_{j2} & \cdots & a_{jn} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$$

即将 $A$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行互换后所得到的矩阵
对 $B$ 的第 $j$ 行进行 Laplace 展开，有

$$|B| = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot (-1)^{k+j} |A_{jk}|$$

但是由于 $B$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行互换了，所以 $|B| = -|A|$，而 $|A|$ 的展开式正是上式，因此

$$(A \cdot \widetilde A)_{ij} = 0$$

这意味着 $A \cdot \widetilde A$ 的非对角线元素均为 $0$
综上所述，$A \cdot \widetilde A = |A| E_n$，同理可证 $\widetilde A \cdot A = |A| E_n$
$\square$